1、|小学六年级奥数的基本分类一、工程问题跟知识握握手1、顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。2、在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作总量=工作效率工作时间，工作时间=工作总量工作效率，工作效率=工作总量工作时间。【工作总量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数 1 表示，也可以是部分工作量，常用分数表示。例如工程的一半表示成 .21工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。工作效率的单位是一个复合单位，表示
2、成“工作量/天”，或“工作量/时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。】小试牛刀1甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要 20 小时，16 小时.丙水管单独开，排一池水要 10 小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5 小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？2修一条水渠，单独修，甲队需要 20 天完成，乙队需要 30 天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划 16 天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？ 3一件工作，甲、乙合做需 4 小时完
3、成，乙、丙合做需 5 小时完成。现在先请甲、丙合做2 小时后，余下的乙还需做 6 小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？ 4一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需 17 天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？ 5师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了 1/2 时，徒弟完成了 120 个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了 4/5 这批零件共有多少个？|7一个池上装有 3 根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20 分钟可将
4、满池水放完，丙管也是出水管，30 分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了 18 分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？ 8某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？ 9两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要 2 小时，而点完一根细蜡烛要 1 小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的 2 倍，问：停电多少分钟？ 二鸡兔同笼问题跟知识握握手1
5、、基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来。2、基本思路：假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样） ；假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。3、基本公式：把所有鸡假设成兔子：鸡数（兔脚数总头数总脚数）（兔脚数鸡脚数）把所有兔子假设成鸡：兔数（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数）4、关键问题：找出总量的差与单位量的差。5、解“鸡兔同笼问题”的常用方法是“替换法” 、 “转换法” 、 “置换法”等。通常把其中一个未知数暂时当作另一个未知数，
6、然后根据已知条件进行假设性的运算，直到求出结果。【概括起来，解“鸡兔同笼问题”的基本公式是】：鸡数（每只兔脚数鸡兔总数实际脚数）（每只兔子脚数每只鸡的脚数）兔数鸡兔总数鸡数小试牛刀 1、 有若干只鸡和兔子，它们共有 88 个头，244 只脚，问鸡、兔各多少只？2 、蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现在这三种小虫共 18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀，问每种小虫各多少只？3 、每一辆货车运输 2000 只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数计算，每只 2 角，如有破损，破损的不给运费，还要每只赔偿 1 元，结果得到运费 379.6 元，问这次搬
7、运中玻璃瓶破损了几只？|4 、六年级甲班有 50 个同学向汶川灾区捐款共计 2010 元，其中捐 50 元的人有 30 人，其他同学捐 20 元或者 30 元，问捐 20 元和 30 元的同学各多少人？5 、学校组织新年文艺晚会，用作奖品的铅笔、圆珠笔、钢笔共 232 支，共花了 300 元，其中铅笔数量是圆珠笔的 4 倍。已知铅笔每支 0.6 元，圆珠笔每支 2.7 元，钢笔每支 6.3元，问三种笔个多少支？6、 从甲到乙全长 45 千米，有上坡路、平路、下坡路，李强上坡速度是每小时 3 千米，平路上速度是每小时 5 千米，下坡速度是每小时 6 千米。从甲到乙，李强走了 10 小时，从乙到甲
8、李强走了 11 小时，问甲到乙上坡、平路、下坡路各有多少千米？7 、有堆硬币，面值为 1 分、2 分和 5 分三种，其中 1 分硬币是 2 分硬币的 11 倍，已知这堆硬币的币值总和是 1 元，问 5 分有多少枚？8、 有 50 名同学外出游玩，乘电车前往每人 1.2 元，乘小巴前往每人 4 元，乘地铁前往每人 6 元，这些同学共有车费 110 元，问其中乘小巴的共有多少人？9、鸡与兔共 100 只,鸡的腿数比兔的腿数少 28 条,问鸡与兔各有几只? 三数字数位问题1把 1 至 2005 这 2005 个自然数依次写下来得到一个多位数 123456789.2005,这个多位数除以 9 余数是多
