1、智浪教育普惠英才文库 黄石市 2013 年初中数学竞赛姓名：一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）1某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且完成该项任务后才能执行下一项任务现有三项任务 U、V、W 的时间分别为 10s，120s 和 900s，一项任务的相对等待时间为提交任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比则下面四种执行顺序中使三项任务相对等待时间之和最小的执行是（ ）AU、V、W BV、W、U C W 、U、V D U、W、V2如图 1，C、D 是线段 AB 上两点，已知图中所有线段的长度都是正整数，且总和为29，则 AB=（ ）A7 B9 C11
2、 D133如图 2，菱形纸片 ABCD 中， ，将纸片折叠，点 A、D 分别落在 A、D60A处，且 AD经过 B，EF 为折痕，当 DF CD 时，的值为（ ）CFDA B B C D 31236213184若方程 x2-mx+n+1=0 的两个实根均为正整数，则m2+n2 为（ ）A合数 B质数 C完 全平方数 D偶数5设关于 x 的方程 ax2+（a+2）x+9a=0 有两个不相等的实数根 x1、x 2，且x11x 2则 a 的取值范围是（ ）A a Ba Ca D a075527二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）6一部自动扶手电梯自下向上匀速运动，丽丽、美美
3、两人同时分别从电梯的下端、上端相向匀速而行，丽丽走了 12m 后与美美相遇，丽丽、美美两人离开电梯时分别在电梯上走了 28m、63m则自动扶手电梯露在外面部分的长度为 m7如图 3，已知直线 与抛物线 交于 A、B 两点，点 P 在直线xy216412xyAB 上方的抛物线上运动当PAB 的面积最大时，点 P 的坐标为 FEDA DCBAA C D B（图 1）（图 2）智浪教育普惠英才文库 8如图 4，已知半径为 1 的圆的圆心为 M（0，1），点 B（0，2），A 是 x 轴负半轴上的一点，D 是 OA 的中点，AB 交M 于点 C，若四边形 BCDM 为平行四边形，则sinABD= 9心
4、理学家研究发现：一般情形下，在一节 40 分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持为理想的稳定状态，随后学生的汪意力开始分散经过实验分析，知学生的注意力指数 y 随时间 x（分钟）的变化规律为：402,16583210,04xxy有一道数学竞赛题需要讲解 16.5 分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数最低值达到最大那么，教师经过适当安排，应在上课的第 分钟开始讲解这道题10设方程组 的正实数解为（x，y，z），则 x+y+z= 21533zyx三、解答题（本大题共 4 小题，每小题 20 分，共 80 分）11设二
5、次函数 （a、b、c 为整数且 a0），对一切实数 x 恒有xy2xy 求二次函数的解析式412yOBPAxxyMODABC（图 3） （图 4）智浪教育普惠英才文库 12（1）探索发现：如图 5，分别以ABC 两边 AB、AC 为边分别向外作正方形ABDE、正方形 ACFG设 H、K、M 分别是 BE、CG、BC 的中点猜想线段 MH 与MK 的数量关系与位置关系，并证明你的结论AB CMHEGFKDA BCDRSPQ（2）拓展运用：如图 6，以凸边形 ABCD 的每一边向外作正方形，S、P、Q、R 分别是各正方形的中心求证：SQ 与 PR 相等且垂直（图 5） （图 6）智浪教育普惠英才文
