第四章 特殊函数(上) 勒让德多项式 球函数 本章主要内容：勒让德多项式的来源、定 本章主要内容：勒让德多项式的来源、定 义、性质、生成与递推公式，球谐函数。 义、性质、生成与递推公式，球谐函数。第四章 勒让德多项式 球函数 4.1 4.1 勒让德方程及其解的表示 勒让德方程及其解的表示 4.1.1 勒让德方程 勒让德多项式 在分离变量一章中，我们已经知道球坐标系下拉普拉斯 方程为： （4.1.1） 在球坐标系下对拉普拉斯方程分离变量径向部分得到 欧拉型常微分方程 和球谐函数方程 （4.1.2） (4.1.2) 式的解 与半径 无关，称为 球谐函数 ，或简称为球函数球谐 函数方程进 一步分离变 量，令 得到关于 的常微分方程 （4.1.3） 称为 阶 连带勒让德方程或缔合勒让德方程 . 令 和 把自变 数从 换为 ，则 方程（4.1.3）可以化为 下列 阶 连带勒让德方程 形式的（4.1.4） 若所讨论 的问题 具有旋转轴对 称性，即定解问题 的解与 无关，则 ，即有 （4.1.5） 称为 阶 勒让德 (legendre) 方程 同样 若记 ， 则 上述方程也可写为 下列形式的 阶 勒
