1、- 1 -2003 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）如果函数 的图象与 x 轴有两上交点，则点（a，b）在 aOb 平面上的bxay2区域（不包含边界）为（2）抛物线 的准线方程是 y=2，则 a 的值为2axy（A） （B） （C）8 （D）8811（3）已知 xxx2tan,54cos),02(则（A） （B） （C） （D）47774724（4）设函数 则 x0 的取值范围是,1)(.0,1)(2fxxf若（A） （1，1）
2、（B） （1，+）（C） （，2）（ 0，+） （D ） （，1）（1，+）（5）O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足则 P 的轨迹一定通过ABC 的（ ）),),|(AP（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心abO abO abOabO(A) (B) (C) (D)- 2 -（6）函数 的反函数为),1(lnxy（A） （B）,0,ex ),0(,1xey（C） （D ）),(,1yx ),(,x（7）棱长为 a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（A） （B） （C） （D）343a63a123a（8）设 曲线 在点 处切
3、线的倾斜角的取,)(,02cbxxfa)(xfy)(,0xfP值范围为 ，则 P 到曲线 对称轴距离的取值范围为4（A） （B） （C） （D）a1, 21,0a|2,ab|21|,ab（9）已知方程 的四个根组成一个首项为 的等差数列，)(2 nxmx 4则 |mn|=（A）1 （B） （C） （D）432183（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（ ，0）直线 y=x1 与其相交于 M、N7两点，MN 中点的横坐标为 ，则此双曲线的方程是32（A） （B） （C） （D）1432yx14yx125yx152yx（11）已知长方形四个顶点 A（0，0） ，B（2，0） ，C（2，1）
4、和 D（0，1）.一质点从 AB的中点 P0 沿与 AB 夹角为 的方向射到 BC 上的点 P1 后，依次反射到 CD、DA 和AB 上的点 P2、 P3 和 P4（入射角等于反射角）.设 P4 的坐标为（ x4，0）.若 1 x42，则tan 的取值范围是（A） （B） （C） （D）)1,()32,1()21,5()32,5(（12）一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（A）3 （B）4 （C） （D）63- 3 -第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，把答案填在题中横线上.（13） 展开式中 x9 的系数是 .92)1
5、(x（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200 辆，6000 辆和 2000 辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取， ， 辆.（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6个部分（如图）.现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种.（以数字作答）（16）对于四面体 ABCD，给出下列四个命题若 AB=AC，BD=CD，则 BCAD. 若 AB=CD，AC=BD，则 BCAD.若 ABAC，BD CD ，则 BCAD. 若 ABCD，BDAC，则 BCAD.其中真命题
6、的序号是 .（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17） （本小题满分 12 分）有三种产品，合格率分别是 0.90，0.95 和 0.95，各抽取一件进行检验.（）求恰有一件不合格的概率；（）求至少有两件不合格的概率.（精确到 0.001）12 3456- 4 -（18） （本小题满分 12 分）已知函数 上 R 上的偶函数，其图象关于点)0,)(sin)( xf对称，且在区间 上是单调函数，求 和 的值.0,43M2（19） （本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面是等腰直角三角形， AC
7、B=90，侧棱AA1=2， D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G.（）求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） ；（）求点 A1 到平面 AED 的距离.（20） （本小题满分 12 分）已知常数 ，向量0aA1 B1C1BCDAEG- 5 -经过原点 O 以 为方向向量的直线与经过定点 A（0，a）以).0,1(,(iac ic为方向向量的直线相交于点 P，其中 试问：是否存在两个定点 E、F，i2 .R使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出 E、F 的坐标；若不存在，说明理由.（21） （本小题满分
8、12 分）已知 为正整数.na,0（）设 ；1)(,)(naxyxy证 明（）设 ).(1)(,1nfff nnn 证 明对 任 意（22） （本小题满分 14 分）设 如图，已知直线 及曲线 C： ，C 上的点 Q1 的横坐标为,0aaxyl: 2xy1a（ ）.从 C 上的点 Qn（n1）作直线平行于 x 轴，交直线 l 于点 ，再从1 nP点 作直线平行于 y 轴，交曲线 C 于点 Qn+1.Qn（n=1，2，3，）的横坐标构成数nP列 .aQ2Q3Q1P1P2xOy lc- 6 -（）试求 的关系，并求 的通项公式；na与1na（）当 时，证明 ；2,1kk1213)(（）当 a=1
9、时，证明 nkka121.)(- 7 -2003 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分.（1）C （2）B （3）D （4）D （5）B （6）B （7）C （8）B （9）C（10）D （11）C （12）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分.（13） （14）6,30,10 （15）120 （16）21三、解答题（17）本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分 12分.解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为 A、B 和 C.（）
10、 ， 95.0)(,90.)(CPBAP .50)(,10.)(CPP因为事件 A，B，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为 176.095.105.90.2 )()()()()( BA答：恰有一件不合格的概率为 0.176.解法一：至少有两件不合格的概率为 )()()()( CBAPCBAP012.5.109.510.25.90 解法二：三件产品都合格的概率为 8.)()( 2BAP由（）知，恰有一件不合格的概率为 0.176，所以至有两件不合格的概率为 .01)76.81.0(76.)(1C答：至少有两件不合的概率为 0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知
11、识，以及分析问题和推理计算能力，满 12 分分。- 8 -解：由 f（x）是偶函数，得 f（x） f（x） ， 即 ),sin()sin(所以 .icocxx对任意 x 都成立，且 0，所以得 cos0依题设，0，所以解得 2由 f（x）图象关于点 M 对称，得 ，xfxf4343取 x0，得 ,所以 = 043ff f ,cos)2sin()f 0，又 0，得43co,321,43k .,1),(k当 k0 时， ， 在区间 上是减函数；3223sinxf ,0当 k1 时，2， 在区间 上是减函数；ixf ,当 k0 时， ， 在区间 上不是单调函数；302sinxf ,0所以综合得 或
12、2（19）本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分 12 分.解法一：（）连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即EBG 是 A1B 与平面ABD 所成的角设 F 为 AB 中点，连结 EF、FC， D、E 分别是 CC1、A 1B 的中点，又 DC平面ABC，A1 B1C1BCDAEFG- 9 - CDEF 为矩形连结 DF，G 是ADB 的重心，GDF在直角三角形 EFD 中，2231FDEF EF1， 4 分.于是 .,3621G ,EDFC .21EBAB .326sinG.2621EDASED .36h即 A1 到平面 AE
13、D 的距离为 .62解法二： （）连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即A 1BG 是 A1B 与平面ABD 所成的角如图所示建立坐标系，坐标原点为 O，设 CA2a，则 A（2a，0，0） ，B（0，2a，0） ，D （0，0，1） ，A 1（2a，0，2） ，E（a，a，1） ，)31(，G ， ，E)2(， a ，解得 a102aBDA1 B1C1x BDyAEG C(O)zK- 10 - ， )2(1，BA)314(，BG 72/|cos1A1B 与平面 ABD 所成角是 3arcos（）由（）有 A（2，0，0） ，A 1（2，0，2） ，E（1，1，1） ，D（0
14、，0，1） ，)()1( ，ED，1 ，A ED平面 AA1E，又 ED平面 AED， 平面 AED平面 AA1E，又面 AED 面 AA1EAE， 点 A1 在平面 AED 的射影 K 在 AE 上设 ，K则 )2(1，由 ，即 +20，AE解得 32 )4(1，K 362|1A故 A1 到平面 AED 的距离为 362（20）本小题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分 12 分解：根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点 P 到两定点距离的和为定值 i（1，0） ，c （0，a） ，
