1、12012 南昌大学数学建模国赛选拔赛承 诺 书我们仔细阅读了南昌大学数学建模竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。姓名 学院 专业 性别校赛（建模）数学竞赛（高数）计算机等级是否是本硕班/实验班张艳君 建工学
2、院 土木工程 男 已过二级 实验班罗海涛 信工学院 信息工程 男 已过二级 实验班陈思 环化学院 环境工程 女 已过二级日期：2012 年 08 月 29 2电力输送分配的优化设计摘要如今电能已经成为了最重要的能源，人们的生产生活都离不开用电。如何分配供给人们需要的电量，并在此条件下减小输送成本成为了供电公司亟待解决的问题。本文中我们对电力的损耗情况以及分配方式进行研究。首先，我们在模型中将总费用分为两部分：一部分是电力输送过程中电流热效应产生的能量消耗，另一部分是电力远距离输送线路的建设费用。在模型一中我们使用了混合非线性规划，以供电公司的最小费用（即能量损耗费与建设费用之和）作为目标函数，
3、并引入了 0-1 变量表示供电线路的建设与否，以各个供电企业提供的电量和各个城市需要的电量作为约束条件，利用 lingo 和 matlab 软件辅助求解，计算出需要建设 22 条输电线并且求出了各条电路上的电流值（表三） 、损耗的电压值（表六） 、以及在最小费用条件下各个供电企业实际提供电量的最小值（表七） 。对于问题二我们考虑了包含建设成本与不包含建设成本两种情况，在模型二中不考虑线路的建设成本，我们使用了非线性规划模型并且以线路中电能的的最小损耗值为目标函数，以各个供电企业提供的电量和各个城市需要的电量作为约束条件，利用lingo 和 matlab 软件辅助求解，计算出了只考虑电量供需平衡
4、情况下电路中电压的损耗值（表四）和各个供电企业供电所能达到的极限小值(表五)。最后，在优化模型中我们考虑到了电网在使用中的维修费用，在这个混合非线性规划模型中，目标函数为供电公司长期的最小费用（包括能量损耗费、建设费用与线路维修费用）建立了长期模型。本文中的模型一可以推广到运输问题中，是否选择该运输路径，怎么分配运输费用最小该模型都能很好地解决。模型二可以与图论相结合，能良好的解决分配问题。关键词：混合非线性规划 最小费用 0-1 变量 非线性规划 能量损耗 建设成本维修费用3一、 问题的重述与背景现今的社会已经进入了电力化的时代，人们的生产生活都离不开用电，工厂生产产品需要用电，家庭的基本生
5、活也需要用电，家用电器越来越丰富和普及。电改善了人们的生活，成为我们不可分割的一部分。如今大量大型发电站的建成，大量的电需要通过远距离输送，然而在电力运输过程中往往会产生一些能量损耗，建设电力输送系统也需要成本，因此需要一种便利而又经济的电力输送方案。所以如何供给人们需要的电量，并在此条件下减小输送成本成为了供电公司亟待解决的问题。在电力远距离输送过程中，控制电力输送过程中的能量损耗及向用户合理分配电量可大大节省供电成本。通常供电公司的总费用包括两部分：一部分是电力输送过程中电流热效应产生的能量损耗，另一部分是电力远距离输送的建设费用。本题中给出了每度电的生产成本、每个供电企业提供的电量、各城
6、市需求的电量、各输电线路的电阻值、各输电线路的建设成本，问题一中我们要求出当能耗最小化时线路中实际输送的电流值，问题二中我们要求出输电线路实际损失的电压以及各发电企业向各个城市实际输送分配的最低电量。二、问题的分析与模型的准备2.1 问题的分析：问题一的分析：问题一中我们需要求出当供电公司总费用最小时，8 家发电企业每天向 16 个城市分配电力时实际输送的电流值。在高压输电线路中，电路功率的损耗与电流值存在着 2PIR的关系，而电路功率的损耗又可以用电量的损耗来表示，电流热效应产生的能量消耗费用为电量的损耗值和单位电生产成本的乘积。这样就建立起电流值与供电公司费用的关系。供电公司的总费用分为两
7、部分：电流热效应产生的能量消耗费和电力远距离输送线路的建设费用。在求输送线路的建设费用中，分为建设此条线路与不建此条线路两种情况，在这里我们引入 0-1 变量表示。0 即代表不建该条线路，1 则代表建设该条线路。由此我们可以得到供电公司总费用的表达式。对于一个供电公司来说，不仅要追求费用最小化，还要考虑电力的输送分配问题，比如要保证各个供电企业的供电量，要满足客户的用电需求。在这里供电量与用电需求就是对目标函数的约束条件。问题二的分析：在问题二中我们需要求出在供需平衡下第 i 个城市实际输送到第 j 家企业的最低电量 ijx之和和输送电力过程中线路上的实际损失电压，因为用户得到的电量之和是不变
8、的，因此求出输送过程中损耗的电量最小值加上用户得到的电量即可得到要求实际输送电量最小值。根据用户得到的电量与输送过程中损耗的电量的关系，求出运输过程中损耗的电量，又根据电量与电压之间的关系，得出输电线路中实际损耗的电压。在考虑达到供需平衡各发电企业向城市输送的最低电量时，企业得到的电量 是保持ijy4不变的，要使 最小，热效应产生的能量损耗值需要达到最小。所以在这个问题中，ijx我们将目标函数设置为能量损耗的最小值。2.2 模型的准备：改革开放 30 多年以来我国发电装机容量由 5712 万 KW 增至 10.6 亿 KW，平均年增长率 10.90%，年发电量由 2526 亿千瓦时增至 4.8
