1、1粒子群优化算法(1) 粒子群优化算法简介PSO 算法就是模拟一群鸟寻找食物的过程，每个鸟就是 PSO 中的粒子，也就是我们需要求解问题的可能解，这些鸟在寻找食物的过程中，不停改变自己在空中飞行的位置与速度。大家也可以观察一下，鸟群在寻找食物的过程中，开始鸟群比较分散，逐渐这些鸟就会聚成一群，这个群忽高忽低、忽左忽右，直到最后找到食物。这个过程我们转化为一个数学问题。寻找函数 y=1-cos(3*x)*exp(-x)的在0,4最大值。该函数的图形如下：当 x=0.9350-0.9450，达到最大值 y=1.3706。为了得到该函数的最大值，我们在0, 4之间随机的洒一些点，为了演示，我们放置两
2、个点，并且计算这两个点的函数值，同时给这两个点设置在0, 4之间的一个速度。下面这些点就会按照一定的公式更改自己的位置，到达新位置后，再计算这两个点的值，然后再按照一定的公式更新自己的位置。直到最后在 y=1.3706这个点停止自己的更新。这个过程与粒子群算法作为对照如下：这两个点就是粒子群算法中的粒子。该函数的最大值就是鸟群中的食物。计算两个点函数值就是粒子群算法中的适应值，计算用的函数就是粒子群算法中的适应度函数。更新自己位置的公式就是粒子群算法中的位置速度更新公式。下面演示一下这个算法运行一次的大概过程：第一次初始化第一次更新位置2第二次更新位置第 21 次更新最后的结果（30 次迭代）
3、最后所有的点都集中在最大值的地方。3粒子群优化算法(2) 标准粒子群优化算法在上一节的叙述中，唯一没有给大家介绍的就是函数的这些随机的点（粒子）是如何运动的，只是说按照一定的公式更新。这个公式就是粒子群算法中的位置速度更新公式。下面就介绍这个公式是什么。在上一节中我们求取函数 y=1-cos(3*x)*exp(-x)的在0, 4最大值。并在0,4之间放置了两个随机的点，这些点的坐标假设为 x1=1.5，x2=2.5；这里的点是一个标量，但是我们经常遇到的问题可能是更一般的情况x 为一个矢量的情况，比如二维z=2*x1+3*x22 的情况。这个时候我们的每个粒子均为二维，记粒子 P1(x11,x
4、12),P2=(x21,x22),P3=(x31,x32)，.Pn=(xn1,xn2)。这里 n 为粒子群群体的规模，也就是这个群中粒子的个数，每个粒子的维数为 2。更一般的是粒子的维数为 q，这样在这个种群中有 n 个粒子，每个粒子为 q 维。由 n 个粒子组成的群体对 Q 维（就是每个粒子的维数）空间进行搜索。每个粒子表示为：xi（x i1,xi2,xi3,.,xiQ），每个粒子对应的速度可以表示为 vi=(vi1,vi2,vi3,.,viQ)，每个粒子在搜索时要考虑两个因素：1. 自己搜索到的历史最优值 pi ， pi=(pi1,pi2,.,piQ)，i=1,2,3,.,n；2. 全部粒
5、子搜索到的最优值 pg， pg=(pg1,pg2,.,pgQ)，注意这里的 pg 只有一个。下面给出粒子群算法的位置速度更新公式：, .11 2()()kk k kii i ivcrandbestxcrandbestx11kkiiixav这里有几个重要的参数需要大家记忆，因为在以后的讲解中将会经常用到，它们是：是保持原来速度的系数，所以叫做惯性权重。 是粒子跟踪自己历史最优值的权重系1数，它表示粒子自身的认识，所以叫“认知”。通常设置为 2。 是粒子跟踪群体最优值的权c重系数，它表示粒子对整个群体知识的认识，所以叫做“社会知识”，经常叫做“社会”。通常设置为 2。 是0,1区间内均匀分布的随机
6、数。 是对位置更新的时候，在速度前面加()randa的一个系数，这个系数我们叫做约束因子。通常设置为 1。这样一个标准的粒子群算法就介绍结束了。下图是对整个基本的粒子群的过程给一个简单的图形表示。判断终止条件可是设置适应值到达一定的数值或者循环一定的次数。注意：这里的粒子是同时跟踪自己的历史最优值与全局（群体）最优值来改变自己的位置预速度的，所以又叫做全局版本的标准粒子群优化算法。4粒子群优化算法(3)标准粒子群算法(局部优化版本)在全局版的标准粒子群算法中，每个粒子的速度的更新是根据两个因素来变化的，这两个因素是：1. 粒子自己历史最优值 pi。 2. 粒子群体的全局最优值 pg。 如果改变
