1、 苏州科技学院 概率论与数理统计 活页练习册 习题解答 信息与计算科学系 概率论与数理统计教材编写组 2013 年 12 月 1 习题 1-1 样本空间与随机事件 1 选择题 （ 1）设 ,ABC 为三个事件，则 “ ,ABC 中至少有一个不发生 ”这一事件可表示为（ D ） （ A） AB AC BC （ B） A B C （ C） A B C A BC AB C （ D） A B C （ 2）设三个元件的寿命分别为 1 2 3,TT T ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件 “系统的寿命超过 t ”可表示为（ D ） A 1 2 3T T T t B 1 2 3
2、TTT t C 1 2 3m in , ,T T T t D 1 2 3m ax , ,T T T t 2 用集合的形式表示下列随机试验的样本空间 与随机事件 A：对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件 A 表示 “射击次数不超过 5 次 ”。 解： ， 321 ； 54321A ， 。 3 设某工人连续生产了 4 个零件， iA 表示他生产的第 i 个零件是正品（ 4,3,2,1i ），试用 iA 表示下列各事件： （ 1）只有一个是次品； 4321432143214321 AAAAAAAAAAAAAAAA （ 2）至 多 有三个不是次品； 4321 AAAA 。 习题 1-
3、2 随机事件的概率及计算 1填空题 （ 1） 已知 BA ， 4.0)( AP ， 6.0)( BP ，则 )(AP 0.6， )(ABP 0.4， )( BAP 0 ， )( BAP 0.4。 （ 2） 设事件 A 与 B 互不相容， ( ) 0 .4 , ( ) 0 .3P A P B， 则 ()PAB = 0.3 ， ()P A B = 0.6 。 2选择题 （ 1）如果 ( ) 0P AB ，则（ C ） (A) A 与 B 互不相容 (B) A 与 B 互不相容 (C) ( ) ( )P A B P A (D) ( ) ( ) ( )P A B P A P B (2) 两个 事件 A
4、 与 B 是对立事件的充要条件是（ C ） （ A） )()()( BPAPABP （ B） 1)(0)( BAPABP 且 （ C） BAAB 且 （ D） AB 2 3 一批晶体管共 40 只，其中 3 只是坏的，今从中任取 5 只，求 （ 1） 5 只全是好的的概率； （ 2） 5 只中有两只坏的的概率 ； （ 3） 5 只中至多有一只坏的概率。 解：（ 1） 5405371 CCp =0.6624 （ 2） 540233372 CCCp =0.0354 （ 3） 540537134373 C CCCp =0.963 4 （ 1）教室里有 r 个学生，求他们的生日 都不相同的概率； （
5、2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率 . 解： （ 1）设 A “他们的生日都不相同” ，则 365()365rrPPA； （ 2）设 B “ 至 少有两个人的生日在同一个月” ，则 2 1 2 2 2 3 2 14 1 2 1 1 4 1 2 4 1 2 1 24 41() 1 2 9 6C C P C C C P CPB ； 或 4124 41( ) 1 ( ) 1 1 2 9 6PP B P B . 习题 1-3 条件概率 1选择题： （ 1）设 A， B 为两个相互对立事件，且 0)( AP ， 0)( BP ，则 ( C )。 （ A） 0)( ABP （ B） )
6、()( APBAP （ C） 0)( BAP （ D） )()()( BPAPABP （ 2）一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 p，第二道工序的废品率为 q，则该零件加工的成品率为（ ） （ A） 1 pq （ B） 1 pq （ C） 1 p q pq （ D） (1 ) (1 )pq 2填空题 : (1) 已知 ,6.0)(,5.0)( BAPAP 若 BA、 互不相容，则 )(BP . ；若 BA、 相互独立，则 )(BP . . (2) 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 80/81，该射手的命中率_ 23p _。 3为防止意外，在矿内同时安装
7、了两种报警系统 A 与 B，每种报警系统都使用时，对系统 A 其有效3 的概率是 0.92，对系统 B 其有效的概率为 0.93，在 A 失效的条件下， B 有效的概率为 0.85.求：（ 1）发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率；（ 2） B 失灵的条件下， A 有效的概率。 解：设 A “报警系统 A 有效”， B “报警系统 B 有效” 则 （ 1） 9 8 8.015.008.01)()(1)(1)( ABPAPBAPBAP （ 2） 因为： 8 6 2.09 8 8.093.092.0)()()()( BAPBPAPABP 829.007.0 058.0)(1 )()()(
