1、让数学概念在比较中建立和巩固面积意义和面积单位教学实践与反思浙江省舟山教育学院 钱金铎一、在比较中有机引入面积的概念师：请小朋友观察一下，这两支铅笔有什么不一样？生：一支长，一支短。师：是的，铅笔有长有短。现在来看大屏幕（示图），你又发现了什么？生：这两根小棒也是长短不一样，上面一根长，下面一根短。师：不错，这两种物体都有长有短。（示图）那么这两片叶子除了有长有短外，还有什么地方不一样呢？生：它们的大小不一样。师：是的，通过观察我们知道，物体既有长短之分，又有大小之分。师：（出示文具盒）这是一个文具盒，一眼看去，你们先看到的是什么？生：外面。生：表面。师：是的。许多物体都有它们的表面，如黑板面
2、、叶子的表面、书本的表面你们能再举出一些物体的表面吗？生：电视机有表面。生：老师的讲台有表面。 师：大家都说得很好。数学上把“物体表面的大小，给它起了一个名字，谁知道叫什么？生：叫“面积”。师：是的，叫做“面积”，那么，我们就可以把叶子表面的大小，说成什么了？生：叶子的面积。师：对，现在同桌说说，谁的面积比谁的面积大或者小。生：文具盒的面积比黑板的面积小。生：黑板面积比桌子的面积大。生：还可以说桌子面积比黑板面积小。师：说得真好。我们把物体表面的大小叫做它们的面积 。师：刚才我们已经研究了物体表面的大小，接着来观察下面这些图形（示图），这些图形中都能找到面积吗？生：有一个找不到，它是一个角。生
3、：其他图形都有面积。生：这个角与其他图形不一样，它的面的大小很难说。生：其他三个图形的大小都是固定的，它的面的大小不固定。师：想得很好。用数学语言来说，其他三个都是封闭图形，而它是不封闭的图形，所以很难确定它的面的大小。怎么办？生：把它也变成封闭图形。师：（将角变成一个三角形）师：那么，这四个图形的面积大小有什么关系呢？生：正方形比长方形的面积小。生：正方形比三角形的面积大。师：对。我们可以清楚地观察到，封闭图形也有面积，那么大家说说看，什么是面积呢？生：（学生讨论后得到）物体表面或封闭图形的大小就是面积。【反思】教学过程要立足于充分发挥学生的主体作用，重视学生的主动参与的质量，“面积”概念的
4、学习要与学生的日常生活和已有的学习经验、知识基础相联系，引导学生主动探索概念的特征，理解其数学意义。因此，在导入“面积”概念时，通过迁移的方法，让学生在比较“两支铅笔、两根小棒”有长有短后，紧接着出示“两片叶子”，引导学生直观感受到这两片叶子有大有小，引出“面积”概念，然后再结合图形的观察、回忆生活中有关物体表面和平面图形的大小区别来完整地得到“面积的意义”，学生学习兴趣高、效果好。二、在比较中有效建立面积单位的清晰表象师：我们知道黑板的面积与桌面的面积大小差别很明显，我们经过观察能很容易知道它们的大小。这种方法我们叫它为观察法。师：（实物呈现：两块长方形的红白硬纸片）那么这两块硬纸片的面积谁
5、大谁小呢？生：红纸片的面积大一点。生：我认为白纸片的面积大一点。生：我认为两块纸片的面积可能一样大。师：现在有三种意见，用观察法已经不能比较出它们面积的大小了，怎么办？生：可以把它们叠在一起比一比。师：是的（教师把硬纸叠在一起。）你们发现了什么？生：红颜色的纸片面积大。师：说得对，我们给这个方法也取个名吧。生：重叠法。生：叠比法。师：都很好。我们就叫它重叠法吧。师：（课件出示：正方形和长方形）现在这两个图形，你们能比较出它们面积的大小吗？生：观察法不行，用重叠法试一试。（电脑演示：重叠过程结果发现还是很难说出谁的面积大。）师：怎么办呢？生：重叠后再剪开比较大小。师：这是一种挺好的方法。生：也可