6、库 13给出 12 个球，其中有且仅有一个球与其他 11 个球重量不相等问：如何用无砝码的天平称三次，找出这个球？14已知关于 x 的一元二次方程 的两个整数根恰好比方程02acx的两根都大 1求 的值02bax b智浪教育普惠英才文库 黄石市 2013 年初中数学竞赛参考答案一、选择题1A顺序 A 三项任务相对等待时间之和为 + 6 ；10AS9012顺序 B 三项任务相对等待时间之和为 90 ；B2顺序 C 三项任务相对等待时间之和为 90 ；C9顺序 D 三项任务相对等待时间之和为 8 ；比较知， 最DS120AS小2B设 AC= ， CD= ， DB= . 则 =29 (1b6)abc
7、cba34329cba= (舍去）, 故 c,53,277AB3A设 AB=1，CF= .根据折叠的性质得 ，x 90FMDEGDBC60 132 EABC132x213xF4A设方程的两正整数根分别为 ，则 ， 。21xm21121nx故 212 xxnm因 1 ， 1，所以， 必为合数2 2n5D 易知 ，将原方程变形为 ，记 ，则0a 092xax 9212xaxy智浪教育普惠英才文库 此抛物线开口向上因 1 ，所以，当 时， 0 ，x21xy即 0 0 .921aa二、填空题648 设自动扶手电梯露在外面的部分长度为 由题意得xm： 解得 因此，所求长度为 48 281xx63舍 去或
8、 0487 4如图 7，作 轴交直线 AB 于点 M，xPM设 ， 则 612aa21故 42由 联立求得点 A、B 的横坐标分别为6、4，61xy及而 ， 12552 aPMSSPBMAPB故当 ，此时， 415maxya时 4318 10如图 8，联结 OC则 9A故四边形 为平形四边形BDMA45C 1OA作 ，则 ，而 ，故 ED于 点 2D5B10sinBDEAyOBPAxM（图 7）xyMODABCE（图 8）智浪教育普惠英才文库 97.5所 示之 间 的 函 数 图 像 如 图与 9xy设应在上课后第 (0 10)分钟开始讲解这道题，则t165.835.1632042tt09t
9、.27舍 去或因此, 教师应在上课后 7.5 分钟开始讲解这道题.106令 ，则uxyz舍 去或 183560217318 2107252 23 uu当 ，时， ，故6uzyx 6zyx三、解答题11由题设,知对一切实数 有 .cba2412当 C .00上 式 为时x041故bxa21对一切实数 均成立.由式得 0,且 0 .211b当 , 时,式化为 0,与题设矛盾.2a4x当 时,由式得,所以二次函数的解析式为0412102a1axy212（1）猜想 MHMK , 且 MH=MK证明：如图 10, 易知AEC 逆时针旋转 9yx/min1006010 40200（图 9）KEGAHDFB
10、 M C（图 10）智浪教育普惠英才文库 便得到了ABG .所以 , ECBG , 且 EC=BG又、M 分别是 B、C、BC 的中点,则 .GKEH2121因此, MHMK , 且 MH=MK .（2）证明：如图 11, 作也满足条件的图形,取 BD 的中点 M,联结 M、M、M、M .由（1）的结论知 MP 和 MQ、MR 和 MS 分别垂直且相等,则QMS 顺时针旋转 后90便可得PMR.从而,QS 与 PR 垂直且相等.13把要找的球定义为“坏球”,其余 11 个球为“好球”.将 12 个球均分成三组,每组 4 个,同时将 12 个球编号为.第一次称和,若平衡,则坏球在中,同时,知号球
11、均为好球,第二次用和称,若不平衡,则坏球为或;若平衡,则坏球为或,于是,再称一次就可找出坏球.第一次称(左边)和(右边),若不平衡,不妨设左边重.第二次称(左边)和(右边),此时天平会出现三种情形.若依然是左边重,则坏球必在或中；若左边轻,则坏球必在中且坏球比好球重；若天平平衡,则坏球必然是之一,且知坏球比好球轻,第三次称就好办了.如知中有一坏球,且坏球轻,第三次就称与,哪个轻哪个就是坏球；若与一样重,则坏球为.其他情形,类似解决.14解 设 是方程的两个整数根,则 是方程Z1的两个整数根.设 .显然, .xacx2 a设 .则12bax 2133又 ,于是,Z240或故 22xacxca12xbax；1b42 68352ARSDQPCBM（图 11）智浪教育普惠英才文库 综上， 15b293或cba
