拉格朗日中值定理及其应用一、拉格朗日中值定理 定理1. 设函数f( x) 满足 (1) 在闭区间 a,b 上连续； (2) 在开区间( a,b) 内可导； 则至少存在一点 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺 少条件是f( a)= f( b). 如果能由f( x) 构造一个新函数 使 在 a,b 上满足罗尔定理条件，且由 能导出 则问题可解决.证 令 由于f( x) 在 a,b 上连续，因此 在 a,b 上连 续. 由于f( x) 在( a,b) 内可导，因此 在( a,b) 内可导. 又由于 因此 在 a,b 上满足罗尔定理条件，所以至少 存在一点 ，使 ，即 从而有 几何解释: 如果f( x) 在( a,b) 内可导， 则 在以 为端点的区间上f( x) 也满足拉格朗日 中值定理，即 因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理. 其中 为之间的点.也可以记为 或推论1 若 在( a,b) 内恒等于零，则f( x) 在( a,b) 内必 为某常数. 事实上，对于( a,b) 内的任意两点 ，由拉格朗 日中值定理可得 由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论： 位于x 1 ， x
