2018年高考数学专题复习突破训练高考真题专题练构造函数解决高考导数问题.doc

1、构造函数解决高考导数问题 1.（ 2015课标全国理）设函数 aaxxexf x )12()( ，其中 1a ，若存在唯一的整数 0x 使得 0)( 0 xf ，则 a 的取值范围是（ ） A )1,23 e B )43,23 e C )43,23 e D )1,23 e 2. （ 2016 课标 全国 II 卷 理） 若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线，也是曲线 y=ln（ x+1）的切线，则 b= 3.（ 2016北京理）（本小题 13 分） 设函数 f (x)=x axe +bx，曲线 y=f (x)在点 (2,f (2)处的切线方程为 y=(e 1)x+4， （ I）

2、求 a,b 的值； (II) 求 f (x)的单调区间 4.（ 2017全国 III 卷文） （ 12 分） 已知函数 ()fx=lnx+ax2+(2a+1)x （ 1）讨论 ()fx的单调性； （ 2）当 a 0 时，证明 3( ) 24fx a 5. （ 2016四川卷文） （本小题满分 14 分） 设函数 f (x)=ax2 a lnx， g(x)=1x eex ，其中 a R， e=2.718 为自然对数的底数 . （ ）讨论 f (x)的单调性； （ ）证明：当 x 1 时， g(x) 0； （ ）确定 a 的所有可能取值，使得 f (x) g(x)在区间（ 1， +）内恒成立 .

3、6.（ 2016课标全国 文）（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) ( 1 ) ln ( 1 )f x x x a x . （ I）当 4a 时，求曲线 ()y f x 在 1, (1)f 处的切线方程； （）若当 1,x 时， ( ) 0fx ，求 a 的取值范围 . 7.（ 2017天津文）（本小题满分 14 分） 设 ,abR ， | | 1a .已知函数 32( ) 6 3 ( 4 )f x x x a a x b ， ( ) e ( )xg x f x . （）求 ()fx的单调区间； （）已知函数 ()y gx 和 xye 的图像在公共点（ x0， y0）处有相同的切线， （

4、 i）求证： ()fx在 0xx 处的导数等于 0； （ ii）若关于 x 的不等式 ( ) exgx 在区间 00 1, 1xx上恒成立，求 b 的取值范围 . 8.（ 2016江苏）（本小题满分 16 分）已知函数 f（ x） =ax+bx（ a 0， b 0， a1， b1） （ 1）设 a=2， b=12 求方程 f（ x） =2 的根； 若对于任意 x R，不等式 f（ 2x） mf（ x） 6 恒成立，求实数 m 的最大值； （ 2）若 0 a 1， b 1，函数 g（ x） =f（ x） 2 有且只有 1 个零点，求 ab 的值 9. （ 2016山东理） (本小题满分 13 分

5、 ) 已知 221( ) l n ,xf x a x x a Rx . （ I）讨论 ()fx的单调性； （ II）当 1a 时，证明 3( ) 2f x f x 对于任意的 1,2x 成立 . 10. (2017江苏文 )（本小题满分 16 分） 已知函数 32 10f x = x a x b x ( a ,b R ) 有极值，且导函数 fx 的极值点是 fx的零点 .（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） (1)求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明： b3a; (3)若 fx， fx 这两个函数的所有极值之和不小于 7-2 ，求 a 的取值范围 . 构造函数 解决

6、高考导数问题答案 1.（ 2015课标全国理）设函数 aaxxexf x )12()( ，其中 1a ，若存在唯一的整数 0x 使得 0)( 0 xf ，则 a 的取值范围是（ ） A )1,23 e B )43,23 e C )43,23 e D )1,23 e 【答案】 D 【解析】由题意，存在唯一的整数 x0，使得 f(x0) 0，即存在唯一的整数 x0，使 0xe (2x0 1) a(x0 1) 设 g(x) ex(2x 1)， h(x) a(x 1) g(x) ex(2x 1) 2ex ex(2x 1)， 从而当 x ， 12 时， g(x)单调递减；当 x 12， 时， g(x)单

