1、智浪教育 -普惠英才文库 1 初三数学竞赛试题（中等以上） 说明： I 卷的答案必须答在 II 卷前的答题卡上 第 I 卷 一、单选题（每题 3 分，共 48 分） 1、与数轴上的点一一对应的数是（ ） A、整数 B、有理数 C、无理数 D、实数 2、一块矩形木板，截去一块三角板后（只切一刀）余料上角的个数是（ ） A、 5 B、 3 C、 3 或 5 D、 3； 4 或 5 3、若 m,n 为实数，则代数式 nmnm 2)( +|nm |的值（ ） A、大于 0 B、不小于 0 C、小于 0 D、等于 0 4、若两圆的半径分别为 3 和 5，圆心距为 x，且 2)3( x =x-3,|x-4
2、|=4-x,则两圆的公切线共有（ ） A、 1 条 B、 2 条 C、 3 条 D、 4 条 5、已知关于 x 的不等式（ 1-a） x2 的解集为 x0 B、 a1 C、 aCOS，则下列各式中正确的是（ ） A、 B、 Sin Sin C、 tg tg D、 ctg ctg 7、若实数 a,b 满足 a2-8a+5=0,b2-8b+5=0 则代数式 11ab + 11ba 的值为（ ） A、 20 B、 2 C、 2 或 20 D、 2 或 20 8、若三角形的三边长为 Sin、 COS， tg ctg ,001 D、 k1或 kr），圆心距为 d，若关于 x 的方程 x2 2rx+(R
3、d)2=0 有相等的两实根，则两圆的位置关系是（ ） A、内切 B、外切 C、相交 D、相切 13、二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则a,b,c 的大小关系是（ ） A、 abc B、 acb C、 ab=c D、不能确定 14、半径为 5、 2 5 的两圆相交且公共弦长为 8 则圆 心距是（ ） A、 5 B、 6 C、 1 D、 1 或 5 15、如图， P， Q 为双曲线 y= x2 上的两点 Rt POM 的面积为 S1， Rt QON 的面积为 S2，则 S1 与 S2 之间的关系是（ ） A、 S1=2S2 B、 S1+S22 16、下列四个命题： （ 1）如果一条
4、直线上的两个不同的点到另一 条直线的距离相等，那么这两条直线平行； （ 2）反比例函数的图象是轴对称图形，且只有一条对称轴 ； （ 3）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则底角等于 750； （ 4）相等的圆周角所对的弧相等。 其中错误的命题有（ ） A、 4 个 B、 3 个 C、 2 个 D、 1 个 智浪教育 -普惠英才文库 2 I 卷答题卡 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 II 卷 二、填空题（每空 4 分，共 40 分） 、已知 a 是正数，且 a a2=1，则 a2-24a= 。 、如果某商品进价降低，而售价不变，利润可由日前的 a%
5、增加到 （ a+15） % ，则 a= 。 、如图在圆内接四边形中， o B=900 AB=2,CD=1 则 、已知反比例函数 y= xm21 的图象上两点 （ x1,y1） ,B(x2,y2),当 x10,ba 0 化简2)2(326abba（分） 学校考场姓名考号智浪教育 -普惠英才文库 3 、如图，中， 0。 是上的一点，以为圆心为半径的圆交于点，与相切于点，若，。求的长。（分） 、 若 x， y为正整数，且 xy+x+y=23,x2y+xy2=120。 求 x2+y2的值 .(6 分 ) 、与铁路平行的一条公路上有一行人与骑车人同时向东行进，行人速度是 3.6千米小时，骑车人的速度是
6、10.8 千米小时，如果一列 火车从他们的背后开来，它通过行人的时间是秒，通过骑车人的时间是秒，这列火车的身长是多少米？ 、已知关于 x 的方程 x2 (3k+1)x+2k2+2k=0。（）求证：无论 k 取何实数值方程总有实数根。（）若等腰三角形的一边长 a=6，另两边长 b， c 恰好是此方程的两根，求的周长。（分） 智浪教育 -普惠英才文库 4 7、已知点 M（ a,b）第一象限，半径为 r的圆 M交 x轴于 A、 B 两点，交 y轴于 C、D两点，且点 M在直线 y=x 2 上，点 A、 B分圆 M的弧长之比为 1:3， CD=2。 （ 1）求证： r= 2 b （ 2）求过 M、 A
