1、第 1 页 共 36 页导数压轴题题型归纳1. 高考命题回顾例 1 已知函数 f(x)e xln(x m) （新课标卷）(1)设 x0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性；(2)当 m2时，证明 f(x)0.例 2 已知函数 f(x)x 2ax b，g(x)e x(cxd)，若曲线 yf(x)和曲线 yg(x)都过点 P(0，2)，且在点 P 处有相同的切线 y4x+2（新课标卷）（）求 a，b，c ，d 的值（）若 x2 时, ()fxkg，求 k 的取值范围。例 3 已知函数 满足 （新课标）)(f 21)0()( xfefx(1)求 的解析式及单调区间；x(2)若 ，
2、求 的最大值。baxf21)( )1(例 4 已知函数 ln()1fx，曲线 ()yfx在点 1,()f处的切线方程为 230xy。（新课标）（）求 a、 b的值；（）如果当 0x，且 1时， ln()1xkf，求 的取值范围。例 5 设函数 （新课标）2()xfea(1)若 ，求 的单调区间；0af(2)若当 时 ，求 的取值范围x()0例 6 已知函数 f(x)(x 3+3x2+ax+b)ex . (1)若 ab3,求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)在( ,),(2,)单调增加 ,在(,2),(,+)单调减少,证明 6.2. 在解题中常用的有关结论(1)曲线 在 处的切线的斜率等于
3、 ，且切线方程为()yfx0 0()fx。00)()fx(2)若可导函数 在 处取得极值，则 。反之，不成立。(yfx0()fx(3)对于可导函数 ，不等式 的解集决定函数 的递增（减）区间。)()fx（ ） ()f(4)函数 在区间 I 上递增（减）的充要条件是： 恒成立（ (fx xI0()fx不恒为 0）.(5)函数 （非常量函数）在区间 I 上不单调等价于 在区间 I 上有极值，则可等价转化()f ()f为方程 在区间 I 上有实根且为非二重根。（若 为二次函数且 I=R，则有xx）。0(6) 在区间 I 上无极值等价于 在区间在上是单调函数，进而得到 或()f ()fx ()fx0(
4、)fx在 I 上恒成立(7)若 ， 恒成立，则 ; 若 ， 恒成立，则x()f0min()f0xI()fmax()f0(8)若 ，使得 ，则 ；若 ，使得 ，则I0()fxax()f0I0()fx.min()fx(9)设 与 的定义域的交集为 D，若 D 恒成立，则有()gx()fg第 2 页 共 36 页.min()0fxg(10)若对 、 ， 恒成立，则 .1I2xI12()fxgminax()()fxg若对 ， ，使得 ,则 .()iin若对 ， ，使得 ，则 .1I2I12fxmaxax()()f（11）已知 在区间 上的值域为 A,， 在区间 上值域为 B，()fx1()gI若对 ,
5、 ，使得 = 成立，则 。I2I1fx2A(12)若三次函数 f(x)有三个零点，则方程 有两个不等实根 ，且极大值大于()012x、0，极小值小于 0.(13)证题中常用的不等式: ln1(0)x1 xx ln+(1)x（ ） ee l()2x22l(0)x3. 题型归纳导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用例 7（构造函数，最值定位）设函数 (其中 ).21xfxekR() 当 时,求函数 的单调区间;1kf() 当 时,求函数 在 上的最大值 .2fx0,kM例 8（分类讨论，区间划分）已知函数 , 为函数 的321()(0)fxaxb(fx()fx导函数. (1)设函数 f(x
6、)的图象与 x 轴交点为 A,曲线 y=f(x)在 A 点处的切线方程是 ,求 的3yxab值;(2)若函数 ,求 函数 的单调区间.()()axgef()gx例 9（切线）设函数 xf2)(.（1）当 a时，求函数 )(xfg在区间 1,0上的最小值；（2）当 0时，曲线 fy在点 )(,axfP处的切线为 l， 与 x轴交于点),(2xA求证： ax21.例 10（极值比较）已知函数22()3)(),xfxaeR其中 a当 0a时，求曲线 (1,yf在 点 处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当23时，求函数 ()fx的单调区间与极值.例 11（零点存在性定理应用）已知