8、 )()( BP ABPAPBP BAPBAP 4 玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，假设各箱含 0， 1， 2 只残次品的概率分别为 0.8， 0.1， 0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回 .试求： （ 1）顾客买下该 箱的概率 ； （ 2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率 . 解 设 A “顾客买下该箱”， B “箱中恰有 i件残次品”， 0,1,2i ， （ 1） 0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P A P B P A B P B P A B P B P A B
9、 441 9 1 82 0 2 00.8 0.1 0.1 0.9 4CC ； （ 2） 00() 0 . 8( | ) 0 . 8 5( ) 0 . 9 4P A BP B A PA . 5 据数据显示，每 1000 名 50 岁的低风险男性中，有 3 名患有结肠癌 .如果一名男性患有结肠癌，那么大便隐血检查表明有隐血的可能性是 50%，如果一名男性没有患有结肠癌，那么大便隐血检查表明有隐血的可能性是 3%如果对一名低风险男性进行的隐血检查表明有隐血，那么他患有结肠癌的概率是多少？ 解 设 A =“ 50 岁男性 患有 结肠癌 ”， B =“ 大便隐血检查呈隐血 ” 由题意， 003.0)(
10、AP ， 997.0)( AP ， 50.0)( ABP ， 03.0)( ABP 由 贝叶斯公式（ 1.3.5）， 0 4 7 7 5 5.003.09 9 7.05.00 0 3.0 5.00 0 3.0)()()()( )()()( )()( ABPAPABPAP ABPAPBP ABPBAP 习题 2-1 随机变量及其分布函数 1判断 下列函数能否为某随机变量的分布函数 .（ ） 4 10 , 0 ,( ) si n , 0 ,21 , .2xF x x xx 20 , 0 ,() ln (1 ) , 0 .1xFx x xx 解： 1()Fx是； 2()Fx不是，因为 2 ( ) 0
11、 1F . . 习题 2-2 离散型随机变量 1 填空题 (1) 设随机变量 X 的分布律为 : ,NakXP Nk ，,2,1 ，试确定 _ 1 _a 。 (2) 一批产品共 100 个，其中有 10 个次品，从中放回取 5 次，每次取一个，以 X 表示任意取出的产品中的次品数，则 X 的分布为 (5,0.1)B 。 (3) 某射手对一目标进行射击，直至击中为止，如果每次射击命中率都是 p ，以 X 表示射击的次数，则 X 的分布 律为 .,2,1,)1()( 1 kppkXP k 。 2. 将编号为 1,2,3,4 的四个球随机地放入 3 个不同的盒子中，每个盒子所放球的个数不限，以 X
12、表示放球最多的盒子中球的个数，试求 X 的分布列及其分布函数 ()Fx. 解：1 2 1 23 4 3 442 2( 2 ) 33C C C CPX ；13344 2 8( 3 ) 3 2 7CCPX ；134 1( 4 ) 3 2 7CPX . 0 , 2 ,2, 2 3 ,3() 2 8 26, 3 4 ,3 27 272 8 11 , 4.3 27 27xxFxxx 3 设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为 0.3 的泊松分布 ,试问 (1) 在一周内恰好发生 2 次交通事故的概率是多少？ (2) 在一周内至少发生 1 次交通事故的概率是多少？ 解：设一周内发生交通事故的次数为
13、X，则 3.0 PX。 （ 1） 033 3.0!23.02 3.02 eXP。 5 （ 2） 259.01!0 3.01)0(1)1( 3.03.00 eeXPXP。 4某人购买某种彩票，若已知中奖的概率为 0.001 ，现购买 2000 张彩票，试求：（ 1） 此人中奖的概率；（ 2）至少有 3 张彩票中奖的概率（用泊松分布近似计算）。 解：设中奖的彩票数为 X ，则 (2000, 0.001)XB . （ 1） 2000( 1 ) 1 ( 0 ) 1 ( 0 . 9 9 9 ) 0 . 8 6 4 8P X P X . （ 2）由于 2000 0.001 2，故 ( 3 ) 1 ( 0
14、) ( 1 ) ( 2 )P X P X P X P X 0 1 2 222 2 21 ( ) 1 5 0 . 3 2 3 30 ! 1 ! 2 ! ee . 习题 2-3 连续型随机变量 1. 设连续型随机变量 X 的密度函数为 2 , 0 1 ,( ) 2 , 1 2 ,0,a x xf x x x 其 他 .试求：（ 1）常数 a 的值；（ 2）随机变量 X 的分布函数；（ 3） 13()22PX。 解：（ 1）由于 12201 11 ( ) ( 2 ) 32af x d x a x d x x d x . 故 32a . （ 2）当 0x 时， ( ) 0Fx ； 当 01x时， 23
15、0 31() 22xF x t d t x ； 当 12x时， 1 220131( ) ( 2 ) 2 1xF x t d t t d t x x ； 当 2x 时， ( ) 1Fx . 故， 6 320 , 0 ,1, 0 1 ,2()12 1 , 1 221 , 2 .xxxFxx x xx （ 3） 1 3 221 2 11 3 3 1 3( ) ( 2 )2 2 2 1 6P X x d x x d x . 2. 设连续型随机变量 X 的分布函数为 00 0)1()( xxeAxF x， ，, 试求：（ 1）系数 A；（ 2） X 的密度函数；（ 3） (1 3)PX。 解：（ 1）由