7、、 B三点的抛物线的解析式。（ 10 分） 8、如图：直角梯形 ABCD 与矩形 EFGH 的边 AB、 EH 在直线 L 上， 且 AD=DC=EF=8cm， EH=2cm， BE=6cm， ABC=450。若矩形 EFGH 沿直线 L 以 2 厘米 /秒的速度向左运动，设运动时间 t(秒 )，矩形与梯形 叠合部分的面积 S（ cm2） ,试求：当 0 t 11 时， S 与 t 的函数关系式。 智浪教育 -普惠英才文库 5 初中数学竞赛 试题 2 及答案 本卷共四页，共 14 题，满分 120 分；考试时间： 8:30 10:30 题号 1 5 6 10 11 12 13 14 总分 得分
8、 评卷人 一、选择题 (共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分 ) 1、设 M b 222 cba ，其中 a、 b 为相邻的两个整数， c ab，则 M( ) (A) 必为偶数 (B) 必为奇数 (C) 必为无理数 (D) 以上三种都有可能 2、等腰 ABC 中， AB AC 6， P 为 BC 上一点，且 PA 4，则 PB PC 的值等于( ) (A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 25 3、若 x 1 2(y 1) 3(z 2)，则 x2 y2 z2 可取得的最小值为 ( ) (A) 6 (B) (C) (D) 4、已知正方形 ABCD 的边长为 2， E、 F 分别
9、是 AB， BC 的中 点， AF 分别交 DE， DB 于 G， H 两点，则四边形 BEGH 的 面积是 ( ) (A) (B) (C) (D) 5、如图，边长为 12 的正三角形 ABC 内接于圆，弦 DEBC 分别交 AB， AC 于 F， G，若 AF 长 x， DF 长 y都是正整数，则 y的值为 ( ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6 二、填空题 (共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分 ) 6、己知方程 x2 x 1 0 的 根是方程 x px q 0 的根，则 p _， q_. 7、已知：如图，凸五边形 ABCDE 中， S ABC S BCD S CD
10、E S DEA S EAB 1，则 S 五边形 ABCDE _. 8、如图，把 10 个两两互不相等的正整数， a1a2 a10 写成下列 图表的形式，其中两个箭头所指的数等于这两个箭头始点两个数的和，例如 表示 a2 a1 a5，那么， 满足该图表的 a4 的最小可能值为 _. 9、已知二次函数 y ax2 bx c 与一次函 数 y mx n的图象交点为 (-1， 2)， (2,5)，且二次函数的最小值为 1，则这个二次函数的解析式为_. 10、将四十个自然数 1， 2， 40 任意排成一排，总可以找到连续排列的八个数，它们的和不小于 A，则 A 的最大值等于 _. 三、解答题 (共 4
11、题，每小题 15 分，满分 60 分 ) 11、已知正实数 a、 b、 c 满足方程组 a b2 2ac 29 b c2 2ab 18 c a2 2bc 25 求 a b c 的值 12、设计一套邮票，设计要求如下：该套 邮票由四种不同面值的邮票组成，面值数为正整数，并且对于连续整数 1， 2， R 中的任一面值数，都能够通过适当选取学校_ 姓名_ 考证号_ 试场_装订密封线智浪教育 -普惠英才文库 6 面值互相不同且不超过三枚的邮票实现。试求出 R 的最大值，并给出一种相应的设计 . 13、已知：如图， Rt ABC 中， AB AC， BAC 90，过点 A 的圆分别交 AB，AC 于点
