1、新东方在线 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学2010 考研基础班高等数学主讲：汪诚义欢迎使用新东方在线电子教材考研基础班高等数学讲义目录：第一章 函数、极限、连续 第二章 一元函数微分学第三章 一元函数积分学第四章 常微分方程第五章 多元函数微分学第六章 二重积分第一章 函数、极限、连续1.1 函数（甲）内容要点一、函数的概念新东方在线 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学1.函数的定义设 D 是一个非空的实数集，如果有一个对应规 划 f，对每一个，都能对应惟一的一个实数 y，则这个 对应规划 f 称为定义在 Dx上的一个函数，记以 y=f(x)，称 x 为函数
2、的自 变量，y 为函数的因变量或函数值， D 称为函数的定义域，并把实数集 |(),ZyfxD称为函数的值域。2.分段函数如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。例如 21xxyf 是一个分段函数，它有两个分段点，x1 和 x1，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数 y=f(x)在分段点 处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右 连续性和左、右导数。需要强调：分段函数一般不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。3.隐函数形如 y=f(x)有函数称为显函数，由方程 F（x，y）=0
3、确定的 y y(x)称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数（不一定是一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。新东方在线 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学4.反函数如果 y=f (x)可以解出 是一个函数（单值），则称它为 f(x)的()xy反函数，记 以 。有时也用 表示。1y1()fx二、基本初等函数1.常值函数 yC（常数）2.幂函数 （常数）x3.指数函数 （a0 ，a1常数）y（e2.7182，无理数）x4.对数函数 （a0 ，a1常数）logy常用对数 1lx自然对数 lney5.三角函数 si;cos;ta.xyxtecsy6.反三角函数 arcsin;xyr
4、xtcot.a基本初等函数的概念、性质及其图像非常重要，影响深远。例如以后经常会用 ； ； ； ； 等等，就limarctnxliarctnx10limxe10lix0lin需要对 ， ， 的图像很清晰。rtyyel三、复合函数与初等函数1.复合函数设 定义域 U()yfu定义域 X，值域 U*gx新东方在线 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学如果 ，则 是定义在 X 上的一个复合函数，其中 u*U()yfgx称为中间变量。2.初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的用一个分析表达式表示的函数称为初等函数。四、函数的几种性质1.有界性：设函数 y=f(x)在 X
5、内有定义，若存在正数 M，使都有 ，则 称 f(x)在 X 上是有界的。xX()fxM2. 奇偶性：设区间 关于原点对称，若对 ，都有xX，则称 在 上是奇函数；若 对 ，都有fxffx，则称 在 上是偶函数。奇函数的图像关于原点对称；X偶函数图像关于 轴对称。y3. 单调性：设 在 上有定义，若对任意fx都有 ，则称 在 上1212xX， ， 12fx12ffxfxX是单调增加的 ；若对任意 都有单 调 减 少 的 12X， ，则称 在 上是 单调不减 。1212fxffxffx单 调 不 增的 话， f（x）是单调增加的； 的话，f （x）是单调0)( 0)(f减少的。（注意：有些书上把这
6、里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。 ）4. 周期性：设 在 上有定义，如果存在常数 ，使得任意fxX0T新东方在线 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学， ，都有 ，则称 是周期函数，称 为xXTfxTffxT的周期。f由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中的最小正周期称为周期。例子： )0(sin)(xxf这个函数一定是周期函数。 2T)(cos)(xxf这个函数一定是周期函数。（乙）典型例题一、求函数的定义域【例 1】 求函数 的定义域。2ln10fxx解 要有定义， ，lne要有定义， ，20x2x，因此， 的定义域为f10e，【例 2】 求