9、 万亿千瓦时，目前中国的发电装机容量均世界第二位，年发电量均居世界第一位。随着电力工业的高速发展，我国的高压与超高压电力运输水平得到进一步发展。由相关文献可知电压等级与输送距离和输送功率的关系如下表所示：表一：一个电压等级的输送功率和输送距离电压等级（kv） 输送功率（MW） 输送距离（km）220 100500 300100330 200800 600200500 10001500 850150750 20002500 500 以上对于 500KV 的超高压输送线缆我国多采用钢丝铝绞线，铝合金架空线和铝包钢线用量均不大。对于 500KV 超高压铝制导线规格一些材料性质如下表所示：表二：导线的
10、规格与电阻20 铝单线电阻/( /m)导线规格/标准 实测300/40 =0.028264 0.02794400/35 =0.028264 0.028050400/50 =0.028264 0.027859720/50 =0.028264 0.2810注：上表为超高压 500KV 平罗回线、双南线、阳淮线、天广直流、山西神侯线用导线及 ACSR-720/50 抽样结果。 （上表资料摘自超高压 500KV 架空导线的研制蒲奇志，徐绍贤）根据题中给出的电阻值都在 1020之间，由公式和上表中的数据可以算出运输距离大概在 150500km，在满足功率相等并且其他条件大体相同的情况下高电压运输电力比低
11、电压运输电力损耗的更小，综合表一中电压等级与距离之间的关系 500KV 超高压符合情况，且功率也可以得到保证，故本题中我们假定供电公司的供电电压为500KV。5根据资料显示高压路线使用寿命一般也 2030 年，同时，在电力研学网上查的架空路线经济使用年限一般为 20 年，因此我们将电网基础设施建成后使用年限定为二十年。三、问题的假设1、假设企业提供的电量为到达城市的电量，即城市从企业得到的电量。2、假设每条电网建成后使用年限为二十年。3、假设超高压输电线路的电压值为 500 KV。4、供电公司的总费用仅考虑电力热效应产生的能量消耗以及线路的建设成本。5、假设电网故障概率与电流在各个的阶段分别呈
12、线性关系。6、电能守恒即供电公司实际提供的总电量等于损耗的总电量与城市得到的总电量之和。四、符号及说明U：高压线路的供电电压，我们假设其值为 500 KV；T:本文中表示一天的时间。：第 i 个供电企业将电供给第 j 个城市所损耗的电量；ij：第 i 个供电企业实际分配给第 j 个城市的电量；ijx：第 j 个城市从第 i 家企业得到的电量；ijyiS：第 i 个供电企业实际提供的电量；j：第 j 个城市需求的电量；:从第 i 个企业到第 j 个城市输电线路的建设费用；ijF:城市输电线，路的总的建设费用；ijk：0-1 变量，在此题中表示路线是否建立；ijR:从第 i 个企业到第 j 个城市
13、输送路线的电阻；ijI：从第 i 个企业分配给第 j 个城市的电流；P: 输送电力工程中损耗的功率；:该供电公司的总费用；M6P：表示每一天电网发生故障的概率；f：每天故障发生所花去的修缮费；五、模型的建立与求解（1）模型的建立模型一：模型一为一个优化模型，由题意我们要求当供电公司的总费用最少时各条线路实际输送的电流值，将供电公司的总费用设定为目标函数，通过各城市需求的电量和每个供电企业提供的电量对目标函数进行约束，找到在约束条件下目标函数取最小值时的解。在问题一中供电公司的最小费用分为两部分即：电流损耗部分和输电线路建设成本费用部分。电流损耗费用即为损耗的电量 与每度电生产成本的乘积。第 i
14、 个供电ij企业向第 j 个城市供电损耗的电量为第 i 个企业发出供给 j 城市电量与第 j 个城市从第i 家企业得到的电量之差： .1ijijijyx根据功率原理功率的损耗为电流的平方乘以电阻，公式为2PIR可得出以下关系式： 2.2ijijijijTU我们将损耗的电量 用含 的关系式表示，解出：ijijy 24226.3*3.10ijijijij yRTR供电公司的建设费用题中已给出，若第 i 个企业向第 j 个城市的建设该线路其费用为 ，若不建设该线路其费用为 0，引入 0,1 变量 ijk， ij表示该线路建成，ijF0ijk表示该线路不建设，输电线路建设成本费用的数学表达式表示为：
15、168.ijjiF在本题中我们假设线路的平均使用寿命为二十年，将二十年中所有线路的电流损耗费与建设费用进行加和，目标函数供电公司的总费用的表达式表示为：7816min0.3*52ijijj kMF在该模型中电量达到供需平衡，十六个城市从第 i 家企业得到的电量为 iS，第 j个城市从八个企业得到的电量为 jS，得到该模型的约束条件： 161,23.8iijjy81,.6jiji整理后可得：目标函数 2422816 6min0.3*5*3.10ijijij ijj TUyRTRkF 约束条件 168121,3.8. ,.604iijjjijiijijstTURyS式 中 的使用 lingo 软件
16、求解（程序：附录一）得出 和 ijk的值（附录一表九） ，并得到目标ijy函数的最优解。线路中的电流值为： .4ijijRTI根据（3） 、 （4）两式，并通过 matlab 软件（程序：附录二）的辅助求解，我们得到各家发电企业向各个城市分配电力时实际输送的电流值 ijI。8模型二：在不考虑建设成本的条件下为了在达到供需平衡下使各发电企业向各个城市实际输送的电量达到最小，因为用户得到的电量总和是不变的，则只需保证输送过程中热效应产生的能量损耗最小就能使输送的电量最小，建立目标函数： 816minijj根据（3）式可以将目标函数改写为：2422816 6in*3.10ijijijj TUyRTR
