第二章 三、 收敛数列的性质 1. 唯一性 2. 有界性 3. 保号性、保序性 4. 收敛数列与其子列的关系三、 收敛数列的性质. 1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性) 即若 则必有 若极限 则极限唯一.( 用反证法) 及 且 取 因 N 1 N + , 使当 n N 1 时, 假设 即当 n N 1 时, 从而 使当 n N 1 时, 证法1同理, 因 故 N 2 N + , 使当 n N 2 时, 有 从而 使当 n N 2 时, 有 从而 使当 n N 1 时, 则当 n N 时, 矛盾！ 故假设不真 !2. 有界性 例如: 有界 无界即若 使 (n =1,2,). 定理2.2 ( 收敛数列的有界性) 收敛的数列必定有界.证 设 取 则 当 时, 从而有 取 则有 即收敛数列必有界. 有注 有界性是数列收敛的必要条件， 但不是充分条件. 收敛 有界 关系： 例如, 虽有界，但不收敛 . 数列 推论 无界数列必发散.使当n N 时，恒有 (1) 若 时, 有 3. 保号性、保序性证（1）： 取 因 故存在 N 1 , 使当 n N 1 时, 从而 当 n N 1