7、函数 ()ln,().xfxge若函数 (x) = f (x) 1+-，求函数 (x)的单调区间；设直线 l 为函数 f (x)的图象上一点 A(x0，f (x0)处的切线，证明：在区间(1,+) 上存在唯一的 x0，使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切例12（最值问题，两边分求）已知函数1()lnafx()R.当12a时，讨论 ()fx的单调性；第 3 页 共 36 页设2()4.gxb当1a时，若对任意 1(0,2)x，存在 21,x，使12f，求实数 取值范围.例13（二阶导转换）已知函数 xfln)(若)(RaxfF，求 )(F的极大值；若 kfG2在定义域内单调递减，求满足此条件的
8、实数 k 的取值范围.例 14（综合技巧）设函数1()ln().fxaxR讨论函数 ()f的单调性；若 x有两个极值点 12,x，记过点 1(,),Axf2()Bxf的直线斜率为 k,问：是否存在 a，使得 ka？若存在，求出 a的值；若不存在，请说明理由.交点与根的分布例 15（切线交点）已知函数 32,fxabxaR在点 1,f处的切线方程为20y求函数 fx的解析式；若对于区间 ,上任意两个自变量的值 12,x都有 12fxfc，求实数 的最小值；若过点 2,Mm可作曲线 yfx的三条切线，求实数 m的取值范围例 16（根的个数）已知函数 xf)(，函数 xfgsin)(是区间-1，1上
9、的减函数.（I）求 的最大值；（II）若 1,)(2txg在上恒成立，求 t 的取值范围；（）讨论关于 x 的方程mexfx2)(ln的根的个数例 17（综合应用）已知函数.23)ln()xxf求 f(x)在0,1 上的极值；若对任意03)(ln|,316 xfxa不 等 式成立，求实数 a 的取值范围；若关于 x 的方程 bf2)(在0，1 上恰有两个不同的实根，求实数 b 的取值范围.不等式证明例 18(变形构造法) 已知函数 1)(xa，a 为正常数若 )(ln)(xf，且 a 29，求函数 )(xf的单调增区间；在中当 0a时，函数 )(xfy的图象上任意不同的两点 1,yxA， 2,
10、yxB，线段AB的中点为 ),(xC，记直线 AB的斜率为 k，试证明： )(0fk第 4 页 共 36 页若 )(ln)(xxg，且对任意的 2,0,1x， 21x，都有1)(2xg，求 a的取值范围例 19(高次处理证明不等式、取对数技巧) 已知函数 )0(ln)(2axf.（1）若2)(xf对任意的 0x恒成立，求实数 a的取值范围；（2）当 a时，设函数fg)(，若1),1(,22xex，求证4212)(xx例 20（绝对值处理）已知函数 的图象经过坐标原点，且在 处取得极cbaxf23)( 大值（I）求实数 的取值范围；a（II）若方程 恰好有两个不同的根，求 的解析式；9)32()
11、xf )(xf（III）对于（ II）中的函数 ，对任意 ，求证： xf R、 81|)sin2()si| f例 21（等价变形）已知函数 xaxfln1)()（）讨论函数 在定义域内的极值点的个数；（）若函数 在 处取得极值，对 , 恒成立，)(xf x),0(2(bxf求实数 的取值范围；b（）当 且 时，试比较 的大小20eyxyln1与例 22（前后问联系法证明不等式）已知27()l,()(0)fxgm，直线 l与函数(),fxg的图像都相切，且与函数 f的图像的切点的横坐标为 1。（I）求直线 l的方程及 m 的值；（II）若 ()1)( )hxfgx其 中 ()是 gx的 导 函
12、数 ，求函数 ()hx的最大值。（III）当 0ba时，求证：2.bafaf例 23(整体把握，贯穿全题) 已知函数 ln()1xf（1）试判断函数 ()fx的单调性； （2）设 0m，求 f在 ,2m上的最大值；（3）试证明：对任意 *nN，不等式 1ln()en都成立（其中 e是自然对数的底数）例 24(化简为繁，统一变量) 设 aR,函数 ()lfxa.（）若 2a，求曲线 yf在 1,2P处的切线方程；（）若 ()fx无零点,求实数 的取值范围；（）若 有两个相异零点 12,x,求证: 21xe.例 25（导数与常见不等式综合）已知函数 2()()tf txx，其中为正常数（）求函数