6、以用尺量一量再比较它们的大小。师：也可以。老师倒有个方法，你们看行不行？（在原图形上覆盖线条，把两个图形分别分解成面积一样的小方格。）现在你们知道它们的面积大小了吗？生：正方形的面积大。师：为什么？生：正方形有 9 个小格，长方形只有 8 个小格。师：这个方法又可取个什么名字呢？生：格子法。生：数格法。师：对，我们就叫它为数格法吧！现在请大家用这个数格法来比较下面几个图形面积的大小。（先比较，再交流）师：如果现在根据数出的 9 格、6 格、15 格的结果，再来判断下面三个看不见的图形面积，谁能知道哪个面积最大或最小吗？格数 9 格 6 格 15 格图形 ？ ？ ？生：有 15 格的图形面积最大
7、。生：只有 6 格的图形面积最小。师：你们都认为是这样吗？生：是的。师：（出示如下图形）现在你们发现了什么？生：我们上当了，应该是 6 个格子的长方形面积最大。生：是的。因为格子大小不一样。生：单单数格子多少还不能肯定哪个图形的面积大。师：那怎么办呢？生：要用一样大的格子去量。师：说得好！要准确地知道面积的大小，说明统一方格的大小很有必要。我们以前在测量物体长度时要用到什么单位？生：长度单位。师：是的，计算长度要用到长度单位，那么计算面积就要用面积单位，国际上规定一定标准的正方形大小叫做面积单位。师：（出示 1 平方厘米大的正方形红色硬纸。）请大家猜一猜，这个正方形的边长有多少厘米？生：我猜边
8、长有 1 厘米。生：我猜边长有 8 毫米。师：有什么办法来证明哪位小朋友猜得正确呢？生：用尺量一量。师：，谁愿意帮大家解决这个问题？生：我。（学生测量。）边长刚好是 1 厘米。师：对。边长是 1 厘米的正方形，它的面积是 1 平方厘米。师：拿出你们学具中的一个最小正方形，量一量它的边长是多少。看仔细后，闭眼回想一下 1 平方厘米有多大。你能举出一些面积大约是 1 平方厘米的物体吗？生：信封上的邮政号码的小格子大约 1 平方厘米。生：我们写作文的小格子可能有 1 平方厘米大。师：大家说得很好。现在请你们用 1 平方厘米的面积单位去量两个平面图形，它们的面积各是多少？在测量前我们先来估计一下，这两
9、个图形的面积有多少平方厘米？生：我估计长方形有 6 平方厘米，正方形有 8 平方厘米。生：我估计长方形有 8 平方厘米，正方形有 9 平方厘米。师：那么到底是谁估计得准确呢？我们就来认真地量一量。（学生用 1 平方厘米的小正方形进行测量。）生：长方形的面积是 8 平方厘米，正方形的面积是 9 平方厘米。师：别的同学有什么不同的意见？生：老师，我也是这个答案，但是我在量的时候没有全部摆满它。师：你有什么好方法？上来说说。生：我先横的摆了一排 4 个，又竖的摆了一排 2 个，42 = 8，我就知道一共能摆 8 个，就是 8 平方厘米。师：这位同学不但学到了数学知识，还会用数学的方法思考和解决问题，
10、了不起！师：知道了 1 平方厘米有那么大（举硬纸片再次示意），现在请大家用 1平方厘米的硬纸片去测量一下我们上课用的桌面面积，开始。（学生先边量边思考，后来议论纷纷）师：怎么啦？生：平方厘米这个面积单位太小了。生：是的，太小了，要换一个大的。师：那怎么办呢？生：我想，有没有大一点的面积单位？师：你们认为呢？生：肯定有的。师：让你们猜对了！确实有比“平方厘米”大一点的面积单位，那应该是什么呢？生：平方分米。师：为什么？生：因为长度单位里比厘米大一点的是分米，我想面积单位里比平方厘米大一点的应该是平方分米。师：说得太好了！这位同学在学习新知识时能联想到已经学过的知识！是的，比“平方厘米”大一点的面
