1、2005 年全国部分高校研究生数学建模竞赛 B 题空 中 加 油对飞行中的飞机进行空中加油,可以大大提高飞机的直航能力。为了简化问题,便于讨论,我们作如下假设。设 为空军基地,基地有一架作战飞机(简称主机)和 架加油机(简称A n辅机) 。主机与辅机的速度和单位时间的耗油量均相同且为常数,油箱装满油后的最大航程均为 (公里) 。辅机可以对主机加油,辅机之间也可以相互加油。L今主机要执行某作战任务(如侦察或空投) ,所有飞机在完成自身的任务后均要求返回基地。 主机的最大作战半径(简称作战半径)是指主机在 架辅机的协助下所能n飞到的(并安全返回)离基地 的最远距离。显然当 时,作战半径A0。2/0
2、Lr问题 1 设飞机垂直起飞、垂直降落、空中转向、在地面或空中加油的耗时均忽略不计,每架飞机只能上天一次,在上述假设下的作战半径记为 。当nr时,求作战半径 。4,32nnr问题 2 在问题 1 的假设下,当 时,尽你的可能求出 (提示:先假4nr设辅机可以分为两类,第一类专为主机前进服务,第二类专为主机返回服务,再考虑一般情形) ,或给出 的上、下界; 讨论当 的过程中 与 n 的渐nr n近关系; 试给出判断最优作战方案(主机能够飞到 处)的必要条件或充分条r件。问题 3 若每架辅机可以多次上天,辅机从机场上空降落及在地面检修、加油、再起飞到机场上空的时间相当于飞行 的时间,飞机第一次起飞
3、、转12/L向、在空中加油的耗时仍忽略不计,此时的作战半径记为 ,讨论与问题 1、nR问题 2 类似的问题。问题 4 若另有 2 个待建的空军基地(或航空母舰) ,有 架辅机,21,A主机从基地 起飞,向一给定的方向飞行,必须在基地 降落,辅机可在任一A基地待命,可多次起飞,且可在任一基地降落。其他同问题 3 的假设,讨论的选址和主机的作战半径 。21, *nR问题 5 设 为矩形, , , 为三个空军基地,BCDLAB4D2BA,主机从 起飞,到 执行任务(执行任务时间仍忽略不计)再返回 。假设辅A机起飞、降落的基地可任意选择,其他同问题 3 的假设,试按最快到达并返回和最少辅机架数两种情况给出你的作战方案。