2003年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷.DOC

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1、- 1 -2003 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数 学第卷(选择题 共 60 分)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)如果函数 的图象与 x 轴有两上交点,则点(a,b)在 aOb 平面上的bxay2区域(不包含边界)为(2)抛物线 的准线方程是 y=2,则 a 的值为2axy(A) (B) (C)8 (D)8811(3)已知 xxx2tan,54cos),02(则(A) (B) (C) (D)47774724(4)设函数 则 x0 的取值范围是,1)(.0,1)(2fxxf若(A) (1,1)

2、(B) (1,+)(C) (,2)( 0,+) (D ) (,1)(1,+)(5)O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足则 P 的轨迹一定通过ABC 的( )),),|(AP(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心abO abO abOabO(A) (B) (C) (D)- 2 -(6)函数 的反函数为),1(lnxy(A) (B),0,ex ),0(,1xey(C) (D )),(,1yx ),(,x(7)棱长为 a 的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为(A) (B) (C) (D)343a63a123a(8)设 曲线 在点 处切

3、线的倾斜角的取,)(,02cbxxfa)(xfy)(,0xfP值范围为 ,则 P 到曲线 对称轴距离的取值范围为4(A) (B) (C) (D)a1, 21,0a|2,ab|21|,ab(9)已知方程 的四个根组成一个首项为 的等差数列,)(2 nxmx 4则 |mn|=(A)1 (B) (C) (D)432183(10)已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( ,0)直线 y=x1 与其相交于 M、N7两点,MN 中点的横坐标为 ,则此双曲线的方程是32(A) (B) (C) (D)1432yx14yx125yx152yx(11)已知长方形四个顶点 A(0,0) ,B(2,0) ,C(2,1)

4、和 D(0,1).一质点从 AB的中点 P0 沿与 AB 夹角为 的方向射到 BC 上的点 P1 后,依次反射到 CD、DA 和AB 上的点 P2、 P3 和 P4(入射角等于反射角).设 P4 的坐标为( x4,0).若 1 x42,则tan 的取值范围是(A) (B) (C) (D))1,()32,1()21,5()32,5((12)一个四面体的所有棱长都为 ,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为(A)3 (B)4 (C) (D)63- 3 -第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,把答案填在题中横线上.(13) 展开式中 x9 的系数是 .92)1

5、(x(14)某公司生产三种型号的轿车,产量分别为 1200 辆,6000 辆和 2000 辆,为检验该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取, , 辆.(15)某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6个部分(如图).现要栽种 4 种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有 种.(以数字作答)(16)对于四面体 ABCD,给出下列四个命题若 AB=AC,BD=CD,则 BCAD. 若 AB=CD,AC=BD,则 BCAD.若 ABAC,BD CD ,则 BCAD. 若 ABCD,BDAC,则 BCAD.其中真命题

6、的序号是 .(写出所有真命题的序号)三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17) (本小题满分 12 分)有三种产品,合格率分别是 0.90,0.95 和 0.95,各抽取一件进行检验.()求恰有一件不合格的概率;()求至少有两件不合格的概率.(精确到 0.001)12 3456- 4 -(18) (本小题满分 12 分)已知函数 上 R 上的偶函数,其图象关于点)0,)(sin)( xf对称,且在区间 上是单调函数,求 和 的值.0,43M2(19) (本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABCA1B1C1 中,底面是等腰直角三角形, AC

7、B=90,侧棱AA1=2, D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G.()求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) ;()求点 A1 到平面 AED 的距离.(20) (本小题满分 12 分)已知常数 ,向量0aA1 B1C1BCDAEG- 5 -经过原点 O 以 为方向向量的直线与经过定点 A(0,a)以).0,1(,(iac ic为方向向量的直线相交于点 P,其中 试问:是否存在两个定点 E、F,i2 .R使得|PE|+|PF|为定值.若存在,求出 E、F 的坐标;若不存在,说明理由.(21) (本小题满分

