1、定积分 习题课,一、主要内容,问题1:曲边梯形的面积,问题2:变速直线运动的路程,定积分,存在定理,广义积分,定积分的性质,牛顿-莱布尼茨公式,定积分的计算法,二、内容提要,1 定积分的定义,定义的实质,几何意义,物理意义,2 可积和 可积的两个充分条件,3 定积分的性质,线性性,可加性,非负性,比较定理,估值定理,积分中值定理,积分中值公式,若M 和 m 是,变上限定积分及其导数,牛顿莱布尼茨公式,定积分的计算法,（1）换元法,换元积分公式,（2）分部积分法,分部积分公式,微积分基本公式,利用对称区间上奇偶函数的性质简化定积分的计算,广义积分,(1)无穷限的广义积分,(2)无界函数的广义积分
2、,三、典型例题,例1,解,例2,广义积分中值定理,设f(x) 在 a ,b上连续， g(x) 在 a ,b上可积，且不变号，则,证,因f(x) 在 a ,b上连续，故f(x) 在 a ,b上必取得,最大值M和最小值m，,又g(x) 在 a ,b上不变号,故不妨设,若,则由上式知,可取a ,b内任一点,若,由介值定理,例3,证明,证一,由广义积分中值定理,证二,例4,求极限,证三,解,如果能把数列的通项写成,的形式,就可以利用,或,把数列极限问题转化为定积分,的计算问题,与数列的极限有着密切联系,由以上两例可见，连续函数 f ( x ) 的定积分,解,例 5,解,是偶函数,例 6,证明Cauch
3、y-Schwarz不等式,证,例7,记,则,另证,定积分不等式的证明方法辅助函数法,将一个积分限换成变量，移项使一端为 0另一端即为所求作的辅助函数 F ( x ), 判定单调性，与端点的值进行比较即得证,例8,设,求,解,这是 型未定式的极限,解,由LHospital法则,a = 0 或 b =1,将 a = 0 代入知不合题意,故b =1,例9 试确定 a , b 的值使,证明,证一,由定积分的定义,（ 因 f ( x ) 是凸函数）,证二,记,则a 0,例10 设,上凸,故其上任一点的切线都在曲线的上方,在 x = a 处的切线方程为,证三,易证明当 t 0 时有,或,又曲线,例11,设
4、 f ( x ) 在 a , b 上连续且 f ( x ) 0 证明,令,则 F ( x ) 在 a , b 上连续，在( a , b ) 内可导,即 F( x ) 单调增,设,则,由介值定理得,即,证,解,例12,例13 设 f ( x ) 在 0 , 1 上连续，且单调不增,证明 对任何,有,证一,由积分中值定理,再由f ( x )单调不增,证二,则F(1)=0,再由f ( x )单调不增,证三,证四,证五,由f ( x )单调不增,例14 计算,解一,= 0,= 0,解二,由定积分换元法知,例15,证明 方程,在 ( 0 , 1 ) 内至少有一根,证,则 F(x) 在 0,1 上连续，在
5、 (0,1) 内可导,由 Rolle 定理,在 ( 0 , 1 ) 内至少有一根,例16 已知周期为L的函数在,上是连续的奇函数，证明,也是以L为周期的函数,证一,对称区间上奇函数的积分,证二,例18 设 f ( x ) , g ( x ) 在 a , b 上连续，证明,证,关键在于作出辅助函数 F(x),则 F(a) F(b) 的符号不易判别，得不出结论,两边积分得,则 F ( x ) 在 a , b 上连续，在 ( a , b ) 内可导且F ( a ) = F ( b ) = 0,由 Rolle 定理知,注： 辅助函数法证明定积分等式主要适用于证明在积分限中至少存在一点使等式成立的命题,移项使一端为 0,另一端即为,验证 F ( x ) 满足介值定理或 Rolle 定理,