7、粒子速度更新公式，让每个粒子的速度的更新根据以下两个因素更新，A. 粒子自己历史最优值 pi。 B. 粒子邻域内粒子的最优值 pnk。 其余保持跟全局版的标准粒子群算法一样，这个算法就变为局部版的粒子群算法。一般一个粒子 i 的邻域随着迭代次数的增加而逐渐增加，开始第一次迭代，它的邻域为0，随着迭代次数邻域线性变大，最后邻域扩展到整个粒子群，这时就变成全局版本的粒子群算法了。经过实践证明：全局版本的粒子群算法收敛速度快，但是容易陷入局部最优。局部版本的粒子群算法收敛速度慢，但是很难陷入局部最优。现在的粒子群算法大都在收敛速度与摆脱局部最优这两个方面下功夫。其实这两个方面是矛盾的。看如何更好的折
8、中了。根据取邻域的方式的不同，局部版本的粒子群算法有很多不同的实现方法。第一种方法：按照粒子的编号取粒子的邻域，取法有四种：1，环形取法 2，随机环形取法 3，轮形取法 4，随机轮形取法。1 环形 2 随机环形3 轮形 4 随机轮形因为后面有以环形取法实现的算法，对环形取法在这里做一点点说明：以粒子 1 为例，当邻域是 0 的时候，邻域是它本身，当邻域是 1 时，邻域为 2，8；当邻域是 2 时，邻域是2，3，7，8；.，以此类推，一直到邻域为 4，这个时候，邻域扩展到整个例子群体。据文献介绍（国外的文献），采用轮形拓扑结构，PSO 的效果很好。第二种方法：按照粒子的欧式距离取粒子的邻域在第一
9、种方法中，按照粒子的编号来得到粒子的邻域，但是这些粒子其实可能在实际位置上并不相邻，于是 Suganthan 提出基于空间距离的划分方案，在迭代中计算每一个粒子与群中其他粒子的距离。记录任何 2 个粒子间的的最大距离为 dm。对每一粒子按照|x a-xb|/dm 计算一个比值。其中|x a-xb|是当前粒子 a 到 b 的距离。而选择阈值 frac 根据迭代次数而变化。当另一粒子 b 满足|x a-xb|/dm1|colum1error(输入的粒子的维数错误，必须是一个 1 行 1 列的数据。);7endrow,colum=size(ParticleScope);if row=Particle
10、Size|colum=2error(输入的粒子的维数范围错误。);end%初始化粒子群矩阵%初始化粒子群矩阵，全部设为0-1随机数%rand(state,0);ParSwarm=rand(SwarmSize,2*ParticleSize+1);%对粒子群中位置,速度的范围进行调节for k=1:ParticleSizeParSwarm(:,k)=ParSwarm(:,k)*(ParticleScope(k,2)-ParticleScope(k,1)+ParticleScope(k,1);%调节速度，使速度与位置的范围一致ParSwarm(:,ParticleSize+k)=ParSwarm(:
11、,ParticleSize+k)*(ParticleScope(k,2)-ParticleScope(k,1)+ParticleScope(k,1);end%对每一个粒子计算其适应度函数的值for k=1:SwarmSizeParSwarm(k,2*ParticleSize+1)=AdaptFunc(ParSwarm(k,1:ParticleSize);end%初始化粒子群最优解矩阵OptSwarm=zeros(SwarmSize+1,ParticleSize);%粒子群最优解矩阵全部设为零maxValue,row=max(ParSwarm(:,2*ParticleSize+1);%寻找适应度
12、函数值最大的解在矩阵中的位置( 行数)OptSwarm=ParSwarm(1:SwarmSize,1:ParticleSize);OptSwarm(SwarmSize+1,:)=ParSwarm(row,1:ParticleSize);下面的函数 BaseStepPso 实现了标准全局版粒子群算法的单步更新位置速度的功能function ParSwarm,OptSwarm=BaseStepPso(ParSwarm,OptSwarm,AdaptFunc,ParticleScope,MaxW,MinW,LoopCount,CurCount)%功能描述：全局版本：基本的粒子群算法的单步更新位置,速度
