1、数学优培特训 - 1 - 二 次函数 压轴题 特训 (一) 基本公式 _破解函数压轴题的基础 ( 1) 横线段的长度计算 :【特点:两端点的 y 标相等,长度 =-xx大 小】。 若 A( 2,0), B( 10,0),则 AB= 。 若 A( -2,0), B( -4,0),则 AB= 。 若 M( -3,0), N( 10,0),则 MN= 。 若 O( 0,0), A( 6,0),则 OA= 。 若 O( 0,0), A( -4,0),则 OA= 。 若 O( 0,0), A(t,0),且 A在 O 的右端,则 OA= 。 若 O( 0,0), A(t,0),且 A在 O 的右端,则 O
2、A= 。 若 A(-2t,6),B(3t,6),且 A在 B的右端,则 AB= 。 若 A( 4t,m) ,B(1-2t,m),且 B在 A的左端,则 AB= 。 若 P( 2m+3,a) ,M(1-m,a),且 P 在 B的右端,则 PM= 。 注意:横线段上任意两点的 y 标是相等的,反之 y 标相等的任意两个点都在横线段上。 ( 2) 纵线段的长度计算 :【特点:两端点的 x 标相等,长度 =-yy大 小】。 (若 A(0,5), B( 0,7),则 AB= 。 若 A( 0, -4), B( 0, -8),则 AB= 。 若 A( 0,2), B( 0, -6),则 AB= 。 若 A
3、( 0,0), B( 0, -9),则 AB= 。 若 A(0,0), B(0,-6),则 AB= 。 若 O(0,0), A(0,t),且 A在 O 的上端,则 OA= 。 若 O( 0,0) , A( 0, t),且 A在 O 的下端,则 OA= 。 若 A( 6, -4t),B(6,3t),且 A在 B的上端,则 AB= 。 若 M( m,1-2t),N(m,3-4t),且 M在 N 的下端,则 MN= 。 若 P( t,3n+2),M(t,1-2n),且 P 在 M 的上端,则 PM= 。 注意:纵线段上任意两点的 x 标是相等的,反之 x 标相等的任意两个点都在纵线段上。 数学优培特
4、训 - 2 - ( 3) 点轴距离 : 一个点(xy标 标, )到 x 轴的的距离等于该点的 y 标的绝对值(即y标),到y 轴的距离等于该点的 x 标的绝对值(即x标)。 点( -4,-3)到 x 轴的距离为 ,到 y 轴的距离为 。 若点 A( 1-2t,2 23tt)在第一象限,则点 A到 x 轴的距离为 ,到 y 轴的距离为 _。 若点 M( t,2 43)在第二象限,则点 M 到 x 轴的距离为 ,到 y轴的距离为 。 若点 A( -t,2t-1)在第三象限,则点 A到 x 轴的距离为 ,到 y 轴的距离为 。 若点 N( t,2 23 )点在第四象限,则点 N 到 x 轴的距离为
5、,到 y 轴的距离为 。 若点 P( t ,2 23)在 x 轴上方,则点到轴 的距离为 。 若点(,2 26)在轴下方,则点到轴的距离为 。 若点(,2 45tt)在轴左侧,则点到轴的距离为 。 若点(,)在轴的右侧,则点到轴的距离为 。 若动点(,2)在轴上方,且在 轴的左侧,则点到轴的距离为 ,到轴的距离为 。 11 若动点(,2)在轴上方,且在轴的右侧,则点到轴的距离为 ,到轴的距离为 。 12 若动点(,2 23)在轴下方,且在轴的左侧,则点到轴的距离为 ,到轴的距离为 。 13 若动点(,2)在轴下方,且在轴的右侧,则点到轴的距离为 ,到轴的距离为 。 注意:在涉及抛物线,直线,双
6、曲线等上的动点问题中,在动点坐标“一母示”后,还要高度关注动点运动变化的区域(例如:动点在抛物线2 23xx上位于 轴下方 ,轴右侧 的图象上运动),以便准确写出动点坐标中参数字母的取值范围,以及点轴距离是等于相应x标 标( 或 y )的相反数,还是其本身。 () 中点坐标的计算 : 数学优培特训 - 3 - 若【(11,xy),(22,),则线段的中点坐标为(1 2 1 2,22x x y y)】 若(,),(,),则 中点为 。 若 M( 0, -6), N( 6, -4),则 MN 的中点坐标为 。 若 P(1-32,), Q(32,),则 PQ 的中点坐标为 。 若 A(1,2),B(
