1、|函数的相关概念与映射_1、 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型；2、 学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；3、 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.一、映射的概念：设 、 是两个非空的集合，如果按某个确定的对应关系 ，对于集合 中的任意一个元素，ABfA在集合 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合 、 ，以及对应关系 ）Bf叫做集合 到集合 的映射，记作： 。:fAB二、像与原像的概念：给定一个集合 A 到集合 B 的映射，且 ，如果元素 和元素 b 对应，那么我们把元,aba素 b 叫做元素
2、 的像，元素 叫做元素 b 的原像。a特别提醒：1、对于映射 来说，则应注意理解以下四点： :f（1）集合 中每一个元素，在集合 中必有唯一的象；（2）集合 中不同元素，在集合 中AB可以有相同的象；（3）集合 中的元素与集合 中的元素的对应关系，可以是：“一对一” 、 “多AB对一” ，但不能是“一对多” 。 （4）允许集合 中的元素没有象；2、集合 、 及对应法则 是确定的，是一个系统；Bf3、对应法则 有“方向性” 。即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关系一般f是不同的；三、映射：一般地，设 ， 是两个非空的集合， 是集合 到集合 的映射，如果在这个映AB:
3、f射下，对于集合 中的不同的元素，在集合 中有不同的象，而且 中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做 到 的一一映射。|特别提醒：对一一映射概念的理解应注意以下两点：（1）集合 B 中的每一个元素都有原象，也就是说，集合 中不允许有剩余的元素。 （2）对于集合 中的不同元素，在集合 中有不同的BA象，也就是说，不允许“多对一” ；四、函数的概念 ：设 、 是两个非空的数集，如果按某一个确定的对应关系 ,使对于集合 中的任意一个数A fA,在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一xfx:BB个函数，记作 。其中 叫自变量， 的取值范围 A 叫做函数 的定义域；,yf
4、xAx)(xfy与 的值相对应的 的值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数 的值域。f|)(特别提醒：1、函数实际上就是集合 到集合 的一个特殊映射 ，其特殊处主要在于集合 , B为非空的数集；其中定义域 ，就是指原象的集合，值域 ，就是象的集合。2、B xf|函数符号 表示“ 是 的函数” ，应理解为：（1） 是自变量，它是关系所施加的对象；)(xfyyx是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图像、表格，也可以是文字描述；（2）符号f仅仅是函数符号，不是表示“ 等于 与 的乘积 ”， 也不一定是解析式，再研究yxyfx)(xf函数时，除用符号 外，还常用 等符号来表示。 3、判断两个变量
5、之间是否具)(xf(),()gxFG有函数关系，只要检验：（1） 的取值集合是否为空集；（ 2）根据给出的对应关系，自变量 在x其定义域内的每一个值，是否都有唯一确定的函数值与之对应。五：函数的值：表示当 时，函数 的值，这个值就由“ ”这一对应关系来确定； 与faxafxf )(f是不同的，前者表示以 为自变量的函数，后者为常数)(六：函数的三要素 ：我们通常把对应法则 、定义域 、值域 称为函数的三要素。由函数的定义可fAAxf|)(知，由于函数值域被函数的定义域和对应关系完全确定，这样确定一个函数只需两个要素：定义域和对应法则。如果两个函数的定义域和对应法则分别相同，我们就说这两个函数是
6、同一函数。七：区间的概念和记号：名称 定义 符号 数轴表示闭区间 xab,ab开区间 左闭右开区间 x,左开右闭区间 abab无穷区间 x,无穷区间 无穷区间 xa,a|无穷区间 xa,a特别提醒：书写区间记号时：（1）有完整的区间外围记号，有两个区间端点，且左端点小于右端点；（2）两个端点之间用“， ”隔开；（3）无穷大是一个符号，不是一个数；以“ ”或“ ”为区间一端时，这一端必是小括号。八：分段函数有些函数在它的定义域中，对于自变量 x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数。如函数0 yx特别提醒：1、分段函数是一个函数，而不是几个函数；2、它是一类较特殊的函数。在求
