1、第 14 讲 函数的应用考点梳理方法归纳学法指导四川中考1、 （2015德阳 ）某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为 120 元，为寻求合适的销售价格进行了 4 天的试销，试销情况如表所示：第1 天第2 天第3 天第4 天售价 x（元/双） 150 200 250 300销售量 y（双） 40 30 24 20（1）观察表中数据，x，y 满足什么函数关系？请求出这个函数关系式；（2）若商场计划每天的销售利润为 3000元，则其单价应定为多少元？解：（1）由表中数据得：xy=6000，y=，y 是 x 的反比例函数，故所求函数关系式为
2、 y= ；（2）由题意得：（x120 ）y=3000，把 y= 代入得：（x120 ） =3000，解得： x=240；经检验，x =240 是原方程的根；答：若商场计划每天的销售利润为 3000 元，则其单价应定为 240 元2、 （2016攀枝花）某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度若每月用水量不超过 14 吨（含 14 吨） ，则每吨按政府补贴优惠价 m 元收费；若每月用水量超过 14 吨，则超过部分每吨按市场价 n 元收费小明家 3 月份用水 20 吨，交水费 49元；4 月份用水 18 吨，交水费 42 元（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市 场价分别是多少？（2）设每月用水
3、量为 x 吨，应交水费为 y元，请写出 y 与 x 之间的函数关系式；（3）小明家 5 月份用水 26 吨，则他家应交水费多少元？解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为m 元，市场调节价为 n 元，解得： ，答：每吨水的政府补贴优惠价 2 元，市场调节价为 3.5 元 （2）当 0x14 时，y=2x；当 x14 时，y=142+（x 14）3.5=3.5x21，故所求函数关系式为： y=；（3）2614，小英家 5 月份水费为 3.52621=69 元，答：小英家 5 月份水费 69 吨3、 （2016内江）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为 30 米的
4、篱笆围成，已知墙长为 18 米（如图所示） ，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米（1）若苗圃园的面积为 72 平方米，求 x；（2）若平行与墙的一边长不小于 8 米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；（3）当这个苗圃园的面积不小于 100 平方米时，直接写出 x 的取值范围解：（1）根据题意得：（302x）x=72，解得：x=3，x=12，302x18，x=12；（2）设苗圃园的面积为 y，y=x（302x）=2x2+30x，a=20，苗圃园的面积 y有最大值，当 x= 时，即平行于墙的一边长 158 米，y 最大 =112.5 平方米
5、；（3）由题意得：2x 2+30x100 ，解得：5x10 高频考点讲透练活考点 1 一次函数的应用例 1、 （2016长春）甲、乙两车分别从A、B 两地同时出发，甲车匀速前往 B 地，到达 B 地立即以另一速度按原路匀速返回到 A 地；乙车匀速前往 A 地，设甲、乙两车距 A 地的路程为 y（千米） ，甲车行驶的时间为 x（时） ，y 与 x 之间的函数图象如图所示（1）求甲车从 A 地到达 B 地的行驶时间；（2）求甲车返回时 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）求乙车到达 A 地时甲车距 A 地的路程思路分析：（1）根据题意列算式即可得到结论；（2）设甲车返
6、回时 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b 根据题意列方程组即可得到结论；（3）根据题意列算式即 可得到结论解：（1）300（1801.5）=2.5（小时） ，答：甲车从 A 地到达 B 地的行驶时间是2.5 小时；（2）设甲车返回时 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b，解得： ，甲车返回时 y 与 x 之间的函数关系式是y=100x+550；（3）300（300180）1.5=3.75 小时，当 x=3.75 时，y=175 千米，答：乙车到达 A 地时甲车距 A 地的路程是 175 千米【对应训练】来源: 学科网1、 （2016 哈尔滨）明君社区有一块空地需要绿化，某绿化
7、组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率该绿化组完成的绿化面积 S（单位：m 2）与工作时间 t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（ D ）A300m 2 B150m 2C330m 2 D450m 22、 （2016荆门） A 城有某种农机 30 台，B 城有该农机 40 台，现要将这些农机全部运往 C，D 两乡，调运任务承包给某运输公司已知 C 乡需要农机 34 台，D 乡需要农机 3 6 天，从 A 城往 C，D 两乡运送农机的费用分别为 250 元/台和 200 元/ 台，从 B城往 C，D 两乡运送农机的费用分别为 150元
8、/台和 240 元/台（1）设 A 城运往 C 乡该农机 x 台，运送全部农机的总费用为 W 元，求 W 关于 x的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于 16460 元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；（3）现该运输公司决定对 A 城运往 C 乡的农机，从运输费中每台减免 a 元（a200）作为优惠，其它费用不变，如何调运，使总费用最少？解：（1）W=250x+200（30x）+150（34x）+ 240（6+x）=140x+12540（0x30） ；（2）根据题意得140x+1254016460，x28，x30，28x30，