7、-3,4),且 B为 AM 的中点,则 M 点的坐标为 。 若 A(-1,3),B(0,2),且 A为中点,则点坐标为 。 点( ,)关于直线的对称点的坐标为 。 点( ,)关于直线的对称点 的坐标为 _. 点( ,)关于直线的对称点的坐标为 _。 点( ,)关于直线的对称点的坐标为 。 点(,)关于直线的对称点的坐标为 。 11 点(,)关于直线的对称点的坐标为 。 12 点( ,)关于直线的对称点的坐标为 。 13 点(,)关于直线的对称点的坐标为 。 14 点(,)关于轴的对称点的坐标为 。 15 点( ,)关于轴的对称点的 坐标为 。 (5)由两直线平行或垂直,求直线解析式。【两直线平
8、行,则两个 k 值相等;两直线垂直,则两个 k 值之积为 -1.】 某直线与直线 y=2x+3 平行,且过点( 1, -1),求此直线的解析式。 某直线与直线 y=12x+1 平行,且过点( 2, 3),求此直线的解析式。 某直线与直线 y=2 5x平行,且过点( -3, 0),求此直线的解析式。 某直线与 y 轴交于点 P( 0,3),且与直线 y=1 1平行 ,求此直线的解析式。 某直线与 x 轴交于点 P( -2,0),且与直线 y=1 42x平行,求此直线的解析式。 某直线与直线 y=2x-1 垂直,且过点( 2,1),求此直线的解析式。 某直线与直线 y=-3x+2 垂直,且过点(
9、3,2),求此直线的解析式。 某直线与直线 y=13x垂直,且过点( 2, -1),求此直线的解析式。 某直线与直线 y=42x垂直,且过点( 1, -2),求此直线的解析式。 数学优培特训 - 4 - 某直线与 x 轴交于点 P( -4,0),且与直线 y=2 53x垂直,求此直线的解析式。 (6)两点间的距离公式: 1 1 2 2( , ) B , ),A x y x y若 , (则 AB=221 2 1 2( ) ( - )x x y y 若 A( -2,0), B( 0, 3),则 AB= 。 若 P( -2,3), Q( 1, -1),则 PQ= 。 若 M( 0,2), N( -2
10、,5),则 MN= 。 若 P(1,0), Q(10,3),则 PQ= 。 若 A(,32),B(-1,12),则 AB= 。 若 P(31,42),B(,14),则 。 若 P(,),B(1),则 = 。 若 P(12,43), M(,12),则 PM= 。 若(21,53),(,),则 。 若(2,13),(11,2),则 。 11 若( ,),( ,),则 。 12 若 P(0, -4), Q(0, -2),则 PQ= 。 13 若 P(3,0), Q(4,0),则 PQ= 。 数学优培特训 - 5 - 14 若 P(1, -4), Q(2,0),则 PQ= 。 ( 7) 直线的斜率公式
11、:【注:所谓斜率,就是一次函数 y=kx+b 中 k 的值;可由两个点的坐标直接求得:若 A(11,xy), B(22,)(12xx),则1212AByykxx,( y 标之差除以 对应 的 x 标之差)】 例题:若 A(2, -3), B(-1,4),则ABk 解: A(2, -3), B(-1,4), ABk=( 3) 4 72 ( 1) 3 A ( 0 ,2 ) B ( 3 0 ) k AB 若 , , , 则 。 ( 1 ,- 2 ) B ( - 3 ) k AB 若 , , 1 , 则 。 MNM ( - 3 ,1 ) N ( - 2 - ) k 若 , , 4 , 则 。 ( 1
12、- 4) ( - 1 ) k PQ 若 P , , Q , 2 , 则 。 11( - 1 ) ( - ) k23 CQ 若 C , 1 , Q , - , 则 。 2 1 1( ) ( - ) k3 3 2 EF 若 E , -1 , F , - , 则 。 2 1 1( - ) ( - 1 ) k5 3 2 MQ 若 M , - , Q , - , 则 。 数学优培特训 - 6 - 2 3 1( - ) ( - 1 ) k3 4 4 PQ 若 P , - , Q , - , 则 。 (8)点到直线的距离公式: 00P( x点 ,y)到直线 Ax+By+C=0(为了方便计算, A,B,C 最