12、P 和 Q，交 BC 于点 D 和 E，若 BP CQ PQ，求 DAE 的度数 . 14、试求出所有满足下列条件的正整数 a， b， c， d，其中 1 a b c d，且 abcd 1 是 (a 1) (b 1) (c 1) (d 1)的整数倍 . 试题参考答案及评分标准 一、选择题 (共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分 ) 1 2 3 4 5 B C D C C 二、填空题 (共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分 ) 6、 p 8， q 3 7、 8、 20 9、 y x2 1 或 y 91 (x2 8x 25) 10、 164 三、解答题 (共 4 题，每小题 15
13、分，满分 60 分 ) 11、解： 三式相加，得： (a b c) (a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca) 72 (5 分 ) (a b c)2 (a b c) 72 0 (a b c) 9 (a b c) 8 0 (5 分 ) a， b， c 都是正实数 a b c 9 0 a b c 8 (5 分 ) 12、解： 从四种不同面值的邮票中选取面值互不相同且不超过三张的不同取法共有4 6 4 14(种 )。 不同取法所获得邮票的总面值可能相同，也可能不同，至多只有 14 种不同的总面值， R 14 (5 分 ) 又若设计四种邮票的面值数分别为 1， 2， 4， 8。 (5 分 ) 智浪教
14、育 -普惠英才文库 7 1 1， 2 2， 3 1， 4 4， 5 1 4， 6 2， 7 1 2 4， 8 8， 9 1 8， 10 2 8， 11 1 2 8， 12 4 8， 13 1 4 8， 14 2 4 8， R 14 从而 R 最大为 14，上述四种面值数作为一套，即是符合题意的设计。 (5 分 ) 13、解： CAB 90 PQ 是直径， PQ 的中点O 是过点 A 的圆的圆心。连 OE， PE，作 PF AB交 BC 于点 F AB AC B 45 PF AB PF PB， PF CQ BP CQ PQ FP CQ PQ 2OE OE (FP CQ) (5 分 ) 若取梯形
15、CQPF 的边 CF 中点 M，连 OM，则 OM CQ PF， OM (（ FP CQ) OE OM 点 M 即 FC 与 OO 的交点 E (5 分 ) OE CQ 又 CQ AB OE AB EA EP EAP EPA EAP EAD DAB EPA B PEB EAD DAB B PEB DAB PEB EAD B 45 (5 分 ) 14、解：设 k ， 则由题意， k 为正整数 a、 b、 c、 d 都是奇数或都是偶数 (1 分 ) 且 1 k 又易证：对于任意的正整数 m， n且 m 1，有 (1 分 ) 1 a b c d 当 a 5 时， 即 1 k 2 这是不可能的 1 a
16、 4 (3 分 ) 当 a 4 时，则 b、 c、 d 都是偶数，从而 k 为奇数 b 6， c 8， d 10， k 3 即 3 k 3，这是不可能的。 当 a 3 时，则 b、 c、 d 都是奇数 b 5， c 7， d 9 k 2 若 b 7，则 k 于是分子不 是 3 的倍数而分母是 3 的倍数 从而 k 不是整数 b 7 若 b 9 则由于 c 1， d 1 都不能是 3 的倍数 这是不可能的 a 3 时， k 2， b 5 2 ， cd-16c-16d+17=0 (c 16)(d 16) 239 为质数 c 16 1 d 16 239 a 3， b 5， c 17， d 255 是符合题意的一组值。 (5 分 ) 当 a 2 时 ， b、 c、 d 为偶数， k 为奇数 k 3 2bcd 1 3(b 1) (c 1) (d 1) bcd 不是 3 的倍数 若 b 4，则 b 8， c 10， d 14，于是 与 k 3矛盾 a 2 时， b 4， k 3 3 (c 9) (d 9) 71 为质数 c 9 1， d 9 71 a 2， b 4， c 10， d 80 是符合题意的另一组值。 (5 分 ) 综上所述，所有满足条件 的正整数 a、 b、 c、 d 有两组： 智浪教育 -普惠英才文库 8 注意：没有推理过程，猜出一组给 2 分，猜出两组给 5 分。