13、的算法%ParSwarm,OptSwarm=BaseStepPso(ParSwarm,OptSwarm,AdaptFunc,ParticleScope,MaxW,MinW,LoopCount,CurCount)8%输入参数：ParSwarm:粒子群矩阵，包含粒子的位置，速度与当前的目标函数值%输入参数：OptSwarm：包含粒子群个体最优解与全局最优解的矩阵%输入参数：ParticleScope:一个粒子在运算中各维的范围；%输入参数：AdaptFunc：适应度函数%输入参数：LoopCount：迭代的总次数%输入参数：CurCount：当前迭代的次数%返回值：含意同输入的同名参数%用法：Pa
14、rSwarm,OptSwarm=BaseStepPso(ParSwarm,OptSwarm,AdaptFunc,ParticleScope,MaxW,MinW,LoopCount,CurCount)%异常：首先保证该文件在 Matlab 的搜索路径中，然后查看相关的提示信息。%编制人：Guide%编制时间：2011.8.9%参考文献：XXX%修改记录%-%修改时间：2011.8.10%修改人：Guide% 添加 2*unifrnd(0,1).*SubTract1(row,:)中的 unifrnd(0,1)随机数，使性能大为提高%参照基于 MATLAB 的粒子群优化算法程序设计% 总体评价：使用
15、这个版本的调节系数，效果比较好%容错控制if nargin=8error(输入的参数个数错误。)endif nargout=2error(输出的个数太少，不能保证循环迭代。)end%开始单步更新的操作%*%*更改下面的代码，可以更改惯性因子的变化 *%-%线形递减策略w=MaxW-CurCount*(MaxW-MinW)/LoopCount);%-9%w 固定不变策略%w=0.7;%-%参考文献：陈贵敏，贾建援，韩琪，粒子群优化算法的惯性权值递减策略研究，西安交通大学学报，2006，1%w 非线形递减，以凹函数递减%w=(MaxW-MinW)*(CurCount/LoopCount)2+(Mi
16、nW-MaxW)*(2*CurCount/LoopCount)+MaxW;%-%w 非线形递减，以凹函数递减%w=MinW*(MaxW/MinW)(1/(1+10*CurCount/LoopCount);%*更改上面的代码，可以更改惯性因子的变化 *%*%得到粒子群群体大小以及一个粒子维数的信息ParRow,ParCol=size(ParSwarm);%得到粒子的维数ParCol=(ParCol-1)/2;SubTract1=OptSwarm(1:ParRow,:)-ParSwarm(:,1:ParCol);%*%*更改下面的代码，可以更改 c1,c2 的变化*c1=2;c2=2;%-%con
17、=1;%c1=4-exp(-con*abs(mean(ParSwarm(:,2*ParCol+1)-AdaptFunc(OptSwarm(ParRow+1,:);%c2=4-c1;%-%*更改上面的代码，可以更改 c1,c2 的变化*%*for row=1:ParRowSubTract2=OptSwarm(ParRow+1,:)-ParSwarm(row,1:ParCol);TempV=w.*ParSwarm(row,ParCol+1:2*ParCol)+2*unifrnd(0,1).*SubTract1(row,:)+2*unifrnd(0,1).*SubTract2;%限制速度的代码for
18、 h=1:ParColif TempV(:,h)ParticleScope(h,2)TempV(:,h)=ParticleScope(h,2);endif TempV(:,h)ParticleScope(h,2)TempPos(:,h)=ParticleScope(h,2);endif TempPos(:,h)AdaptFunc(OptSwarm(row,1:ParCol)OptSwarm(row,1:ParCol)=ParSwarm(row,1:ParCol);endend%for 循环结束%寻找适应度函数值最大的解在矩阵中的位置( 行数)，进行全局最优的改变 maxValue,row=max(ParSwarm(:,2*ParCol+1);if AdaptFunc(ParSwarm(row,1:ParCol)AdaptFunc(OptSwarm(ParRow+1,:)OptSwarm(ParRow+1,:)=ParSwarm(row,1:ParCol);end