11、积单位确实是“平方分米“。（同桌学生的学具里分别有边长 10 厘米和 6 厘米的正方形硬纸片各一个），现在的任务是同桌合作找到一个正确的 1 平方分米的正方形，并说明理由。师：好，每个同学先把找到的正方形举起来。（大多数学生举得正确。）谁先来进行交流。生：刚才已经说了，边长是 1 厘米的正方形面积是 1 平方厘米。那么，边长是 1 分米的正方形面积就是 1 平方分米。生：我也认为这个是对的，因为 10 厘米等于 1 分米。还有一个正方形的边长只有 6 厘米。师：大家说得都很好，边长是 1 分米的正方形的面积确实是 1 平方分米（板书）。师：（出示一张 6 平方分米大的长方形硬纸片。）估一估，老
12、师手中这张纸的面积大约有多少平方分米？生：我想有 4 平方分米。生：我想有 6 平方分米。师：他们想的或猜的有理由吗？你们有办法可以来证明？生：（举着 1 平方分米的正方形。）这是 1 平方分米大，它可能有 4 个那么大，所以是 4 平方分米。生：我想这个长方形中一排能放 3 个，2 排就有 6 个，就是 6 平方分米。师：大家说，他讲的有道理吗？生：有。师：怎么来证明？生：用 1 平方分米的正方形来量一量。（师生一起示范量的过程。）师：正确的结果应该是多少平方分米？生：6 平方分米。师：是的。如果现在请你们用 1 平方分米的硬纸片来测量教室地面的面积，你们又会觉得怎么样？（先进入思考状态，后
13、纷纷举手。）生：平方分米这个面积单位又太小了！生：要用一个再大一点的面积单位。生：米。生：不对，是平方米。师：是吗？（学生讨论后，一致认为是平方米。）师：你们看，大家学习数学知识多主动呀！我们又创造出了一个更大的面积单位平方米。那么，什么样的正方形面积是 1 平方米呢？生：我想边长是 1 厘米的正方形面积是 1 平方厘米，边长是 1 分米的正方形面积是 1 平方分米，那么边长是 1 米的正方形面积就是 1 平方米。师：你真会用比较的方法想问题！说得又是那么好。其他同学不妨也来学一学。（学生同桌互相说。）【反思】在教学过程中，既有让学生比较两个有着明显区别的图形面积，也有比较两个面积大小差别不大
14、或图形形状不同的图形，“逼”着学生展开想象的翅膀，求得解决问题的方法。尤其是在“面积单位”引入阶段，教学情境的创设是先通过看不同格子数想图形面积的大小，到证实猜想结果错误的原因的经历，更使学生体验到探索数学知识奥妙的乐趣。同样地，在学生已经初步了解 1 平方厘米的面积后，教师紧接着抛出问题，要求学生用 1 平方厘米的小正方形去测量桌子面的大小，促使学生通过联想、迁移的方法，“创造”出另一个面积单位“平方分米”，并且让学生在两个正方形（边长分别为 1 分米和6 厘米）中去选择出一个面积为 1 平方分米的正方形来，学生在同桌合作、交流和图形的比较中理解概念。在这些活动中，教学情境的创设和学习材料的
15、有效选择充分发挥了作用。三、在比较中正确区别面积与长度概念的不同。师：请大家闭上眼睛，仔细想一想，1 平方米究竟有多大？老师在黑板上要画 1 平方米，等会儿请大家找一找 1 平方米究竟在什么地方？（教师分别画出两条 1 米长又相互垂直的线段，与两条黑板的边围成一个 1 平方米大的正方形。）好，睁开你们聪明的眼睛。谁愿意上来指一指，说一说。（学生纷纷要求）师：这样吧，每组派一位同学代表自己小组上来指认，看哪组代表说得正确？生：（指着正方形的一条边说）这里。生：（指着正方形的一周说）在这里。生：（指着正方形的里面说）在这里。师：那么，到底是哪组代表说得正确呢？ （学生议论纷纷）师：（指着一条边）这