13、()tfx在 0,)上的最大值；（）设数列 na满足： 153， 1na，（1）求数列 的通项公式 ； （2）证明：对任意的 0x，23()*nfxNa；第 5 页 共 36 页（）证明：2121naa例 26（利用前几问结论证明立体不等式）已 知 函 数 f(x)=ex-ax(e 为 自 然 对 数 的 底 数 ).(I )求函数 f(x)的单调区间；(II)如 果 对 任 意 ,2x， 都 有 不 等 式 f(x) x + x2 成 立 ， 求 实 数 a 的 取 值 范 围 ；(III)设 *Nn,证 明 ：n)1(+ +n)3(+n)(0时 1(xkf恒成立，求正整数k的最大值 .例
14、36（创新题型）设函数 f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)g(x).()若 x=0 是 F(x)的极值点,求 a 的值；()当 a=1 时, 设 P(x1,f(x1), Q(x2, g(x 2)(x10,x20), 且 PQ/x 轴,求 P、Q 两点间的最短距离；()若 x0时,函数 y=F(x)的图象恒在 y=F(x) 的图象上方,求实数 a 的取值范围例 37（创新题型）已知函数 = ， .)(xf )(1lnRaxeg1()求函数 在区间 上的值域；)(xg,0e（）是否存在实数 ，对任意给定的 ，在区间 上都存在两个不同的 a,0(ex,1e，使得 成立.若存
15、在，求出 的取值范围；若不存在，请说)2,1(ix)(gfia明理由；（）给出如下定义：对于函数 图象上任意不同的两点 ，如果)(Fxy ),(),(21yxBA对于函数 图象上的点 （其中 总能使得)(Fxy,0M210x成立，则称函数具备性质“ ”，试判断函数)( 21021 xx L是不是具备性质“ ”，并说明理由.f L第 7 页 共 36 页例 38(图像分析，综合应用) 已知函数 )1,0(12)( baxaxg，在区间 3,2上有最大值 4，最小值 1，设()f（）求 ba,的值；（）不等式 02)(xxkf在 1,上恒成立，求实数 k的范围；（）方程)3|(|1| xxf有三个
16、不同的实数解，求实数 的范围导数与数列例39（创新型问题）设函数2()(xfxabe， aR、 ， xa是 ()f的一个极大值点若 0a，求 b的取值范围；当 是给定的实常数，设 123x， ， 是 ()fx的3个极值点，问是否存在实数 b，可找到4xR，使得 1234x， ， ， 的某种排列 1234,ii（其中 1234ii， ， ， = 12， ， ， ）依次成等差数列?若存在，求所有的 b及相应的 x；若不存在，说明理由例 40（数列求和，导数结合）给定函数2()1)f(1)试求函数 fx的单调减区间;(2)已知各项均为负的数列 na满足, 4()1nSfa求证: 11lnnaa;(3
17、)设 1nba, nT为数列 nb的前 项和,求证: 201201lTT.导数与曲线新题型例 41（形数转换）已知函数 ()lnfx, 21()gxabx(0).(1)若 2a, 函数 h 在其定义域是增函数 ,求 b 的取值范围;(2)在(1)的结论下,设函数 2x()=e+b, ,ln求 函 数 ()的最小值;(3)设函数 )(xf的图象 C1 与函数 g的图象 C2 交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点 R 作 x轴的垂线分别交 C1、C 2 于点 M、 N,问是否存在点 R,使 C1 在 M处的切线与 C2 在 N处的切线平行?若存在,求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由.例 42
18、（全综合应用）已知函数 ()1ln(02)2xfx.(1)是否存在点 (,Mab,使得函数 )yf的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q 也在函数 )yfx的图像上?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由;(2)定义2121()()ni nSffff ,其中 *N,求 2013S;(3)在(2)的条件下,令 nna,若不等式 nam对 *且 n恒成立,求实数m的取值范围.导数与三角函数综合例 43（换元替代，消除三角）设函数2()fxa（ xR），其中 a（）当 1a时，求曲线 y在点 (f， 处的切线方程；（）当 0时，求函数 ()fx的极大值和极小值；第 8 页 共 36