7、分段函数的值 时，一定首先要判断 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式； 3、分段0()fx0x函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。九：复合函数如果 ，那么 叫做 和 的复合函数，其中 为内函数，,yfugyfgfggx为外函数。 f类型一 映射的概念例 1：已知集合 A1,2,3,4， B5,6,7，在下列 A 到 B 的四个对应关系中，能否构成 A到 B 的映射？说明理由解析：(1)、(3)是 A 到 B 的映射，都符合映射的定义，即 A 中的每一个元素在 B 中都有惟一元素与之对应；(2)不是 A 到 B 的映射，因为 A 中的元素 4 在 B 中没有元素与
8、之对应；(4)不是 A 到 B的映射，因为 A 中的元素 3 在 B 中有两个元素与之对应答案：(1)、(3)是 A 到 B 的映射；(2)、 （4）不是 A 到 B 的映射练习 1：设集合 A x|0 x4， B y|0 y2，则下列对应 f 中不能构成 A 到 B 的映射的是( )A f： x y x B f： x y x212C f： x y D f： x y| x2|x答案：B 练习 2： (20142015 学年度四川德阳五中高一上学期月考)下列对应是集合 A 到集合 B 的映射的是( )A AN *， BN *， f： x| x3|B A平面内的圆； B平面内的矩形， f：每一个圆
9、对应它的内接矩形C A x|0 x2， B y|0 y6， f： x y x12D A0,1， B1,0,1， f： A 中的数开平方答案：C类型二 映射中的象与原象例 2：已知集合 AR， B( x， y)|x， yR， f： A B 是从 A 到 B 的映射，f： x( x1， x21)，求 A 中元素 的象和 B 中元素( ， )的原象.232 54解析：把 x 代入对应法则，得其象为( 1,3)，2 2又由Error!，解得 x .12 的象为( 1,3)，( ， )的原象为 .2 232 54 12答案： 的象为( 1,3)，( ， )的原象为 .2 232 54 12练习 1：已知
10、映射 f：( x， y)(3 x2 y1,4 x3 y1) (1)求(1,2)的象；(2)求(1,2)的原象答案：(1,2)的象为(6,1)(1,2)的原象为(0,1)练习 2：(20142015 学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)在映射 f： A B 中，集合A B( x， y)|x、 yR，且 f：( x， y)( x y， x y)，则 B 中的元素(1,2)在集合 A 中的原象为_答案： (12， 32)类型三 函数的概念例 3：设 M x|0 x2， N y|0 y2给出下列 4 个图形，其中能表示集合 M 到集合 N 的函数关系的有( )A0 个 B1 个 C2 个 D3
11、个解析：由函数的定义知，(1)不是，因为集合 M 中 10， f： x y| x|；(2)AZ， BZ， f： x y x2 x；答案：(1)否 (2)是|练习 2：下列关于函数与区间的说法正确的是( )A函数定义域必不是空集，但值域可以是空集B函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了C数集都能用区间表示D函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应答案：D类型四 同一函数的判定例 4：下列各组函数是同一函数的是( ) f(x) 与 g(x) x ； 2x3 2x f(x) x 与 g(x) ；x f(x) x0与 g(x) ；1x0 f(x) x22 x1 与 g(x) t22 t1.A
