不定积分的概念及性质.PPT

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1、 第一节 不定积分的概念及性质 第二节 不定积分的积分方法第五章 不定积分一、不定积分的概念二、基本积分公式三、不定积分的性质第一节 不定积分的概念及性质1原函数的概念例 因为 1(ln )x x ,故lnx是 1x的一个原函数; 因为 2( ) 2x x ,所以 2x 是2x的一个原函数,但 2 2 2( 1) ( 2) ( 3)x x x 2x ,所以 2x的原函 数不是唯一的 原函数说明:第一,原函数的存在问题:如果 ( )f x 在某区间连续,那么它的原函数一定存在(将在下章加以说明) 定义 1 设 ( )f x 是定义在某区间的已知函数,若存在函数 ( )F x ,使得 ( ) (

2、)F x f x 或d ( ) ( )dF x f x x , 则称 ( )F x 为 ( )f x 的一个原函数 一、不定积分的概念第二,原函数的一般表达式:前面已指出,若 ( )f x 存在原函数,就不是惟一的,那么,这些原函数之间有 什么差异?能否写成统一的表达式呢?对此,有如下结 论: 定理 若 ( )F x 是 ( )f x 的一个原函数,则 ( )F x C 是 ( )f x 的全部原函数,其中 C为任意常数 证 由于 ( ) ( )F x f x ,又 ( ) ( ) ( )F x C F x f x ,所以函数族 ( )F x C 中的每一个都是 ( )f x 的原函数 另一方

3、面,设 ( )G x 是 ( )f x 的任一个原函数, 即 ( ) ( )G x f x ,则可证 ( )F x 与 ( )G x 之间只相差一个常数. 这样就证明了 ( )f x 的全体原函数刚好组成函数族 ( )F x C 事实上,因为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0F x G x F x G x f x f x , 所以 ( ) ( )F x G x C ,或者 ( ) ( )G x F x C ,这就是说 ( )f x 的任一个原函数 ( )G x 均可表示成 ( )F x C 的形式 例1 求函数 5( )f x x 的全体原函数. 解 65( )6x x ,

4、5x 的全体原函数可表示为66x C (C为任意常数). 例1 求函数 5( )f x x 的全体原函数. 解 65( )6x x , 5x 的全体原函数可表示为66x C (C为任意常数). 2. 不定积分的概念定义 2 函数 ( )f x 的全体原函数 ( )F x C ( )f x 的不定积分,定积分, 为 ( )d ( )f x x F x C ,其中 ( ) ( )F x f x , 上式中的x 积分 , ( )f x 积函数, ( )df x x 积表达式,C 积分常数, 积分 例 2 求下 不定积分:1 2dx x ; 2 sin dx x ; 1dxx 解 1 因为 2331

5、xx ,所以 Cxxx 32 31d . 2 因为xx sin)cos( ,所以 Cxxx cosdsin . 因为 0x , xx 1)(ln ,又 0x , xxx11)ln( ,所以 Cxxx |lnd1 . 例 3 设 1,2 为 x2 ,求 方 解 设所求 方 为 )(xyy xxy 2dd ,故 Cxxxy 2d2 又因为 1,2 ,故 上式 C12 ,得 1C ,于是所求方 为 12 xy . 例 4 设某 体 为 23tv , 0t , 2s ,求 )(tss 解 题意有 23)( tts ,即 Ctttts 32d3)( ,将 0t 2s 得 2C ,故所求 为 23 ts

6、积分 与分 之间的currency1:1 )(d)( xfxxf 或 ;xxfxxf d)(d)(d (2) CxFxxF )(d)( 或 CxFxF )()(d 例 5 设 ( )d sinf x x x C ,求 ( )f x . 解 ( )d sinf x x x C , ( ( )d ) (sin )f x x x C , ( ) cosf x x . 例 6 求不定积分 5dx x . 解 525521521d dx xx x x C . 由于求不定积分是求“数的 ,所以由“数 式可以相得出下 积分式: (1) Ckxxkd (k为常数), (2) Cxxx 111d 1 ,( ) Cxxx lnd1 , (fi) e d ex xx C , (fl) Caaxaxxlnd , ( ) Cxxx sindcos , () Cxxx cosdsin , 二、 基本积分公式

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