1、 第一节 不定积分的概念及性质 第二节 不定积分的积分方法第五章 不定积分一、不定积分的概念二、基本积分公式三、不定积分的性质第一节 不定积分的概念及性质1原函数的概念例 因为 1(ln )x x ，故lnx是 1x的一个原函数； 因为 2( ) 2x x ，所以 2x 是2x的一个原函数，但 2 2 2( 1) ( 2) ( 3)x x x 2x ，所以 2x的原函 数不是唯一的 原函数说明：第一，原函数的存在问题：如果 ( )f x 在某区间连续，那么它的原函数一定存在(将在下章加以说明) 定义 1 设 ( )f x 是定义在某区间的已知函数，若存在函数 ( )F x ，使得 ( ) (
2、)F x f x 或d ( ) ( )dF x f x x , 则称 ( )F x 为 ( )f x 的一个原函数 一、不定积分的概念第二，原函数的一般表达式：前面已指出，若 ( )f x 存在原函数，就不是惟一的，那么，这些原函数之间有 什么差异？能否写成统一的表达式呢？对此，有如下结 论： 定理 若 ( )F x 是 ( )f x 的一个原函数，则 ( )F x C 是 ( )f x 的全部原函数，其中 C为任意常数 证 由于 ( ) ( )F x f x ，又 ( ) ( ) ( )F x C F x f x ，所以函数族 ( )F x C 中的每一个都是 ( )f x 的原函数 另一方
3、面,设 ( )G x 是 ( )f x 的任一个原函数， 即 ( ) ( )G x f x ，则可证 ( )F x 与 ( )G x 之间只相差一个常数. 这样就证明了 ( )f x 的全体原函数刚好组成函数族 ( )F x C 事实上,因为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0F x G x F x G x f x f x ， 所以 ( ) ( )F x G x C ，或者 ( ) ( )G x F x C ，这就是说 ( )f x 的任一个原函数 ( )G x 均可表示成 ( )F x C 的形式 例1 求函数 5( )f x x 的全体原函数. 解 65( )6x x ,
4、5x 的全体原函数可表示为66x C (C为任意常数). 例1 求函数 5( )f x x 的全体原函数. 解 65( )6x x , 5x 的全体原函数可表示为66x C (C为任意常数). 2. 不定积分的概念定义 2 函数 ( )f x 的全体原函数 ( )F x C ( )f x 的不定积分，定积分， 为 ( )d ( )f x x F x C ，其中 ( ) ( )F x f x , 上式中的x 积分 ， ( )f x 积函数， ( )df x x 积表达式，C 积分常数， 积分 例 2 求下 不定积分：1 2dx x ； 2 sin dx x ； 1dxx 解 1 因为 2331
5、xx ，所以 Cxxx 32 31d . 2 因为xx sin)cos( ，所以 Cxxx cosdsin . 因为 0x ， xx 1)(ln ，又 0x ， xxx11)ln( ，所以 Cxxx |lnd1 . 例 3 设 1，2 为 x2 ，求 方 解 设所求 方 为 )(xyy xxy 2dd ，故 Cxxxy 2d2 又因为 1，2 ，故 上式 C12 ，得 1C ，于是所求方 为 12 xy . 例 4 设某 体 为 23tv ， 0t ， 2s ，求 )(tss 解 题意有 23)( tts ，即 Ctttts 32d3)( ，将 0t 2s 得 2C ，故所求 为 23 ts
6、积分 与分 之间的currency1：1 )(d)( xfxxf 或 ；xxfxxf d)(d)(d (2) CxFxxF )(d)( 或 CxFxF )()(d 例 5 设 ( )d sinf x x x C ，求 ( )f x . 解 ( )d sinf x x x C , ( ( )d ) (sin )f x x x C , ( ) cosf x x . 例 6 求不定积分 5dx x . 解 525521521d dx xx x x C . 由于求不定积分是求“数的 ，所以由“数 式可以相得出下 积分式： (1) Ckxxkd (k为常数)， (2) Cxxx 111d 1 ，( ) Cxxx lnd1 ， (fi) e d ex xx C ， (fl) Caaxaxxlnd ， ( ) Cxxx sindcos ， () Cxxx cosdsin ， 二、 基本积分公式
