1、几何五大模型一、五大模型简介（1）等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图所示，S1：S 2=a:b；3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图所示，S1：S 2=a:b；4、在一组平行线之间的等积变形，如图所示，S ACD =SBCD ；反之，如果 SACD =SBCD ，则可知直线 AB 平行于 CD。例、如图，三角形 ABC 的面积是 24，D、E、F 分别是 BC、AC、AD 的中点，求三角形 DEF 的面积。（2）鸟头（共角）定理模型1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面积之比等于对应
2、角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。 如图下图三角形 ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上或 AB、AC 延长线上的点则有：S ABC ：S ADE =（ABAC）：（ADAE）我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！如图连接 BE，根据等积变化模型知，S ADE ：S ABE =AD：AB、S ABE ：S CBE=AE：CE，所以 SABE ：S ABC =SABE ：（S ABE +SCBE ）=AE：AC，因此 SADE ：S ABC =（S ADE ：S ABE ）（S ABE ：S ABC ）=（AD：AB）（AE：AC）。例、如图在 ABC 中，D 在 BA 的延长线上
3、，E 在 AC 上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2， ADE 的面积为 12 平方厘米，求 ABC 的面积。（3）蝴蝶模型1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) 例、如图，梯形 ABCD，AB 与 CD 平行，对角线 AC、BD 交于点 O，已知AOB、BOC 的面积分别为 25 平方厘米、35 平方厘米，求梯形 ABCD的面积。2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：例、如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，如果三角形 ABD 的面积等于三角形 BCD 面积的 1/3，且 AO=2、DO=3，求 CO 的长度是 DO长度的几倍。蝴蝶定理为我们提供了解决不规则
4、四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。（4）相似模型1、相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。3、相似三角形性质：相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有 BC 平行 DE 这样的一对平行线！例、如图，已知在平
5、行四边形 ABCD 中，AB=16、AD=10、BE=4，那么 FC的长度是多少？（5）燕尾模型由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型,看一下它都有哪些性质：SABG ：S ACG =SBGE ：S CGE =BE：CESBGA ：S BGC =SGAF ：S GCF =AF：CFSAGC ：S BGC =SAGD ：S BGD =AD：BD例、如图，E、D 分别在 AC、BC 上，且 AE：EC=2:3，BD：DC=1:2，AD与 BE 交于点 F，四边形 DFEC 的面积等于 22 平方厘米，求三角形 ABC的面积。二、五大模型经典例题详解（1）等积变换模型例 1、图中的 E、F、G 分别是正方形 ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是 12，那么阴影部分的面积是多少？例 2、如图所示，Q、E、P、M 分别为直角梯形 ABCD 两边 AB、CD 上的点，且 DQ、CP、ME 彼此平行，已知 AD=5、BC=7、AE=5、EB=3，求阴影部分三角形 PQM 的面积。
