1、2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题(18 小题，每小题 4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上)(1) 已知当 时， 与 是等价无穷小，则( )0x3sinfxxkc(A) (B) (C) (D) 1,4kc1,4k3,4c3,(2) 已知 在 处可导，且 ，则 =( )fx00f230limxffx(A) (B) (C) (D) 02fff(3) 函数 的驻点个数为( )()ln1)(23xx(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(4) 微分方程 的特解形式为( ) 20xye(A) (
2、B) ()xae )xae(C) (D) xb 2(xb(5) 设函数 均有二阶连续导数，满足 且 ，(),fg0),fg(0)fg则函数 在点 处取得极小值的一个充分条件是( ) zxy0,(A) (B) (0),().f(),().f(C) (D) g00g(6) 设 ， ， ，则 的大40lnsiIxd40lncotJxd40lncosKxd,IJK小关系是( ) (A) (B) (C) (D) IJKIJJI(7) 设 为 3 阶矩阵，将 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 ，再交换 的第 2 行与第AAB3 行得单位矩阵，记 ， ，则 ( ) 10P20PA(A) (B) (C) (D
3、) 121221P12P(8) 设 是 4 阶矩阵， 为 的伴随矩阵，若 是方程组123(,)A*A(1,0)T的一个基础解系，则 的基础解系可为( ) 0x*0x(A) (B) (C) (D) 13, 12, 123,234,二、填空题(914 小题，每小题 4 分，共 24 分请将答案写在答题纸指定位置上)(9) 102lim()xx(10) 微分方程 满足条件 的解为 cosxye(0)y(11) 曲线 的弧长 0tan(4xds(12) 设函数 则 ,()0,xef()xfd(13) 设平面区域 由直线 圆 及 轴围成，则二重积分D,y2yDxyd(14) 二次型 ，则 的正惯性指数2
4、212313132(,)fxxxxf为 三、解答题(1523 小题，共 94 分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15) (本题满分 10 分)已知函数 ，设 试求 的取值范围20ln(1xatdF0lim()li(),xxFa(16) (本题满分 11 分)设函数 由参数方程 确定，求 的极值和曲线()yx31,ty()yx的凹凸区间及拐点()(17) (本题满分 9 分)设函数 ，其中函数 具有二阶连续偏导数，函数 可导且在,(zfxygf ()gx处取得极值 ，求 1x1)21xyz12Oyx22y (18) (本题满分 10 分)设函数 具有二阶导数
5、，且曲线 与直线 相切于原点，记 为曲线yx:()lyxyx在点 处切线的倾角，若 求 的表达式l(,) ,dx(19) (本题满分 10 分)(I)证明：对任意的正整数 n，都有 成立11ln()(II)设 ，证明数列 收敛 1l(,22na na(20) (本题满分 11 分)一容器的内侧是由图中曲线绕 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由y与 连接而成的2xy21()2x(I) 求容器的容积；(II) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位：，重力加速度为 ，水的密度为 )m2/gms310/kgm 图(21) (本题满分 11 分)已知函数 具有二阶连续偏导数，且
6、 ， ，,fxy(1,)0fy(,1)fx，其中 ，计算二重积分(,)Dfda(,)|0,Dxy,xyI(22) (本题满分 11 分)设向量组 ，不能由向量组 ，123,0(,1)(,5)TTT1(,)T， 线性表示 2(,3)T(4)a(I) 求 的值；a(II) 将 由 线性表示123,123,(23) (本题满分 11 分)为三阶实对称矩阵， 的秩为 2，即 ，且 AA2rA1100(I) 求 的特征值与特征向量；(II) 求矩阵 2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题(18 小题，每小题 4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的
7、，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上)(1)【答案】(C)【解析】因为 03sinlmkxxc03sincos2sinlkxxx20iolkxx 210limkxcx22103cscslikx2211004os4sinlilkkxx34limkx所以 ，故答案选(C),c(2)【答案】(B)【解析】 230lixffx2230020limxffffx30lix ffff 20fff故答案选(B)(3)【答案】(C)【解析】 ()ln1l2ln3fxx23(1)(3)x令 ，得 ，故 有两个不同的驻点()0fx1,26fx(4)【答案】(C)【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为 ，解得