7、调递增 又 h(x) a(x 1)必过点 (1， 0)， g(0) 1，当 g(0) h(0)时， a 0（ 1）1 0 1. 而 g( 1) 3e，当 g( 1) h( 1)时， a0 3e1（ 1） 32e， 要满足题意，则 32e a 1，选 D. 【点评】关键点拨：把 “若存在唯一的整数 x0， 使得 f(x0) 0”转化为 “若存在唯一的整数 x0，使得 0xe (2x0 1) a(x0 1)” 测训诊断：本题难度较难 ， 主要考查导数知识的应用考查转化与化归思想 2.（ 2016 课标 全国 II 卷 理） 若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线，也是曲线 y=ln(

8、x+ )的切线，则 b= 【答案】 1 ln 2 【解析】设 y kx b 切 y ln x 2 的切点为 (x1， y1)，切 y ln (x 1)的切点为 (x2， y2)由导数的几何意义和切点的特征可知kx1 b ln x1 2 y1，k 1x1， kx2 b ln（ x2 1） y2，k 1x2 1. 由 消去 x1， y1 整理可得 b 1 ln k， 由 消去 x2， y2 整理可得 b ln k k 1. 联立 可得 1 ln k ln k k 1， k 2， b 1 ln k 1 ln 2. 【点评】 关键点拨：关 于函数的切线问题，我们要利用导数的几何意义，构建等量关系还需注

9、意切点既在函数图像上，也在切线上对于切点不明确的，需要设出切点，再合理表达求解 测训诊断： (1)利用导数的几何意义求解切线问题，是高中导数知识的重要部分，应熟练掌握基本题型，在此基础上加强综合题的训练 (2)本题有一定深度，难度，考查了学生的知识迁移能力和数据处理能力，争取得分 3.（ 2016北京理）（本 题 满分 13 分） 设函数 f (x)=x axe +bx，曲线 y=f (x)在点 (2,f (2)处的切线方程为 y=(e 1)x+4， （ I）求 a,b 的值； (II) 求 f (x)的单调区间 解： (1)因为 f (x) xea-x bx，所以 f (x) (1 x)ea

10、-x b. 依题设，有 f（ 2） 2e 2，f （ 2） e 1， 即 2ea-2 2b 2e 2， ea-2 b e 1. 解得 a 2， b e. (2)由 (1)知 f (x) xe2-x ex， 由 f (x) e2-x(1 x ex-1)及 e2-x0 知， f (x)与 1 x ex-1 同号 令 g(x) 1 x ex-1，则 g(x) 1 ex-1.令 g (x) 0，得 x 1. 所以当 x ( ， 1)时， g(x)0， g(x)在区间 (1， )上单调递增 故 g(1) 1 是 g(x)在区间 ( ， )上的最小值， 从而 g(x)0， x ( ， ) 综上可知， f

11、(x)0， x ( ， ) 故 f (x) 的单调递增区间为 ( ， ) 【点评】 测训诊断： (1)本题难度易，主要考查导数的几何意义和函数单调区间的求解 (2)本题若失分，多是对导致的概念理解不清或计算出错 4.（ 2017全国 III 卷文）（ 12 分） 已知函数 ()fx=lnx+ax2+(2a+1)x （ 1）讨论 ()fx的单调性； （ 2）当 a 0 时，证明 3( ) 24fx a 解：（ 1） )0()1)(12(1)12(2)( 2 xx xaxx xaaxxf当 0a 时， 0)( xf ，则 )(xf 在 ),0( 单调递增 当 0a 时，则 )(xf 在 )21,0

12、( a 单调递增，在 ),21( a 单调递减 . （ 2）由（ 1）知，当 0a 时，m a x 1 1 1( ) ( ) l n 12 2 4f x f a a a 1 3 1 1( ) ( 2 ) l n ( ) 12 4 2 2f a a a a ， 令 tty 1ln （ 021 at ），令 011 ty ，解得 1t y 在 )1,0( 单调递增，在 ),1( 单调递减 . max (1) 0y y y ， 即 )243()(m ax axf， 243)( axf . 5.（ 2016四川卷文） （本题满分 14 分） 设函数 f (x)=ax2 a lnx， g(x)=1x e

13、ex ，其中 a R， e=2.718 为自然对数的底数 . （ ）讨论 f (x)的单调性； （ ）证明：当 x 1 时， g(x) 0； （ ）确定 a 的所有可能取值，使得 f (x) g(x)在区间（ 1， +）内恒成立 . 解： (1) f (x) 2ax 1x 2ax2 1x (x0) 当 a0时， f (x)0 时，由 f (x) 0 得 x 12a. 当 x 0， 12a 时， f (x)0， f (x)单调递增 (2)证明：令 s(x) ex-1 x，则 s(x) ex-1 1. 当 x1 时， s(x)0，所以 ex-1x，从而 g(x) 1x eex0. (3)由 (2)