19、 页（）当 3a， 10k， 时，若不等式2(cos)(cos)fkxfkx对任意的 R恒成立,求 的值。例 44（新题型，第 7 次晚课练习）设函数 .()cos,0fxax(1)讨论 的单调性()fx(2)设 ,求 的取值范围.1sina创新问题积累例 45 已知函数 .2()ln4xfI、求 的极值. II、求证 的图象是中心对称图形.()fxIII、设 的定义域为 ,是否存在 .当 时， 的取值范围是D,abD,xab()fx?若存在,求实数 、 的值；若不存在，说明理由4ab例 46 已知函数 在区间0,1上单调递增，在区间1,2上单调递减14)(23axxf（1）求 a 的值；（2
20、）设 ，若方程 的解集恰好有 3 个元素，求 的取值范围；)(2bg)(gfb（3）在（2）的条件下，是否存在实数对 ，使 为偶函数？如存在，,nm)()(nxgf求出 如不存在，说明理由nm,第 9 页 共 36 页导数压轴题题型归纳 参考答案例 1 (1)解 f(x)e xln(x m)f(x)e x f (0)e 0 0m1，1x m 10 m定义域为x| x1，f(x)e x ，1x m exx 1 1x 1显然 f(x)在(1,0上单调递减，在0，) 上单调递增(2)证明 g(x) e xln(x 2)，则 g(x) e x (x2) 1x 2h(x)g(x) e x (x2) h(
21、x)e x 0，1x 2 1x 22所以 h(x)是增函数，h(x )0 至多只有一个实数根，又 g( ) 0，12 1e 132 12所以 h(x)g(x )0 的唯一实根在区间 内，( 12，0)设 g(x) 0 的根为 t，则有 g(t)e t 0 ，所以，e t t 2e t ，1t 2 ( 12 g( t)0，g(x)单调递增；所以 g(x)ming(t)e tln(t 2) t 0，1t 2 1 t2t 2当 m2 时，有 ln(xm)ln(x2)，所以 f(x)e xln(xm) e xln(x 2) g(x)g( x)min0.例 2（）由已知得 ，(02,(),04,ff而
22、= ， = ， =4， =2， =2， =2；4 分()fxbg)xcdabcd（）由（）知， ， ，2()f(2(1)xge设函数 = = （ ），()Fxkx(1)4xke= = ，24e2x有题设可得 0，即 ，()k令 =0 得， = ， =2，Fx1lnx（1）若 ，则2 0，当 时， 0，当 时，ke11(2,)x()Fx1(,)x第 10 页 共 36 页0，即 在 单调递减，在 单调递增，故 在 = 取最小值()Fx()Fx12,)1(,)x()Fx1， 而 = = 0，1142当 2 时， 0，即 恒成立，x()x()fxkg(2)若 ，则 = ，keF22ee当 2 时，
23、0， 在(2,+ )单调递增，而 =0，x()x)x(2)F当 2 时， 0，即 恒成立，fkg(3)若 ，则 = = 0，ke(2)F2e2()e当 2 时， 不可能恒成立，xfx(k综上所述， 的取值范围为1, .k2e例 3（1） 1 1()(0)()(0)x xffxffef 令 得：121() ()()xfefefe 得： xgx在 上单调递增()10()xgeyR(),0()0ffxffx得： 的解析式为x21)xe且单调递增区间为 ，单调递减区间为(0,(,)（2） 得21()10xfxaxbheab(1)xhea当 时， 在 上单调递增()yR时， 与 矛盾x()hx()0hx当 时，10aln1),(0ln(1)ahxa 得：当 时，ln()xmi()l)0xb22()1l()ba令 ；则l(0)Fxx12lnFxx()0,ee 当 时，xemax()2当 时， 的最大值为1,ab1)b2例 4 解（） 22(ln)xf x由于直线 30xy的斜率为 1，且过点 (,)，故(1),2f即1,2ba解得 1a， b。（）由（）知 ln1f()x，所以 22l (1)lnkkxfx。考虑函数 ()2lnh(1)x(0)，则2()1 xh。