8、特征20r根 12r,所以非齐次方程 有特解 ,2xye1xyae非齐次方程 有特解 ，2b故由微分方程解的结构可知非齐次方程 可设特解xye().xxyaeb(5)【答案】(A)【解析】由题意有 ， ()zfxgy()zfxgy所以， ， ，即 点是可能的极值点0,()0zfx0,()0f,又因为 ， ， ，2()fgy2()zfxgy2()zgyfx所以， ， ，2(0,)|(0)zAfx2(0,)|(0)Bf，2(0,)|()Cfgy根据题意由 为极小值点，可得 且 ，所以有, 20,ACB()0Afg由题意 ，所以 ，故选(A)(0).fg(0),()fg(),f(6)【答案】(B)【
9、解析】因为 时， ，4xsinco1txx又因 是单调递增的函数，所以 lnllslnco故正确答案为(B)(7)【答案】 (D)【解析】由于将 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 ，故AB，0即 ， 1APB1由于交换 的第 2 行和第 3 行得单位矩阵，故B，10BE即 故 因此， ，故选(D)2,PBE12P12AP(8)【答案】(D)【解析】由于 是方程组 的一个基础解系，所以 ，且(,0)T0x(1,0)TA，即 ，且 由此可得 ，即()413rA13*|EO，这说明 是 的解*24,)O1234,Ax由于 ， ，所以 线性无关又由于 ，所以(r130()3rA，因此 的基础解系中含有
10、 个线性无关的解向量而 线*)1A*x24,性无关，且为 的解，所以 可作为 的基础解系，故选(D)234,*0Ax二、填空题(914 小题，每小题 4 分，共 24 分请将答案写在答题纸指定位置上)(9)【答案】 2【解析】原式= 01lim()xxe00212ln1limil2xxee(10)【答案】 sny【解析】由通解公式得 (cos)dxdxeeC)(sinxe由于 故 =0所以 (0),yCy(11)【解析】选取 为参数，则弧微元x2211tansecdsydxxdx所以 4 400seclnsectaln()dx (12)【答案】 1【解析】原式 00xxede0 01limxx
11、 xxeede 011limlixxx(13)【答案】 72【解析】原式 2sin 2sin320 04 4cosicosidrrddr 4241si6i 552244isid647in(14)【答案】2【解析】方法 1： 的正惯性指数为所对应矩阵的特征值中正的个数f二次型 对应矩阵为 f13A1001132E，3241故 因此 的正惯性指数为 21230,4f方法 2： 的正惯性指数为标准形中正的平方项个数f2212313132,xxxx22323x，13xx令 则 ，故 的正惯性指数为 212323,yx21fyf三、解答题(1523 小题，共 94 分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写
12、出文字说明、证明过程或演算步骤)(15) (本题满分 10 分)【解析】如果 时， ，0a2 20 0(1)limliln(1)x xaaxntdtd显然与已知矛盾，故 当 时，又因为22230 11000ln(1)ln()imililix aaaaxxxtd 所以 即 33又因为22 320 1 2ln()ln()iimli lim(1)()1x aaaaxx xtd 所以 ，即 ，综合得 313(16) (本题满分 11 分)【解析】因为 ，2(dytx2222231()(1)14) ,()tdttttyxx 令 得 ，()01t当 时， ， ，此时 ，所以 为极小值t53xy0y13y当
13、 时， ， ，此时 ，所以 为极大值令 得 ， ()0yxt13xy当 时， ，此时 ；当 时， ，此时 t130t13x0y所以曲线的凸区间为 ，凹区间为 ，拐点为 ， ， (,)(17) (本题满分 9 分)【解析】 ,(zfxyg12),()fxygx21112,()(,)(,)(zfxygfxygfxygx2122,)(fffyg 因为 在 可导，且为极值 ,所以 ，则()gx1()0g21112|,(,),xydzfff(18) (本题满分 10 分)【解析】由题意可知当 时， ， ，由导数的几何意义得 ,即 ，0xy(0)1tanyarctny由题意 ，即 arctnddyx21令 ， ，则 ， ，即yp2p3dpx， ，即 21ddx211ln|l()c21xpce当 ， ，代入得 ，所以 ，0xp2c2xye则 2200()1txxtddye002arcsin|rsi421()t txx xtdee又因为 ，所以 ()y()arcsin24xyxe(19) (本题满分 10 分)【解析】()设 1l1,0,fxxn显然 在 上满足拉格朗日的条件，()fx10,n