8、12 分)已知 为正整数.na,0()设 ;1)(,)(naxyxy证 明()设 ).(1)(,1nfff nnn 证 明对 任 意(22) (本小题满分 14 分)设 如图,已知直线 及曲线 C: ,C 上的点 Q1 的横坐标为,0aaxyl: 2xy1a( ).从 C 上的点 Qn(n1)作直线平行于 x 轴,交直线 l 于点 ,再从1 nP点 作直线平行于 y 轴,交曲线 C 于点 Qn+1.Qn(n=1,2,3,)的横坐标构成数nP列 .aQ2Q3Q1P1P2xOy lc- 6 -()试求 的关系,并求 的通项公式;na与1na()当 时,证明 ;2,1kk1213)(()当 a=1

9、时,证明 nkka121.)(- 7 -2003 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学参考答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 5 分,满分 60 分.(1)C (2)B (3)D (4)D (5)B (6)B (7)C (8)B (9)C(10)D (11)C (12)A二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 4 分,满分 16 分.(13) (14)6,30,10 (15)120 (16)21三、解答题(17)本小题要主考查相互独立事件概率的计算,运用数学知识解决问题的能力,满分 12分.解:设三种产品各抽取一件,抽到合格产品的事件分别为 A、B 和 C.()

10、 , 95.0)(,90.)(CPBAP .50)(,10.)(CPP因为事件 A,B,C 相互独立,恰有一件不合格的概率为 176.095.105.90.2 )()()()()( BA答:恰有一件不合格的概率为 0.176.解法一:至少有两件不合格的概率为 )()()()( CBAPCBAP012.5.109.510.25.90 解法二:三件产品都合格的概率为 8.)()( 2BAP由()知,恰有一件不合格的概率为 0.176,所以至有两件不合格的概率为 .01)76.81.0(76.)(1C答:至少有两件不合的概率为 0.012.(18)在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知

11、识,以及分析问题和推理计算能力,满 12 分分。- 8 -解:由 f(x)是偶函数,得 f(x) f(x) , 即 ),sin()sin(所以 .icocxx对任意 x 都成立,且 0,所以得 cos0依题设,0,所以解得 2由 f(x)图象关于点 M 对称,得 ,xfxf4343取 x0,得 ,所以 = 043ff f ,cos)2sin()f 0,又 0,得43co,321,43k .,1),(k当 k0 时, , 在区间 上是减函数;3223sinxf ,0当 k1 时,2, 在区间 上是减函数;ixf ,当 k0 时, , 在区间 上不是单调函数;302sinxf ,0所以综合得 或

12、2(19)本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分 12 分.解法一:()连结 BG,则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影,即EBG 是 A1B 与平面ABD 所成的角设 F 为 AB 中点,连结 EF、FC, D、E 分别是 CC1、A 1B 的中点,又 DC平面ABC,A1 B1C1BCDAEFG- 9 - CDEF 为矩形连结 DF,G 是ADB 的重心,GDF在直角三角形 EFD 中,2231FDEF EF1, 4 分.于是 .,3621G ,EDFC .21EBAB .326sinG.2621EDASED .36h即 A1 到平面 AE

13、D 的距离为 .62解法二: ()连结 BG,则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影,即A 1BG 是 A1B 与平面ABD 所成的角如图所示建立坐标系,坐标原点为 O,设 CA2a,则 A(2a,0,0) ,B(0,2a,0) ,D (0,0,1) ,A 1(2a,0,2) ,E(a,a,1) ,)31(,G , ,E)2(, a ,解得 a102aBDA1 B1C1x BDyAEG C(O)zK- 10 - , )2(1,BA)314(,BG 72/|cos1A1B 与平面 ABD 所成角是 3arcos()由()有 A(2,0,0) ,A 1(2,0,2) ,E(1,1,1) ,D(0

14、,0,1) ,)()1( ,ED,1 ,A ED平面 AA1E,又 ED平面 AED, 平面 AED平面 AA1E,又面 AED 面 AA1EAE, 点 A1 在平面 AED 的射影 K 在 AE 上设 ,K则 )2(1,由 ,即 +20,AE解得 32 )4(1,K 362|1A故 A1 到平面 AED 的距离为 362(20)本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法,椭圆的方程和性质,利用方程判定曲线的性质,曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力,满分 12 分解:根据题设条件,首先求出点 P 坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点 P 到两定点距离的和为定值 i(1,0) ,c (0,a) ,

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