1、初中数学解题中的分类思想一 .与概念有关的分类 1. 一次函数 y=kx+b的自变量的取值范围是-3x 6， 相应的函数值的取值范围是-5y-2 ， 则这个函数的解析式 是 。 -5=-3k+b -2=6k+b-5=6k+b-2=-3k+b解析式为 Y= x-4, 或 y=- x-32. 函数 y=ax2-ax+3x+1与 x轴只有一个交点，求 a的值与交点坐标。当 a=0时 ,为一次函数 y=3x+1,交点为（ - ， 0）；当 a不为 0时 ,为二次函数 y=ax2+(3-a)x+1, =a2 -10a+9=0.解得 a=1或 a=9,交点为（ -1， 0）或（ ， 0）二 .图形位置的分
2、类 3.平面上，过一点 P任意作一条直线 m,与半径为 r的圆 O交于两点 A、 B， 如果设点 P与点 O的距离为d， 那么 PAPB的值是多少？分析：在这个问题中，点 P的位置不确定，可能在圆内，也可能在圆上或圆外。所以这是一个条件开放题，需要对条件进行分类讨论。解 :1）如果点 P在圆外（如图 1）则由切割线定理可知PAPB=PCPD=（ PO CO）（ ）=（ d r)(d+r)=d2 r2P ABC O D（ 2）如果点 P在圆上（如图 2）则 PO=d=r,PA=0(A、 P重合） PAPB=0， 即 （）（）如果点在圆内（如图），则由相交弦定理可知 =PCPD=（ OC OP）（
3、 OD+OP）=（ ）（）=r2 d2PBAO结论：过任一已知点作直线与圆相交，则该点与交点的距离的乘积为定值，该定值是点到圆心的距离与半径的平方差的绝对值。DC4. 如图，直线 AB经过圆 O的圆心，与圆 O交于 A、 B两点，点 C在 O上，且 ACO=30， 点 P是直线 AB上的一个动点（与点 O不重合），直线 PC与 O相交于点 Q， 问点 P在直线 AB的什么位置时， QP=QO？ 这样的点 P有几个？并相应地求出 OCP的度数。ABCPOQ解： OQ=OC， OQ=OP OQC= OCQ， QOP= QPO设 OCP=x度 , 则有：（ 2）如果点 P在线段 OB上，显然有 PQ
4、 OQ， 所以点 P不可能在线段 OB上。（ 1）如上图， 当点 P在线段 OA上时， OQC= OCP=x, QPO=（ 180 OQP） =（ 180 x)又 QPO= OCP+ COP， (180 x)=x+30,解得 x=40, 即 OCP=40度OQCPB AQPOCB A（ 3）如图，当点在的延长线上时， OQC= OCQ=180 ， OPQ= （ 180 x)= x.又 QCO= CPO+ COP， 180 x=x+30,解得 x=100 即 OCP=100度（ 4）如图当在的延长线上时， OQC= OCQ=x, OQC= QPO+ QOP, QPO= OQC= x,又 COA=
5、 OCP+ CPO, 解方程 30=x+ x,得到 x=20 即 OCP=20度7。在 ABC中， C=90， AC=3， BC=4。 若以为圆心，为半径的圆与斜边只有一个公共点，则 R的值为多少？CBA5。在半径为 1的圆 O中，弦 AB、 AC的长分别是 ，则 BAC的度数是 。6。 ABC是半径为 2cm的圆的内接三角形，若 BC=2 cm,则角 A的度数是 。CABCCBAAC BBAC CBA8.半径为 R的两个等圆外切，则半径为 2R且和这两个圆都相切的圆有几个？9. 两圆半径分别为 2和 4，它们有两条公切线互相垂直，则这两圆的圆心距为多少？三 .与相似三角形有关的分类10。在矩形 ABCD中， AB=12cm， BC=6cm， 点 P沿 AB边从点 A出发向 B以 2cm秒的速度移动 ;点 Q沿 DA边从点 D开始向 A以 1cm/秒的速度移动。如果 P、 Q同时出发，用 t秒表示移动的时间（ 0 x 6） 那么：（ 1）当 t为何值时， QAP为等腰直角三角形？（ 2）求四边形 QAPC的面积；提出一个与计算结果有关的结论；（ 3）当 t为何值时，以点 Q、 A、 P为顶点的三角形与 ABC相似？QPAD CB