17、 约束条件同模型一： 168121,3.8. ,.604iijjjijiijijstTURyS式 中 的用 lingo 软件(程序及运行结果见附录三）求解出 （附录十一）的值，再根据（1） 、ijy（3）式并通过 matlab 软件（程序见附录四）的辅助求解出实际运输分配中的最低电量与损耗的电压。ijx（2）问题的求解：1、问题一的求解：对于问题一中需要在总费用最小下的情况下计算出 8 家发电企业每天在向 16 个城市分配电力时实际输送的电流值，结果如下：表三: 实际输送过程中的电流值(注：取到小数点后三位,空格表示该条线路不存在）Iij（A）D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D
18、9 D10 D11 D12 D13 D14 D15 D16O1 77.633108.57O2 53.42591.93736.71260.145O3 60.94578.49491.86986.833O4 106.9255.95278.4569O5 91.83584.32374.332O6 75.97245.572115.29O7 89.45579.33106.96O8 50.07116.972、问题二的求解：我们将此问题分为两种情况。情况一：不考虑建设成本在这种情况下，我们只需求的输送过程中损耗最小的电量，就能使总供电量最小，从而求的各条线路上损失的电压、损失的电量、得到的电量。运用模型二求解得
19、到结果如下表所示：表四：各个企业对城市输送电路上损耗的电压ijU（V）D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15 D16O1 0 568.98 192.57 453.75 0 116.69 14.167 0173.39 0 0 0 0638.31523.05 0O2 45.004233.44563.97283.49106.69453.75326.88155.88480.46269.3150.005316.878.333562.508266.81128.37O3 240.95475.45237.610249.29256.850.00519
20、1.74430.37350.25517.2338.56467.150.005137.54250.13O4 520.54600.7212.5 27.50266.676155.8875.01181.68220.115 112.53375.28146.71570.6558.34470.44O5 16.66718.334585.6955.006125.0337.50356.6731542.395.0188.333590.016170.06221.77249.29100.85141.71O6 216.76387.8116.6990.016221.77237.61262.6430.00265.008119
21、.2253.46265.97383.639.1668490.48292.67O7 142.5430.00210.83456.673741.158.34150.0543.337 086.682100.02275.15300.18618.26517.2275.15O8 140.04 080.013495.49250.1343.337337.7325.001 0478.79283.499.1668100.02240.12130.0327.50210表五：各个企业对各个城市实际分配的最低电量（ijx万度）D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D1
22、5 D16O1223.210 62.07121.00832.0290 10.0021. 0 13.0050 0 0 0 51.06533.0350O2290.203.000320.00952.05917.018.001734.03128.01817.00536.03519.013.000320.0131 5.000616.00911.003O3381.2717.00838.03619.0090 23.01122.0115.000523.00943.03721.01562.06429.0240.0374.00415.00420.01O4289.2452.05445.0541 3.0024.000
23、511.0036.00097.001124.0111 9.00235.01911.00336.0417.000847.044O5300.482.00012.000154.0636.000715.0043.00024.0005123.386.00111 9.001612.00419.00823.01111.00210.003O6286.1713.00631.02414.0036.001119.00819.00921.0113.00026.000813.00319.0129.01523.0181 42.04127.016O7330.309.00262.0011 4.000574.117.000818.0054.00030 8.001410.00222.01230.01857.07162.06422.012O8200.1314.0040 6.00133.03315.0084.000327.0183.00020 41.03917.011 6.001218.00912.0033.0002说明：各发电企业每天向 16 个城市实际输送分配的最低电量之和为 2310.0 万度，每个供电企业提供的电量分别表格中列于供电企业的下面。情况二：考虑建设成本