16、是 1 平方米吗？生：不是，这是 1 米。生：边长是 1 米的正方形面积就是 1 平方米。生：那你指的是边长，1 平方米应该是面积，就是这里（用手比画着正方形的面积）。师：（指着正方形的周长）是这里吗？生：也不是，这是周长。师：那么应该在哪里？生：应该在里面。师：是的，应该在这里。（用手面在面积是 1 平方米的地方比划着。）现在我们清楚了，1 平方米是指边长是 1 米的正方形的面积的大小，不是指边的长短，也不是指一周的长度。你们说是吗？生：是。师：说得很好。我们学习了平方厘米、平方分米、平方米这三个面积单位。下面，我们就运用这个知识来解决一个简单的实际问题。师：在下面的括号里填上不同面积单位（
17、出示）：火柴盒上面的面积有 20（ ），老师办公室的地面面积有 20（ ），一张小学生报的面积约有 20（ ）。（学生先独立填空，再互动交流。）师：你们的学习很有方法，不但会判断，而且会证明自己的判断是否正确。那么今天我们学习的平方米、平方分米、平方厘米与以前学过的米、分米、厘米有什么不同呢？生：米、分米、厘米是表示物体长短的，是长度单位；平方米、平方分米、平方厘米是表示物体面积大小的，是面积单位。师：是的，这是两种不同的计量单位，今后使用时要特别区别清楚。你们还有什么问题吗？生：面积单位还有吗？师：你们说呢？生:还有。还有平方毫米、平方微米。生：还有，因为长度单位还有很多。师：看！学得多有水
18、平，不但能讲出结果，还能说明原因。面积单位确实还有很多，今天学的是三个常用的面积单位。生：用 1 平方米的正方形去量大的地面面积不方便怎么办？生：面积单位为什么要用“平方”呢？师：哦！老师也一下子很难说清楚，这可能与面积的意义有关。生：因为物体表面或平面图形的大小叫面积，面积是平的又是用正方形去量的，所以要用“平方”。师：想的多有意思！好，由于时间关系，我们先研究到这里。回想一下今天我们学到了一些什么知识？生：我们今天学习了什么叫面积。还学习了面积的常用单位。生：我们还学习了比较面积大小的方法，有：观察法、重叠法、数格法。生：还有测量法。师：是的，大家都学得很主动、很认真！其实有关面积的知识还
19、有很多，老师相信同学们在以后的学习中一定会学到更多的面积知识和计算面积的方法。谢谢大家！下课。【反思】“面积意义和面积单位”内容是学习平面几何的最基础知识。教学时，我主要采用比较的方法让学生逐步建立空间表象，促进学生几何概念的有效形成。在学习、理解面积单位“平方米”时，先在让学生闭眼想象一下 1平方米究竟是什么的同时，我故意在黑板右上角分别画出两条 1 米长又相互垂直的线段，与两条黑板的边围成一个 1 平方米大的正方形。这时，为学生学习呈现的强信号是两条互相垂直的线段而不是 1 平方米的大小。通过不同的学生进行辩解说明，学生既能对 1 平方米表象的正确建立和概念的有效形成，又能与 1 米长度的
20、线段进行比较和区别。另外，在综合练习中，将面积单位“平方厘米”、“平方分米”、“平方米”同时出现在不同的情境中，让学生根据不同的事件要求通过对比进行合理的选择，以进一步巩固学生对“面积单位”实际意义的充分理解。教学的实践告诉我们，学生对空间图形表象的形成不是一蹴而就的，需要通过一系列的训练才能达成。如果我们在教学中一味地提倡“让学生自由地想象，个性化地思考问题”，在如今班级授课制情况下，就会使一部分学生的思维停留在原来的水平上。所以，不管是学生在通过直接观察的方法还是重叠的方法比较面积大小后，我都及时引导学生进行比较、分析和概括。在一次次的长度与面积的比较、面积单位之间的比较以及实际面积大小的比较中引发学生内部的矛盾冲突，使学生在疑中生趣，主动探求解决问题的办法，再通过具体
