高中数学竞赛-几个重要不等式及其应用.doc

几个重要不等式及其应用一、几个重要不等式以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。1、算术-几何平均值（AM-GM）不等式设是非负实数，则2、柯西（Cauchy）不等式设，则等号成立当且仅当存在，使变形（）：设，则；等号成立当且仅当存在，使变形（）设同号，且，则。等号成立当且仅当3排序不等式设是的一个排列，则. 等号成立当且仅当或。（用调整法证明）.4琴生（Jensen）不等式若是区间上的凸函数，则对任意的点有等号当且仅当时取得。（用归纳法证明）二、进一步的结论运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到的效果。1. 幂均值不等式设，则。证：作变量代换，令，则，则 ，又函数是上的凸函数，由Jensen不等式知式成立。2.（切比雪夫不等式）设两个实数组，则等号成立当且仅当或。证：由排序不等式有：，以上n个等式相加即得。