16、1)( F知，AeAxF xxx )1(lim)(lim1。 （ 2） .0,0 ;0,)()( x xexFxf x（ 3） 3113 11)1()3()31( eeeeFFXP。 3. 设 K 在 (0， 5)内服从均匀分布 , 求方程 0244 2 KKxx 有实根的概率 。 解：所求的概率为： 252( 16 16 2 0) 2 1132 1 0 .55P K K P KP K P K dx 或 K4. 某种型号的电子管寿命 X (以小时计 )具有以下概率密度 21000 1000()0xfx x ， 其 他， 现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立） , 任取 5 只，问其中
17、至少有 2 只寿命大于 1500小时的概率是多少？ 解： 1500 2 32100 0)150 0( dxxXP。 从而所求概率为 5415505 31113132311 CC。 5. 设连续型随机变量 3 4XN（ ， ） ，（ 1）求 2,52 XPXP ；（ 2）确定常数 C 使 CXPCXP 。 7 解：（ 1） 532 8.05.01)1()5.0()1(2 322 35)52( XP 2 1 2 1 2 22 3 2 31 0 . 5 1 2 . 5 0 . 6 9 7 722P X P X P X （ 2） 由于 cXPcXP ，从而， 21 cXP。 故 2 3210 ccXP
18、。所以，2 3 c,故3c。 习题 2-4 二维随机变量及其分布 1一箱子装有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 80 件， 10 件， 10 件。现从中随机抽取一件，记 1 1,0,X 若 抽 到 一 等 品 ,其 他 .2 10X ， 若 抽 到 二 等 品 ,， 其 他 .试求 ),( 21 XX 的联合分布列。 解： 2. 完成下列表格 Y X 1y 2y 3y .ip 1x 0.1 0.1 0.2 0.4 2x 0.2 0.2 0.2 0.6 .jp 0.3 0.3 0.4 1 3 设二维随机变量 ),( YX 的联合密度函数为： 2 , 0 1 , 0 2( , )0x c
19、 x y x yf x y 其 他， 求： （ 1）常数 c ；（ 2） 1P X Y ；（ 3） X 和 Y 的边缘密度函数。 解：（ 1） 12 20021, 3x c x y d y d x c 13c 1 2 11 2 212801 , 0 1 0. 8 ;100100 , 1 1 0. 1 ;100100 , 0 0. 1100P X X P XP X X P XP X X 。 121 , 1 0 ;P X X 8 10 10 2 727311 dxdyxyxYXP x。 求 X 的边缘密度函数： dyyxfxf X ,。 当10 xx 或时， 0xf X； 当10 x时， 20 2
20、2 32231 xxdyxyxxf X。 求 Y 的边缘密度函数： dxyxfyf Y ,。当20 yy 或时， 0yfY； 当20 y时， 10 2 613131 ydxxyxyf Y。 4. 设 ),( YX 服从 10,20|),( yxyxG 上的均匀分布，求： （ 1） ),( YX 的联合概率 密度函数；（ 2） 2XYP ；（ 3） X 和 Y 的边缘密度函数。 解：（ 1）由（ X， Y）服从 G 上的均匀分布知，（ X， Y）的联合密度为： 其他。,0;10,20,21, yxyf（ 2） 20 02 34212 dxdyXY x。 （ 3）先求 X 的边缘密度： dyyxf
21、xf X ,。 当20 xx 或时， 0xf X；当20 x时， 10 2121 dyxf X。 再求 Y 的边缘密度函数： dxyxfyf Y ,当10 yy 或时， 0yfY；当10 时， 20 121 dxyf。 习题 2-5 条件分布及随机变量的独立性 1设二维离散型随机变量 ),( YX 只取 )2,1(),1,1(),0,0( 及 )0,2( 四对值，相应概率依次为125,31,61,121 ，试判断随机变量 X 与 Y 是否相互独立 。 9 解：由于 ,211251210,121)0( YPXP而 ,241001210,0 YPXPYXP所以， X 与 Y 不独立。 2. 设随机
22、变量 X 与 Y 相互独立，试完成下表： Y X 1y 2y 3y .ip 1x 1/24 1/8 1/12 1/4 2x 1/8 3/8 1/4 3/4 .jp 1/6 1/2 1/3 1 3设二维连续型随机变量 ( , )XY 的联合密度函数为 1 , 0 1 , 0 2 ,( , )0,x y xf x y 其 他 .试判定 X 与 Y 是否相互独立。 解： ( ) ( , )Xf x f x y d y . 当 0x 或 1x 时， ( ) 0Xfx ；当 01x时， 20( ) 1 2xXf x dy x . ( ) ( , )Yf y f x y d x . 当 0y 或 2y 时， ( ) 0Yfy ；当 01y时， 1 2( ) 1 1 2Y y yf y d x . 由于当 ( , ) 0 1 , 0 2 x y x y x 时， ( , ) ( ) ( )XYf x y f x f y， 且区域 0 1, 0 2 x y x 的面积不为 0，所以， X 与 Y 不相互独立 . 4. 设二维连续型随机变量 ),( YX 的联合密度函数为 2 0 1 , 0 1( , )0 xycxyf x y 其 他， 求常数 c，并判断 X 与 Y 是否相互独立 。