7、 的定义域。ln5yxx解 要有定义， 和x10要有定义， ，1ln5546xx， ，因此，定义域为 015， ， ， ，【例 3】 设 的定义域为 ，求 的定义域。fx0a， 21fx解 要求 ，则 ，2a21x新东方在线 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学当 时， ， ，则1a0a21xa1xa当 时， ，0也即 或xx【例 4】 设 求 的定义域，并124g， 21fg求 .32f解 的定义域为 ，要求 ，则 ；要求 gx04， 24x02x，则 ，于是 的定义域为 。014x5fx1，又 31232fg二、求函数的值域【例 1】 求 的值域。31xey解 我们先求出反函
8、数，它的定义域就是原来函数的值域。331ln,lnyxy它的定义域 ，且,1ln3yx 01y所以原来函数的值域为 。(,1)三、求复合函数有关表达式1.已知 f(x)和 g(x)，求 fg(x).【例 1】 已知 ，求 .1f1()f解 ， （ ）()xf ()xf1新东方在线 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学于是， （ ）11()() 2xffx 1,2x【例 2】 设 ，求 .n 重复合21f()()fff解 ，22 22 2()()() 11fxxfxf x 若 ，则2()1kfx122()()kkff kxkx21()x根据数学归纳法可知，对正整数 n， 2()1x
9、fn2.已知 g (x)和 f g (x)，求 f (x).【例 1】 设 ，求 f (x).21ee解 令 ，xuln()22()l(1)ln(1)f uu于是 xx【例 2】 已知 ，且 ，求 f(x).()fe()0f解 令 ，因此 ，,lnxtt lnxte2211l()llxtfdt ，10f2lnfx四、有关四种性质【例 1】 设 ，则下列结论正确的是（ ）.()Fxf（A）若 f (x)为奇函数，则 F (x)为偶函数新东方在线 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学（B）若 f (x)为偶函数，则 F (x)为奇函数（C）若 f (x)为周期函数， 则 F (x)为
10、周期函数（D）若 f (x)为单调函数，则 F (x)为单调函数解 (B)不成立，反例32,1f(C)不成立，反例 ()cos,()sinfxFx(D)不成立，反例 2,)在 内(A)成立。证明 为奇函数，0()(),xFxftd0()()xFfud 为偶函数。0()()xfux【例 2】 求 152)ln(1).Iex解 是奇函数， 1()xfe是奇函数，2112(),l()fxfxx 1(ln1ln22 xxf22l1()()fx因此 是奇函数。()ln1xe于是 。16607Idxd【例 3】 两个周期函数之和是否仍是周期函数？解 不一定（1） ()sinco23xf周期为 4新东方在线
11、 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学周期为 62()os3xfc4和 6的最小公倍数为 12 是以 12为周期的函数()fx（2） sin2cosx周期为 1()fx周期为 22sc和 2 没有最小公倍数 不是周期函数()fx（3） sin(1si)x周期为 1()2fx周期为 2six虽然 ， 不但都是周期函数，而且它们的周期有最1()f2f小公倍数。但是 ，却不是周期函数。 （因为没有最小12()()1fxfx正周期。 ）【例 4】 设 ， 是恒大于零的可 导函数，且()fxg，则当 时，下列结论成立的是（ ）()()0fxgfxab(A) (B)()bfg()()fxaf
12、gx(C) (D)()fx解 ， 单调减少21()()0()fxgfxg ()fxg于是 xN 时，就有 .0 nxA（2） li()nfx任给 ，存在正整数 X，当 xX 时，就有 . ()fx（3） lim()nfxA任给 ，存在正整数 X，当 xX 时，就有 .0 ()fxA（4）li()nfx任给 ，存在正整数 X，当|x|X 时，就有 . ()fx（5） 0limxfA任给 ，存在正数 ，当 时，就有 。0xfxA（6） （用 表示）0lixf0f任给 ，存在正数 ，当 时，就有0xfx（7） （用 表示）0limxfA0f任給 ，存在正数 ，当 时，就有 。0xfxA其中 称为 在 处右极限值， 称为 在0fxfx00ff处左极限值。0x有时我们用 表示上述六类函数的极限，它具有的性质，limfxA