9、有 3 种不同的调运方案，第一种调运方案：从 A 城调往 C 城 28 台，调往 D 城 2 台，从 B 城调往 C 城 6 台，调往 D 城 34 台；第二种调运方案：从 A 城调往 C 城 29 台，调往 D 城 1 台， 从 B 城调往 C 城 5 台，调往 D 城 35 台；第三种调运方案：从 A 城调往 C 城 30 台，调往D 城 0 台，从 B 城调往 C 城 4 台，调往 D城 36 台， （3）W=（250a ）x+200（30x）+150（34x）+ 240（6+x）= （140a ）x+12540，所以当 a=200 时，y 最小=60x+12540，此时 x=30 时
10、y 最小 =10740元此时的方案为：从 A 城调往 C 城 30台，调往 D 城 0 台，从，B 城调往 C 城 4台，调往 D 城 36 台考点 2 反比例函数的应用例 2、 （2016厦门）如图，是药品研究所所测得的某种新药在成人用药后，血液中的药物浓度 y（微克/毫升）用药后的时间x（小时）变化的图象（图象由线段 OA 与部分双曲线 AB 组成） 并测得当 y=a 时，该药物才具有疗效若成人用药 4 小时，药物开始产生疗效，且用药后 9 小时，药物仍具有疗效，则成人用药后，血液中药物浓则至少需要多长时间达到最大度？思路分析：利用待定系数法分别求出直线OA 与双曲线的函数解析式，再令它们
11、相等得出方程，解方程即可求解解：设直线 OA 的解析式为 y=kx，把（4，a）代入，得 a=4k，解得 k= ，即直线 OA 的解析式为 y= x根据题意，（9，a）在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为 y= 当 x= 时，解得 x=6（负值舍去） ，故成人用药后，血液中药物则至少需要 6 小时达到最大浓度【对应训练】3、 （2016厦门）已知压强的计算公式是P= ，我们知道，刀具在使用一段时间后，就好变钝，如果刀刃磨薄，刀具就会变得锋利下列说法中，能正确解释刀具变得锋利这一现象的是（ D ）A当受力面积一定时，压强随压力的增大而增大来源:学科网 ZXXKB当受力面积一定时，压强随压
12、力的增大而减小C当压力一定时，压强随受力面积的减小而减小D当压力一定时，压强随受力面积的减小而增大4、 （2016湖州）湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为 2000 平方米的长方形鱼塘（1）求鱼塘的长 y（米）关于宽 x（米）的函数表达式；（2）由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖 20 米，当鱼塘的宽是 20 米，鱼塘的长为多少米？解：（1）由长方形面积为 2000 平方米，得到 xy=2000，即 y= ；（2）当x=20（米）时，y= =100（米） ，则当鱼塘的宽是 20 米时，鱼塘的长为 100 米考点 3 二次函数的应用例 3、 （2016随州）九年级（3）班数学兴趣小组经过
13、市场调查整理出某种商品在第x 天（1x90，且 x 为整数）的售价与销售量的相关信息如下已知商品的进价为30 元/件，设该商品的售价为 y（单位：元/件） ，每天的销售量为 p（单位：件） ，每天的销售利润为 w（单位：元） 时间x（天） 1 30 60 90每天销售量p（件）198 140 80 20（1）求出 w 与 x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于 5600 元？请直接写出结果思路分析：（1）当 0x50 时，设商品的售价 y 与时间 x 的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待
14、定系数法即可求出此时 y 关于 x 的函数关系式，根据图形可得出当 50x90 时，y=90再结合给定表格，设每天的销售量 p 与时间 x 的函数关系式为 p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出 p 关于 x 的函数关系式，根据销售利润=单件利润销售数量即可得出 w 关于 x 的函数关系式；（ 2）根据 w关于 x 的函数关系式，分段考虑其最值问题当 0x50 时，结合二次 函数的性质即可求出在此范围内 w 的最大值；当50x90 时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内 w 的最大值，两个最大值作比较即可得出结论；（3）令 w5600，可得出关于 x 的一元二次不等式和一元一次不等式，
15、解不等式即可得出 x 的取值范围，由此即可得出结论解：（1）当 0x50 时，设商品的售价y 与时间 x 的函数关系式为 y=kx+b（k、b为常数且 k0） ，y=kx+b 经过点（0，40） 、 （50，90） ， ，解得： ，售价 y 与时间 x 的函数关系式为 y=x+40；当 50x90 时，y=90 售价 y 与时间 x 的函数关系式为y= 由书记可知每天的销售量 p 与时间 x 成一次函数关系，设每天的销售量 p 与时间 x的函数关系式为 p=mx+n（m、n 为常数，且 m0） ，p=mx+n 过点（60，80） 、（30，140） ， ，解得：，p= 2x+200（0 x90
16、，且 x为整数） ，当 0x50 时，w=（y30）p=（x+40 30） （ 2x+200）=2x2+180x+2000；当 50x90 时，w=（90 30） （ 2x+200）=120x+12000综上所示，每天的销售利润 w 与时间 x 的函数关系式是 w=（2）当 0x50 时，w=2x2+180x+2000=2（x 45）2+6050，a= 20 且 0 x50，当x=45 时，w 取最大值，最大值为 6050元当 50x90 时，w=120x+12000，k=1200，w 随 x 增大而减小，当 x=50 时，w 取最大值，最大值为 6000 元60506000，当 x=45时，
