第三章 线性空间与线性变换3.1 线性空间的定义与性质 0 数轴 平面 三维空间 y x z O x y O 常见的几何空间 ：几何空间R 3 的运算 运算规律 加法 ： ： 数乘： 数乘：u对几何空间进行推广，通过抽 象出几何空间线性运算的本质； u在任意研究对象的集合上定义 具有线性运算的代数结构。 线性空间若对于任一数 与任一元素 ，总有唯 一的一个元素 与之对应，称为 与 的积， 记作 定义 设 是一个非空集合， 为一个数域如果 对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元 素 与之对应，称为 与 的和，记作 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律:那么 就称为数域 上的线性空间2 判别线性空间的方法：一个集合，对于定 义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条 性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间 注 1 凡满足以上八条规律的加法及数乘运算 ，称为线性运算 特别地，当集合中定义的加法和乘数运算是通常 的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性注加法 ： 数乘 :例3 全体正实数R + ,定义加法和数量乘法如下： 解： 零元为常数1 故在该加法和数乘运算下，对应集合构成 实数域