9、少? 2A 和 B 是小于 100 的两个非零的不同自然数。求 A+B 分之 A-B 的最小值. 3已知 A.B.C 都是非 0 自然数,A/2 + B/4 + C/16 的近似值市 6.4,那么它的准确值是多少? 4一个三位数的各位数字 之和是 17.其中十位数字比个位数字大 1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大 198,求原数. 5一个两位数,在它的前面写上 3,所组成的三位数比原两位数的 7 倍多 24,求原来的两位数. 6把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多少? 7一个
10、六位数的末位数字是 2,如果把 2 移到首位,原数就是新数的 3 倍,求原数. 答案为 85714 8有一个四位数,个位数字与百位数字的和是 12,十位数字与千位数字的和是 9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加 2376,求原数. |9有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为 9 余数为 6,如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和,则商为 5 余数为 3,求这个两位数. 10如果现在是上午的 10 点 21 分,那么在经过 28799.99(一共有 20 个 9)分钟之后的时间将是几点几分? 四排列组合问题跟知识握握手 1、排列：一般地，从 个不同的元
11、素中取出 ( )个元素，按照一定的顺序排成一列，nmn叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列n【根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列 】2、排列的基本问题是计算排列的总个数从 个不同的元素中取出 ( )个元素的所有排列的个数，叫做从 个不同的元素nmnn的排列中取出 个元素的排列数，我们把它记做 mnP根据排列的定义，做一个 元素的排列由 个步骤完成：步骤 ：从 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有 种方法；1步骤
12、：从剩下的( )个元素中任取一个元素排在第二位，有( )种方法；21n 1n步骤 ：从剩下的 个元素中任取一个元素排在第 个位置，有m()mm(种)方法；1n（ ）3、【由乘法原理，从 个不同元素中取出 个元素的排列数是，即 ，这里， ，且等12n（ ） （ ） （ ） 12.1mnPn（ ） （ ） （ ） n号右边从 开始，后面每个因数比前一个因数小 ，共有 个因数相乘。】4、组合：一般地，从 个不同元素中取出 个( )元素组成一组不计较组内各元素的n次序，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合【从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关如果两个组合中的元素完全
13、相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合 】5、从 个不同元素中取出 个元素( )的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取nmnn出 个不同元素的组合数记作 。mC6、一般地，求从 个不同元素中取出的 个元素的排列数 可分成以下两步：nmP第一步：从 个不同元素中取出 个元素组成一组，共有 种方法；n C第二步：将每一个组合中的 个元素进行全排列，共有 种排法根据乘法原理，得到 因此，组合数mnPC12)13 mnPC（这个公式就是组合数公式|小试牛刀1有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ） A 768 种 B 3
14、2 种 C 24 种 D 2 的 10 次方中 2 若把英语单词 hello 的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( ) A 119 种 B 36 种 C 59 种 D 48 种 3、小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排； （2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。4、用 1、2、3、4、5、6 可以
15、组成多少个没有重复数字的个位是 5 的三位数？5、用 1、2、3、4、5 这五个数字可组成多少个比 大且百位数字不是 的无重复数字203的五位数？6、用 0 到 9 十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则 5687 是第几个数？7、用 、 、 、 、 这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个 3 的倍数？123458、用 1、2、3、4、5、6 六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？9、某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非 数码组成，且四个数码0之和是 ，那么确保打开保险柜至少要试几次？10、两对三胞胎喜相
16、逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少种不同的坐法？11、已知在由甲、乙、丙、丁、戊共 5 名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军 ”对乙说：“你当然不会是最差的 ”从这个回答分析，5 人的名次排列共有多少种不同的情况？12、 名男生， 名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：451 甲不在中间也不在两端；2 甲、乙两人必须排在两端；3 男、女生分别排在一起；|4 男女相间一台晚会上有 个演唱节目和 个舞蹈节目64求：1 当 个
17、舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？42 当要求每 个舞蹈节目之间至少安排 个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目21的顺序？13、1 从 1，2，8 中任取 3 个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式）2 从 8 位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？3 3 位同学坐 8 个座位，每个座位坐 1 人，共有几种坐法？4 8 个人坐 3 个座位，每个座位坐 1 人，共有多少种坐法？5 一火车站有 8 股车道，停放 3 列火车，有多少种不同的停放方法？6 8 种不同的菜籽，任选 3 种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？14
