1、几何五大模型一、五大模型简介(1)等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等;2、两个三角形高相等,面积之比等于底之比,如图所示,S1:S 2=a:b;3、两个三角形底相等,面积在之比等于高之比,如图所示,S1:S 2=a:b;4、在一组平行线之间的等积变形,如图所示,S ACD =SBCD ;反之,如果 SACD =SBCD ,则可知直线 AB 平行于 CD。例、如图,三角形 ABC 的面积是 24,D、E、F 分别是 BC、AC、AD 的中点,求三角形 DEF 的面积。(2)鸟头(共角)定理模型1、两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫共角三角形;2、共角三角形的面积之比等于对应
2、角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图下图三角形 ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 上或 AB、AC 延长线上的点则有:S ABC :S ADE =(ABAC):(ADAE)我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理!如图连接 BE,根据等积变化模型知,S ADE :S ABE =AD:AB、S ABE :S CBE=AE:CE,所以 SABE :S ABC =SABE :(S ABE +SCBE )=AE:AC,因此 SADE :S ABC =(S ADE :S ABE )(S ABE :S ABC )=(AD:AB)(AE:AC)。例、如图在 ABC 中,D 在 BA 的延长线上
3、,E 在 AC 上,且AB:AD=5:2,AE:EC=3:2, ADE 的面积为 12 平方厘米,求 ABC 的面积。(3)蝴蝶模型1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) 例、如图,梯形 ABCD,AB 与 CD 平行,对角线 AC、BD 交于点 O,已知AOB、BOC 的面积分别为 25 平方厘米、35 平方厘米,求梯形 ABCD的面积。2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):例、如图,四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,如果三角形 ABD 的面积等于三角形 BCD 面积的 1/3,且 AO=2、DO=3,求 CO 的长度是 DO长度的几倍。蝴蝶定理为我们提供了解决不规则
4、四边形的面积问题的一个途径,通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。(4)相似模型1、相似三角形:形状相同,大小不相等的两个三角形相似;2、寻找相似模型的大前提是平行线:平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似。3、相似三角形性质:相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类,注意这两大类中都含有 BC 平行 DE 这样的一对平行线!例、如图,已知在平
5、行四边形 ABCD 中,AB=16、AD=10、BE=4,那么 FC的长度是多少?(5)燕尾模型由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴,所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型,看一下它都有哪些性质:SABG :S ACG =SBGE :S CGE =BE:CESBGA :S BGC =SGAF :S GCF =AF:CFSAGC :S BGC =SAGD :S BGD =AD:BD例、如图,E、D 分别在 AC、BC 上,且 AE:EC=2:3,BD:DC=1:2,AD与 BE 交于点 F,四边形 DFEC 的面积等于 22 平方厘米,求三角形 ABC的面积。二、五大模型经典例题详解(1)等积变换模型例 1、图中的 E、F、G 分别是正方形 ABCD 三条边的三等分点,如果正方形的边长是 12,那么阴影部分的面积是多少?例 2、如图所示,Q、E、P、M 分别为直角梯形 ABCD 两边 AB、CD 上的点,且 DQ、CP、ME 彼此平行,已知 AD=5、BC=7、AE=5、EB=3,求阴影部分三角形 PQM 的面积。