14、知，当 x1 时， g(x)0. 当 a0， x1 时， f (x) a(x2 1) ln xg(x)在区间 (1， )内恒成立时，必有 a0. 当 01. 由 (1)有 f 12a 0. 所以此时 f (x)g(x)在区间 (1， )内不恒成立 当 a12时，令 h(x) f (x) g(x)(x1)， 则 h(x) 2ax 1x 1x2 e1-xx 1x 1x2 1x x3 2x 1x2 x2 2x 1x2 0. 因此， h(x)在区间 (1， )内单调递增 又因为 h(1) 0，所以当 x1 时， h(x) f (x) g(x)0，即 f (x)g(x)恒成立 综上， a 12， . 【

15、点评】 关键点拨：第 (1)问中对 a 的讨论是关键，第 (3)问中恒成立求参数化归为函数求最值，最值的求解是难点 测训诊断： (1)本题难度较大，主要考查分类讨论求单调区间、构造函数证明不等式、不等式恒成立求参数取值范围问题 (2)考生失分主要体现两点： 分类讨论不全面； 在第 (3)问中不等式恒成立求参数范围转化为函数求最值时，计算过程出现失误 6.（ 2016课标全国 文）（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) ( 1 ) ln ( 1 )f x x x a x . （ I）当 4a 时，求曲线 ()y f x 在 1, (1)f 处的切线方程； （）若当 1,x 时， ( ) 0f

16、x ，求 a 的取值范围 . 解： (1)f (x)的定义域为 (0， )， 当 a 4 时， f (x) (x 1)ln x 4(x 1)， f (x) ln x 1x 3， f (1) 2， f(1) 0. 所以曲线 y f (x)在 (1， f(1)处的 切线方程为 2x y 2 0. (2)当 x (1， )时， f (x)0 等价于 ln x a（ x 1）x 1 0. 设 g(x) ln x a（ x 1）x 1 ，则 g(x) 1x 2a（ x 1） 2 x2 2（ 1 a） x 1x（ x 1） 2 ， g(1) 0. 当 a2， x (1， )时， x2 2(1 a)x 1x

17、2 2x 10，即 g(x)0， g(x)在 (1， )上单调递增，因此 g(x)0； 当 a2 时，令 g(x) 0 得 x1 a 1 （ a 1） 2 1， x2 a 1 （ a 1） 2 1. 由 x21 和 x1x2 1 得 x10， 所以 mf（ x） 2 4f（ x） 对于任意 x R 恒成立 而f（ x） 2 4f（ x） f (x)4f（ x） 2 f（ x） 4f（ x） 4，且f（ 0） 2 4f（ 0） 4， 所以 m4，故实数 m 的最大值为 4. (2)因为函数 g(x) f (x) 2 有且只有 1 个零点， 而 g(0) f(0) 2 a0 b0 2 0， 所以

18、0 是函数 g(x)的唯一零点 因为 g(x) axln a bxln b，又由 01 知 ln a0， 所以 g(x) 0 有唯一解 x0 logba ln aln b . 令 h(x) g(x)，则 h(x) (axln a bxln b) ax(ln a)2 bx(ln b)2， 从而对任意 x R， h(x)0，所以 g(x) h(x)是 (， )上的单调增函数 于是当 x ( ， x0)时， g(x)g(x0) 0. 因而函数 g(x)在 ( ， x0)上是单调减函数，在 (x0， )上是单调增函数 下证 x0 0. 若 x0alog2a 2 0，且函数 g(x)在以x02和 log

19、a2 为端点的闭区间上的图像不间断，所以在x02和 loga2 之间存在 g(x)的零点，记为 x1. 因为 00，同理可得，在x02和 loga2 之间存在 g(x)的非 0 的零点，矛盾 因此， x0 0. 于是ln aln b 1，故 lg a ln b 0，所以 ab 1. 【解析】 【点评】关键点拨：注意分离参数方法在解与函数有关的不等式求参问题中的应用；根据函数零点个数求参数值时，注意应用零点存在定理，利用换元法求解时一定要注意新元的取值范围 测训诊断： (1)本题难度大，主要考查指数函 数、基本不等式、利用导数研究初等 函数的单调性及零点问题，考查学生综合运用数学思想分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，