18、、某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成 3 个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的 48 名选手分成 8 个小组，每组 6 人，分别进行单循环赛；第二阶段：将 8 个小组产生的前 2 名共16 人再分成 个小组，每组 人，分别进行单循环赛；第三阶段：由 4 个小组产生的 个44 4第 名进行 场半决赛和 场决赛，确定 至 名的名次问：整个赛程一共需要进行多少12214场比赛？16、由数字 1，2，3 组成五位数，要求这五位数中 1，2，3 至少各出现一次，那么这样的五位数共有_个。(2007 年“迎春杯”高年级组决赛)17、 个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？018、8 个人站
19、队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻） ，小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？19、小明有 10 块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?20、某池塘中有 三只游船， 船可乘坐 人， 船可乘坐 人， 船可乘坐 人，ABC、 、 A3B2C1今有 个成人和 个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有32个成人陪同，那么他们 人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？521、从 名男生， 名女生中选出 人参加游泳比赛在下列条件下，分别有多少种选法？10881 恰有 名女生入选；32 至少有两名女生入选；3
20、 某两名女生，某两名男生必须入选；4 某两名女生，某两名男生不能同时入选；某两名女生，某两名男生最多入选两人。22、在 6 名内科医生和 4 名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成 5 人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法？1 有 3 名内科医生和 2 名外科医生；2 既有内科医生，又有外科医生；3 至少有一名主任参加；4 既有主任，又有外科医生.|23、在 10 名学生中，有 5 人会装电脑，有 3 人会安装音响设备，其余 2 人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由 人组成的安装小组，组内安装电脑要 人，安装音响设备6 3要 人，共有多少种不同的选人方案？324、
21、有 11 名外语翻译人员，其中 名是英语翻译员， 名是日语翻译员，另外两名英语、4日语都精通从中找出 人，使他们组成两个翻译小组，其中 人翻译英文，另 人翻译日8 4文，这两个小组能同时工作问这样的分配名单共可以开出多少张？五容斥原理问题跟知识握握手1、容斥原理的概念：在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 2、有关容斥原理的公式：公式 1. 如果被计数的事物有 A、B 两类，那么，A
22、 类或 B 类元素个数= A 类元素个数+ B 类元素个数既是 A 类又是 B 类的元素个数。公式 2. 如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么，A 类或 B 类或 C 类元素个数= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数既是 A 类又是 B 类的元素个数既是 A 类又是 C 类的元素个数既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。小试牛刀1 有 100 种赤贫.其中含钙的有 68 种,含铁的有 43 种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( ) A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11 2在多元智能大
23、赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校 25 名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2 倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多 1 人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( ) A，5 B，6 C，7 D，8 3一次考试共有 5 道试题。做对第 1、2、3、4、5 题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？ 4、某大楼里有 125 盏灯，按 1,2，3，,125 编号，每盏
24、灯有一个拉线开关，拉一次灯亮，再拉一次灯熄。工程师做实验，他先把所有号码是 4 的倍数的灯的开关拉 1 次，再把所有号码是 6 的倍数的灯的开关拉 1 次，同时再拉 1 次号码是 4 的倍数、但不是 6 的倍数的灯开关，问：现在有多少盏灯是亮的？|5、A、B、C 三位质检员对流水线上的书包进行检查，A 每 3 个书包抽查 1 个，B 每 5 个书包抽查 1 个，C 每 7 个书包抽查 1 个，一共有 250 个书包通过流水线，假定 A、B、C 首个抽查到的书包分别是第三个、第五个和第七个，试求：(1)没被抽查到的书包数。(2)在 A 或 B 抽查到的书包中，没被 C 抽查到的书包数。6、校举行
25、趣味运动会，班里的同学有 20 人报名。参加障碍过河比赛的有 10 人，参加自行车慢骑的有 13 人，参加“袋鼠跳”比赛的有 15 人，障碍过河、“袋鼠跳”都参加的有 9人，障碍过河、自行车慢骑都参加的有 6 人，自行车慢骑、“袋鼠跳”都参加的有 8 人，你能画出参加比赛的人数文氏图吗？ 7、某体育学校的运动员中，会游泳的有 15 人，会跳高的有 12 人，会跳远的有 9 人，以上三个项目只会其中两种的有 13 人，会三种的有 5 人，则只会其中两种的人分别有多少可能？8、在一所中学的实验班里，60 个学生参加过竞赛。其中参加过数学竞赛的有 30 人，参加过英语竞赛的有 25 人，参加过作文比
26、赛的有 17 人，参加过数学竞赛和英语竞赛的有 12 人，参加过英语竞赛和作文比赛的有 10 人，参加过数学竞赛和作文比赛的有 7 人，则三种竞赛都参加过的学生有 ( )人。请写出过程：六抽屉原理、奇偶性问题跟知识握握手 1、第一抽屉原理：原理 1：把多于 n 个的物体放到 n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件；【证明】 （反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是 n，而不是题设的 n+k(k1),这不可能。原理 2： 把多于 mn(m 乘以 n)个的物体放到 n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1 的物体。 【证明】 （反证法）：若每个抽屉至多放进