17、w 最大，最大值为 6050 元即销售第45 天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是 6050 元 （3）当 0x50 时，令w=2x2+180x+20005600，即2x2+180x36000，解得：30x50，5030+1=21（天） ；当50x90 时，令 w=120x+120005600，即120x+6400 0，解得：50x53 ，x 为整数，50x53，5350=3（天） 综上可知：21+3=24（天） ，故该商品在销售过程中，共有 24 天每天的销售利润不低于 5600元【 对应训练】5、 （2016 南京）图中是抛物线拱桥，P 处有一照明灯，水面 OA 宽 4m，从 O、A
18、两处观测 P 处，仰角分别为 、，且 tan=，tan ，以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴建立直角坐标系（1）求点 P 的坐标；（2）水面上升 1m，水面宽多少（ 取1.41，结果精确到 0.1m）？解：（1）过点 P 作 PHOA 于 H，如图设 PH=3x，在 RtOHP 中，tan = =，OH=6x 在 RtAHP 中，tan= ，AH=2x，OA=OH +AH=8x=4，x= ，OH=3，PH= ，点 P 的坐标为（3， ） ；（2）若水面上升 1m 后到达 BC 位置，如图，过点 O（0，0） ，A（4，0）的抛物线的解析式可设为y=ax（x 4） ，P（3， ）在抛物线y
19、=ax（x 4）上，3a （34）= ，解得 a=，抛物线的解析式为 y= x（x4） 当y=1 时， x（x4）=1 ，解得x1=2+ ，x 2=2 ，BC=（2+ ） （2）=2 =21.41=2.822.8答：水面上升 1m，水面宽约为 2.8 米6、 （2016成都）某果园有 100 颗橙子树，平均每颗树结 600 个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子，假设果园多种了 x 棵橙子树（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与 x 之间的关系；（2）果园多种多
20、少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？解：（1）平均每棵树结的橙子个数 y（个）与 x 之间的关系为：y=6005x（0x120） ；（2）设果园多种x 棵橙子树时，可使橙子的总产量为 w，则w=（600 5x） （100+x）=5x2+100x+60000=5（x 10） 2+60500，则果园多种 10 棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为 60500 个7、 （2016龙岩）某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用 30天的时间销售一种成本为 10 元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第 x 天（x 为正整数）销售的相关信息，如表所示：销售量 n（件
21、） n= 50x来源:学科网当 1x20 时，m=20+ x销售单价 m（元/件） 当 21x30 时，m=10+（1）请计算第几天该商品单价为 25 元/件？（2）求网店销售该商品 30 天里所获利润y（元）关于 x（天）的函数关系式；（3）这 30 天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？解：（1）分两种情况当 1x20 时，将 m=25 代入 m=20+ x，解得 x=10当21x30 时，25=10+ ，解得 x=28经检验 x=28 是方程的解x=28 答：第 10天或第 28 天时该商品为 25 元/件（2）分两种情况当 1x20 时，y=（m10）n=（20+ x10） （50
22、x）= x2+15x+500，当 21x30 时，y=（10+ 10） （50x）=综上所述：（3）当 1x20 时由y= x2+15x+500= （x15）2+ ，a= 0，当 x=15 时，y 最大值= ，当 21x30 时，由 y=420，可知 y 随 x 的增大而减小 当 x=21 时，y 最大值= 420=580 元 第 15 天时获得利润最大，最大利润为 612.5 元易错专攻忽略实际问题中的自变量的取值范围或对函数的图象理解错误例 4、 （1） （2016 扬州）某电商销售一款夏季时装，进价 40 元/件，售价 110 元/ 件，每天销售 20 件，每销售一件需缴纳电商平台推广费
23、用 a 元（a 0） 未来 30 天，这款时装将开展“每天降价 1 元”的夏令促销活动，即从第 1 天起每天的单价均比前一天降 1 元通过市场调研发现，该时装单价每降 1 元，每天销量增加 4 件在这 30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数 t（t 为正整数）的增大而增大，a 的取值范围应为 0a6 （2）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发，快车到达乙地后，快车停止运动，慢车继续以原速匀速驶往甲地，直至慢车到达甲地为止，设慢车行驶的时间为 t（h） ，两车之间的距离为 s（km） ，图中的折线表示 s与 t 之间的函数关系根据图象提供的信息有下列说法：甲、乙两地之间的距离为 900km；行驶 4h 两车相遇；快车的速度为 150km/h；行驶 6h 两车相距400km；相遇时慢车行驶了 240km；快车共行驶了 6h其中符合图象描述的说法有（ B ）个A3 B4 C 5 D6思路分析：仔细观察函数图象，可以找出快、慢车速度以及两地间的距离；结合时间=路程速度能够得出快车到乙地的时间；由 s=0 可以找出两车相遇的时间；再由快、慢车的速度与时间可以判断是否成立，由上面结论即可得出结论