13、好化为整系数)的距离公式为:0022+CA + BAx Byd ;运用该公式时,要先把一次函数 y=kx+b 化为一般式 Ax+By+C=0的形式(即:先写 x 项,再写 y 项,最后写常数项,等号右边 必须 是 0)。 例题: 求点 P(2,-3)到直线1223yx的距离。 解:先把直线 化为一般式 3x-6y-4=0 所以223 6 ( ) 4 4 533 ( 6)23d 00Ax By C注 :的值就是把点00( , )xy对应代入代数式 Ax+By+C 中。 或者把y kx b通过移项化为0kx y (同样要先写 x 项,再写 y项,最后写常数项,等号右边 必须 是 0)。 从而002
14、1k x y bdk另解:因为1223yx, P(2,-3) 数学优培特训 - 7 - 所以2122 ( 3 ) ( )423 =5311 ( )2d (注:由于系数中有分数,计算比较繁杂 )。 P-求 点 ( 2,1 ) 到 直 线 y=x+2 的 距 离 求 点 Q ( 1,-4 ) 到 直 线 y=2x-1 的 距 离。 12求 点 A ( 1,2 ) 到 直 线 y= x- 1 的 距 离。 13求 点 M ( 0,-3 ) 到 直 线 y= x- 1 的 距 离。 1124求 点 P ( -2,0 ) 到 直 线 y= x- 的 距 离。 求 点 K ( -3,-2 ) 到 直 线
15、y=1-3x 的 距 离。 1123求 点 P ( -3,-1 ) 到 直 线 y= x- 的 距 离。 1 1 12 3 2求 点 P ( - ,- 1 ) 到 直 线 y= x+ 的 距 离。 1 1 3 12 3 4 2求 点 Q ( - ,- ) 到 直 线 y= x- 的 距 离。 2 3 3 13 4 2 4求 点 P ( - ,- ) 到 直 线 y= x- 的 距 离。 数学优培特训 - 8 - 11 3 1 1 22 3 2 3求 点 N ( - ,- ) 到 直 线 y= - x+ 的 距 离。 12 2 3 1 15 4 2 3求 点 D ( -, ) 到 直 线 y=
16、x- 的 距 离。 13 3 2 3 15 3 2 4求 点 E ( - ,- ) 到 直 线 y= - x 的 距 离。 在一个题中设计若干常见问题: 2 23y x x 如 图 示 , 已 知 抛 物 线与 y 轴交于点 B,与 x 轴交于 C,D( C 在 D 点的左侧),点 A 为顶点。 Y 2 23y x x C O D X 判定三角形 ABD 的形状?并说明理由。 Y 0 D x B A 【 通法:运用两点间的距离公式,求出该三角形各边的长】 数学优培特训 - 9 - 三角形 ABD 与三角形 BOD 是否相似?说明理由 。 Y O X D B A 【 通法:用两点间的距离公式分别
17、两个三角形的各边之长,再用相似的判定方法】 在 x 轴上是否存在点 P,使 PB+PA 最短?若存在求出点 P 的坐标,并求出最小值。若不存在,请说明理由。 Y X O B 【通法:在两定点中任选一个点(为了简单起见,常常取轴上的点),求出该点关于题中的动点运动所经过的那条直线的对称点的坐标,再把此对称点与余下定点相连】 在 y 轴上是否存在点 P,使三角形 PAD 的周长最小?若存在,求出点 P 的坐标,并数学优培特训 - 10 - 求出周长的最小值 ;若不存在,请说明理由。 Y D X A 【 通法:注意到 AD 是定线段,其长度是个定值,因此只需最小】 在对称轴 上是否存在点,使三角形是等腰三角形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由。 Y C O X B x 1 【通法:对动点的坐标一母示(,)后,分三种情况,若为顶点,则;若 B 为顶点,则 BP=;若为顶点,则。分别用两点间的距离公式求出或表示各线段的长度】。
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