1、自动控制原理习题及其解答第一章（略）第二章例 2-1 弹簧，阻尼器串并联系统如图 2-1 示，系统为无质量模型，试建立系统的运动方程。解：(1) 设输入为 yr，输出为 y0。弹簧与阻尼器并联平行移动。(2) 列写原始方程式，由于无质量按受力平衡方程，各处任何时刻，均满足 ，0F则对于 A 点有021KfF其中，F f 为阻尼摩擦力，F K1，F K2 为弹性恢复力。(3) 写中间变量关系式0210)(yKFYdtfr(4) 消中间变量得021yKdtftfrr (5) 化标准形rrytTyt0其中: 为时间常数，单位秒。215KT为传递函数，无量纲。21例 2-2 已知单摆系统的运动如图 2
2、-2 示。(1) 写出运动方程式(2) 求取线性化方程解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆角 ，摆球质量为 m。（2）由牛顿定律写原始方程。hmgdtlsin)(其中，l 为摆长，l 为运动弧长，h 为空气阻力。（3）写中间变量关系式)(dtl式中， 为空气阻力系数 为运动线速度。（4）消中间变量得运动方程式图 2-2 单摆运动 （2-1)0sin2mgdtaltl此方程为二阶非线性齐次方程。（5）线性化由前可知，在 0 的附近，非线性函数 sin ，故代入式（2-1）可得线性化方程为02mgdtaltl例 2-3 已知机械旋转系统如图 2-3 所示，试列出系统运动方程。解：（1）设输入量作
3、用力矩 Mf，输出为旋转角速度 。（2）列写运动方程式ffdtJ式中， f为阻尼力矩，其大小与转速成正比。（3）整理成标准形为fMfdtJ此为一阶线性微分方程，若输出变量改为 ，则由于dt代入方程得二阶线性微分方程式fMtfdtJ2例 2-4 设有一个倒立摆安装在马达传动车上。如图 2-4 所示。图 2-3 机械旋转系统 图 2-4 倒立摆系统 倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒，这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图 2-65 所示平面内运动。控制力 u 作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心 A。试求该系统的运动方程式。解：(1) 设输入为作
4、用力 u，输出为摆角 。(2) 写原始方程式，设摆杆重心 A 的坐标为（X A，y A）于是XAX l sinXy = lcos画出系统隔离体受力图如图 25 所示。摆杆围绕重心 A 点转动方程为：（22）cossin2HlVldtJ式中，J 为摆杆围绕重心 A 的转动惯量。摆杆重心 A 沿 X 轴方向运动方程为： dtxmA2即 （23）Hlxt)sin(2摆杆重心 A 沿 y 轴方向运动方程为：图 2-5 隔离体受力图 mgVdtyA2即 lt)cos(2小车沿 x 轴方向运动方程为：HudtxM2方程（22） ，方程（23）为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有 sin 和 cos 项，所
5、以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。(3) 当 很小时，可对方程组线性化，由 sin ，同理可得到 cos1 则方程式(22)式（2 3）可用线性化方程表示为：HudtxMmgVtdltJ22220用 的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量 V、H、X 得2dtSugmMsJmlMl )()(2将微分算子还原后得dtdtll )()(2此为二阶线性化偏量微分方程。例 2-5 RC 无源网络电路图如图 26 所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数 Uc(s)/Ur(s)。解：在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系，满足广义的欧姆定律。即：
6、图 2-6 RC 无源网络 )(sZIU如果二端元件是电阻 R、电容 C 或电感 L，则复阻抗 Z(s)分别是 R、1/C s 或 L s 。(1) 用复阻抗写电路方程式：sCSIVRUI sSISIccccr2221121)()()()()()(2) 将以上四式用方框图表示，并相互连接即得 RC 网络结构图，见图 26（a） 。(3) 用结构图化简法求传递函数的过程见图 26（c） 、( d)、( e)。(4) 用梅逊公式直接由图 26(b) 写出传递函数 Uc(s)/Ur(s) 。KG独立回路有三个： SCRL111图 2-6 RC 无源网络结构图 （a）（b）（c）（d）SCRL2221