12、B C D解析：对于、，两函数的对应法则都不同，对于、，两函数的定义域和对应法则都相同，故选 C答案：C练习 1：(20142015 学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)下列四组函数，表示同一函数的是( )A f(x) ， g(x) xx2B f(x) x， g(x)x2xC f(x) ， g(x) x2 4 x 2 x 2D f(x) x， g(x) 3x3答案：D练习 2：下列函数中哪个与函数 是同一个函数，把序号填在横线上 。y ； ； 2y3 2xy答案： 类型五 函数的定义域例 5：求下列函数的定义域：(1)y3 x；12(2)y ；2x 312 x 1x解析：(1)函数 y3 x
13、的定义域为 R.12(2)要使函数有意义，则有Error!，解得 x2，且 x0.32所求函数的定义域为.x|32 x2， 且 x 0|答案：（1）R（2） .x|32 x2， 且 x 0练习 1：求下列函数的定义域：(1)y ；x 1x2 3x 2(2)y ；x2 1 1 x2(3)y .11 |x| x2 1答案：(1) xR| x1，且 x2(2)1,1(3) (，1)(1，)练习 2：(20142015 学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)函数 y 的定义域x 1x是( )A1，) B(0，)C(1，) D1,0)(0，)答案： D类型六 求函数值例 6：若 f(x) (x1)，
14、求 f(0)， f(1)， f(1 a)(a2)， ff(2)1 x1 x解析： f(0) 1； f(1) 0；1 01 0 1 11 1f(1 a) (a2)；1 1 a1 1 a a2 aff(2) 2.1 f 21 f 21 1 21 21 1 21 2答案： 2练习 1：已知函数 f(x)3 x25 x2，求 f(3)， f( )， f(a1)2答案： f(3)14； f( )85 ； f(a1)3 a2 a.2 2练习 2：已知函数 f(x) x2 x1.求 f(2)， f( )；1x答案： f(2)5， f .(1x) 1 x x2x21. 给出下列关于从集合 到集合 的映射的论述
15、，其中正确的有_。AB 中任何一个元素在 中必有原象； 中不同元素在 中的象也不同； 中任何一个BABA元素在 中的象是唯一的； 中任何一个元素在 中可以有不同的象； 中某一元素在 中的原象可能不止一个；集合 与 一定是数集；记号 与 的含义是一样f:f:的答案：2. 下列集合 到集合 的对应中，判断哪些是 到 的映射? 判断哪些是 到 的一一映AB B射?(1) ，对应法则 ；ZN, :f ByAxyx,|(2) ， ， ， ， ；RABxyf1:ABy答案： (1)是映射，不是一一映射， (2)是映射，是一一映射 3. 下列各式能否确定 是 的函数？（1） ；（2） ；（3）21xy20x
16、y32yxx答案：（1）不能（2）能；（3）不能。4. 已知 ，则 ； ； ； 3f1f5ff； 。fafa答案：-1；41； ； ； 。2240a5下列各组函数中，把表示同一函数组的序号填在横线上 。 ； ； ； ,yx22,yx21,xy012,答案： _基础巩固1下列对应是从集合 A 到集合 B 的映射的是（ ）A、 B、 ,0,:RBxRxfx且 ,:1ANxfxAC、 D、2,且答案：C1,:Qfx2. 已知 ，下列对应不表示从 到 的函数的是（ 04,02PQyPQ）A、 B、 C、 D、1:2fxy1:3fx3:2fxy:f答案：C3.(20142015 学年度广东肇庆市高一上学
17、期期中测试)函数 f(x) 的定义域2 x x 2为_答案：24. 是从 到 的映射，其中 ， ，BAf: RARyxB,)(，则 中元素 的象是 ； 中元素 的原象 。)1,(:2xf 2B)2,(|答案： 1)3,2(5. 己知集合 ，且 使 元素42,23,73AkBa,aNxAyB和 中的元素 对应，则 = ， = 。31yxx答案：2 56. 已知函数 满足 ，则 。2fpq10ff1f答案： 67. 下列函数中哪个与函数 是同一个函数，把序号填在横线上 。xy ； ； 2xy3 2xy答案：能力提升8. 已知 求21 1fxgx,fgxf答案： ； 2g 219. 已知 ，分别求 的值。10)(xf)(1,0fff答案： ()2 0 ()1 ffff； ； ； ；10. 将下列集合用区间表示：（1） ； （2） ； （3） 。0x12xx或 ,xR答案：（1） ；（2） ；（3） 。,1,11课 程 顾 问 签 字 ： 教 学 主 管 签 字 ：