27、 m 个物体,那么 n 个抽屉至多放进 mn 个物体,与题设不符，故不可能 原理 3 ：把无穷多件物体放入 n 个抽屉，则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。【证明】.：根据原理 1、2 即可证明 【原理 1 2 3 都是第一抽屉原理的表述】2、第二抽屉原理：把（mn1）个物体放入 n 个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m1）个物体。 【证明】 （反证法）：若每个抽屉都有不少于 m 个物体，则总共至少有 mn 个物体，与题设矛盾，故不可能|3、 抽 屉 原 理 的 一 般 表 述 ： “把多于 kn+1个东西任意分放进 n 个空抽屉（k 是正整数） ，那么一定有一个抽屉中放进了至少 k+1个东西
28、。 ”奇数和偶数：整数可以分成奇数和偶数两大类.能被 2 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除的数叫做奇数。【偶数通常可以用 2k（k 为整数）表示，奇数则可以用 2k+1（k 为整数）表示。特别注意，因为 0 能被 2 整除，所以 0 是偶数。】5、奇数与偶数的运算性质：性质 1：偶数偶数=偶数， 奇数奇数=偶数。性质 2：偶数奇数=奇数。性质 3：偶数个奇数相加得偶数。性质 4：奇数个奇数相加得奇数。性质 5：偶数奇数=偶数，奇数奇数=奇数。经典例题【表述】：在第二抽屉原理中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加，当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式：元素
29、总数=商抽屉数+余数【如果余数不是 0，则最小数=商+1；如果余数正好是 0，则最小数=商。 】例题 1：幼儿园里有 120 个小朋友，各种玩具有 364 件。把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具？【解析】：把 120 个小朋友看做是 120 个抽屉，把玩具件数看做是元素。则364=1203+4，4120。根据抽屉原理的第（2）条规则：如果把 mxk（xk1）个元素放到 x 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有 m+1 个或更多个元素。可知至少有一个抽屉里有 3+1=4 个元素，即有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具。练习 1：1、一个幼儿园大班有 40 个小朋友，
30、班里有各种玩具 125 件。把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具？2、把 16 枝铅笔放入三个笔盒里，至少有一个笔盒里的笔不少于 6 枝。这是为什么？3、把 25 个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有 7 个球？例题 2：布袋里有 4 种不同颜色的球，每种都有 10 个。最少取出多少个球，才能保证其中一定有 3 个球的颜色一样？【解析】：把 4 种不同颜色看做 4 个抽屉，把布袋中的球看做元素。根据抽屉原理第（2）条，要使其中一个抽屉里至少有 3 个颜色一样的球，那么取出的球的个数应比抽屉|个数的 2 倍多 1。即 24+1=9（个）球。列算式为（31）4
31、+1=9（个）练习 2：1、布袋里有组都多的 5 种不同颜色的球。最少取出多少个球才能保证其中一定有 3 个颜色一样的球？2、一个容器里放有 10 块红木块、10 块白木块、10 块蓝木块，它们的形状、大小都一样。当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少有 4 块颜色相同，应至少取出多少块木块？3、一副扑克牌共 54 张，其中 113 点各有 4 张，还有两张王的扑克牌。至少要取出几张牌，才能保证其中必有 4 张牌的点数相同？例题 3：某班共有 46 名学生，他们都参加了课外兴趣小组。活动内容有数学、美术、书法和英语，每人可参加 1 个、2 个、3 个或 4 个兴趣小组。问班级
32、中至少有几名学生参加的项目完全相同？【解析】：参加课外兴趣小组的学生共分四种情况，只参加一个组的有 4 种类型，只参加两个小组的有 6 个类型，只参加三个组的有 4 种类型，参加四个组的有 1 种类型。把4+6+4+1=15（种）类型看做 15 个抽屉，把 46 个学生放入这些抽屉，因为 46=315+1，所以班级中至少有 4 名学生参加的项目完全相同。练习 3：1、某班有 37 个学生，他们都订阅了小主人报 、 少年文艺 、 小学生优秀作文三种报刊中的一、二、三种。其中至少有几位同学订的报刊相同？2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加） 。某
33、班有 52 名同学，问至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球，每人任意搬运两个，问：在 31 个 搬运者中至少有几人搬运的球完全相同？例题 4：从 1 至 30 中，3 的倍数有 303=10 个，不是 3 的倍数的数有 3010=20 个，至少要取出 20+1=21 个不同的数才能保证其中一定有一个数是 3 的倍数。练习 4：1、在 1，2，3，49，50 中，至少要取出多少个不同的数，才能保证其中一定有一个数能被 5 整除？2、从 1 至 120 中，至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是 4 的倍数？3、从 1 至 36 中，最多可以
34、取出几个数，使得这些数中没有两数的差是 5 的倍数？例题 5：将 400 张卡片分给若干名同学，每人都能分到，但都不能超过 11 张，试证明：找少有七名同学得到的卡片的张数相同。【证明】：这题需要灵活运用抽屉原理。将分得 1，2，3，11 张可片看做 11 个抽屉，把同学人数看做元素，如果每个抽屉都有一个元素，则需1+2+3+10+11=66（张）卡片。而 40066=64（张） ，即每个周体都有 6 个元素，还余下 4 张卡片没分掉。而这 4 张卡片无论怎么分，都会使得某一个抽屉至少有 7 个元素，所以至少有 7 名同学得到的卡片的张数相同。练习 5：1、把 280 个桃分给若干只猴子，每只猴子不超过 10 个。证明：无论怎样分，至少有 6 只猴子得到的桃一样多。2、把 61 颗棋子放在若干个格子里，每个格子最多可以放 5 颗棋子。证明：至少有 5 个格