7、1S1213回路相互不接触的情况只有 L1 和 L2 两个回路。则211SCR由上式可写出特征式为：21122121321)( SCRSSLL 通向前路只有一条 21211 SCRSCRG由于 G1 与所有回路 L1，L 2， L3 都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为 1=1代入梅逊公式得传递函数 1)(1 12221 2211 sCRsCRsG例 2-6 有源网络如图 27 所示，试用复阻抗法求网络传递函数，并根据求得的结果，直接用于图 28 所示 PI 调节器，写出传递函数。解：图 2-7 中 Zi 和 Zf 表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗，假设A 点为虚地，即 U
8、A0，运算放大器输入阻抗很大，可略去输入电流，于是：I 1 = I2则有： )()(21sZIsUfcii故传递函数为图 2-8 PI 调节器 图 2-7 有源网络 （24）)()(sZsUGific对于由运算放大器构成的调节器，式（24）可看作计算传递函数的一般公式，对于图2-8 所示 PI 调节器，有 1)(RsZiCSf 2故 SRsZsGif 1212)()( 例 2-7 求下列微分方程的时域解 x（t） 。已知 。3)0(,)(x0632dtt解：对方程两端取拉氏变换为：0)(63)()(0)(2 sXxsSXxSsX代入初始条件得到)(63(2s解出 X（s）为：222 )15()
9、.(563)( SSs反变换得时域解为：)2sin(52)(.1tetxt例 2-8 已知系统结构图如图 2-9 所示，试用化简法求传递函数 C(s)/R(s)。图 2-10 系统结构图的简化 图 2-9 系统结构图 解：（1）首先将含有 G2 的前向通路上的分支点前移，移到下面的回环之外。如图2-10（a ）所示。（2）将反馈环和并连部分用代数方法化简，得图 2-10（b） 。（3）最后将两个方框串联相乘得图 2-10（c） 。例 2-9 已知系统结构图如图 2-11 所示，试用化简法求传递函数 C(s)/R(s)。解：（1）将两条前馈通路分开，改画成图 2-12（a）的形式。（2）将小前馈
10、并联支路相加，得图 2-12（b） 。（3）先用串联公式，再用并联公式 将支路化简为图 2-12（c） 。例 2-10 已知机械系统如图 2-13（a）所示，电气系统如图 2-13（b）所示，试画出两系统结构图，并求出传递函数，证明它们是相似系统。图 2-11 系统结构图 图 2-12 系统结构图 图 2-13 系统结构图 （a）机械系统 （b）电气系统解：（1）若图 2-13（a） 所示机械系统的运动方程，遵循以下原则并联元件的合力等于两元件上的力相加，平行移动，位移相同，串联元件各元件受力相同，总位移等于各元件相对位移之和。微分方程组为：yKFxf xKxfii20 01011)( )()
11、(取拉氏变换，并整理成因果关系有：)(1)( )()()20 01syFsfxKySxssfi画结构图如图 214： 求传递函数为：skfsfkfsfksfsXi 12211210 )( )()( （2）写图 2-13（b）所示电气系统的运动方程，按电路理论，遵循的定律与机械系统相似，即并联元件总电流等于两元件电流之和，电压相等。串联元件电流相等，总电压等于各元件分电压之和，可见，电压与位移互为相似量电流与力互为相似量。运动方程可直接用复阻抗写出：图 2-14 机械系统结构图 )()(1 )()()()(20 0112sECsIR sEsCEssIsIc iii整理成因果关系：)()(1)()
12、()202 0sEIRsSCsssIci画结构图如图 2-15 所示：求传递函数为：SCRsSCRSCRssEi 212121210 )( )()( 对上述两个系统传递函数，结构图进行比较后可以看出。两个系统是相似的。机一电系统之间相似量的对应关系见表 2-1。表 2-1 相似量机械系统 xi x0 y F F1 F2 K1 1/K2 f1 f2电气系统 ei e0 ec2 i i i 1/R R C1 C2例 2-11 RC 网络如图 2-16 所示，其中 u1 为网络输入量，u 2 为网络输出量。（1）画出网络结构图；（2）求传递函数 U2(s)/ U1(s)。解：（1） 用复阻抗写出原始方程组。输入回路 sCIIR211)(图 2-15 电气系统结构图 图 2-16 RC 网络
