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初中数学分类讨论问题专题.doc

1、- 1 -中考数学专题复习分类讨论问题一、教学目标使学生养成分类讨论思想,并掌握一定的分类技巧,以及常见题型的分类方法。形成一定的分类体系,对待问题能有更严谨、缜密的思维。二、教学重点对常见题型分类方法的掌握;能够灵活运用一般的分类技巧。三、教学难点对于分类的“界点”、“标准”把握不准确,容易出现重复解、漏解等现象。四、板书设计1:分式方程无解的分类讨论问题;2:“一元二次” 方程系数的分类讨论问题;3:三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题;4:分类问题在动点问题中的应用;4.1 常见平面问题中动点问题的分类讨论;4.2 组合图形(二次函数、一次函数、平面图形等组合)中动点问题的分类。

2、1:分式方程无解的分类讨论问题 例题 1:(2011 武汉) a34932无 解 , 求xax解:去分母,得:1.6,80a3-2-a2)(4)3(x或 者 或或由 已 知 )(猜想:把“无解”改为“有增根”如何解? 68a或例题 2:(2011 郴州) 2无 解 , 求x2:“一元二次”方程系数的分类讨论问题例题 3:(2010 上海)已知方程 有实数根,求 m 的取值范围。01)2(xmx(1) 当 时,即 m=0 时,方程为一元一次方程 x+1=0,有实数根 x=02m 1- 2 -A BC(2) 当 时,方程为一元二次方程,根据有实数根的条件得:02m,且41-m,014)1(2即 0

3、2综(1)(2)得, 常见病症:(很多同学会从(2)直接开始而且会忽略 的条件)02总结:字母系数的取值范围是否要讨论,要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种(1)前置式,即“二次方程”;(2)后置式,即“两实数根”。这都是表明是二次方程,不需要讨论,但切不可忽视二次项系数不为零的要求,本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。例题 4:(2011 益阳)当 m 是什么整数时,关于 x 的一元二次方程 与042xm的根都是整数。0522 mx解:因为是一元二次方程,所以二次项系数不为 0,即 , ,2m01.,1解 得同理, 且 ,又因为 m 为整数.4,02解 得 1.或取 (1)当 m=

4、1 时,第一个方程的根为 不是整数,所以 m=1 舍去。2x(2)当 m=1 时,方程 1、 2 的根均为整数,所以 m=1.练习:已知关于的一元二次方程 有实数根,则的取值范围是:01)(2m4501且m3:三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题 例题:5 :(2011 青海)方程 的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角01892x形的周长为( ) 12 12 或 15 15 不能确定例题 6:(2011 武汉)三角形一边长 AB 为 13cm,另一边 AC 为 15cm,BC 上的高为12cm,求此三角形的面积。(54 或 84)例题 8:(2011 四校联考)一条绳子对折后成右图

5、 A、B, A.B 上一点 C,且有 BC=2AC,将其从 C 点剪断,得到的线段中最长的一段为 40cm,请问这条绳子的长度为:60cm 或 120cm - 3 -A B1pCD 243p4:动点问题的分类分类讨论问题 4.1:常见平面问题中动点问题的分类讨论;例题 9:(2011 永州)正方形 ABCD 的边长为 10cm,一动点 P 从点 A 出发,以 2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图,回到 A 点停止,求点 P 运动 t 秒时, P,D 两点间的距离。解:点 P 从 A 点出发,分别走到 B,C ,D,A 所用时间是 秒, 秒, 秒, 秒,即 5 秒,10 秒,15 秒

6、,20 秒。 (1)当 0t5 时,点 P 在线段 AB 上,|PD|=|P1D|= (cm)(2)当 5t10 时,点 P 在线段 BC 上,|PD|=|P 2D|= (3)当 10t15 时,点 P 在线段 CD 上,|PD|=|P 3D|=30-2t(4)当 15t20 时,点 P 在线段 DA 上,|PD|=|P 4D|=2t-30综上得:|PD|= 总结:本题从运动的观点,考查了动点 P 与定点 D 之间的距离,应根据 P 点的不同位置构造出不同的几何图形,将线段 PD 放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。4.2:组合图形(一次函数、二次函数与平面图形等组合)中动点问题的分类。例

7、题 10:(2010 福建)已知一次函数 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B ,试3y在 x 轴上找一点 P,使 PAB 为等腰三角形。分析:本题中PAB 由于 P 点位置不确定而没有确定,而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。PAB 是等腰三角形有几种可能?我们可以按腰的可能情况加以分类:( 1)PA=PB;(2 )PA=AB;(3)PB=AB。先可以求出 B 点坐标 ,A 点坐标(9,0)。()03,设 P 点坐标为 ,利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程,求出 P 点坐标有)0(,x四解,分别为 。(不适合条件的解已舍去))0369()(9,、,、,、, 总结:解答本题极易

8、漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置,紧扣条件,分类画出各种符合条件的图形。另外,由点的运动变化也会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置,从而需对不同位置分别求其结果,否则漏解。- 4 -MEABC A O A QAB CDN例 11:(2010 湖北) 如图,正方形 ABCD 的边长是2,BE=CE,MN=1,线段 MN 的两端在 CD、AD 上滑动当 DM= 时,ABE 与以 D、M、N 为项点的三角形相似。分析与解答 勾股定理可得 AE= 当ABE 与以5D、M、 N 为项点的三角形相似时,DM 可以与 BE 是对应边,也可以与 AB 是对应边,所以本题

9、分两种情况:(1) 当 DM 与 BE 是对应边时, ,DMNABE即 (2)当 DM 与 AB 是对应边时,5,DM,即 故 DM 的长是 NABE15,52或例题 12:(2011 湘潭)如图,直线 y=3x+3 交 x 轴于 A 点,交 y 轴于 B 点,过 A,B 两点的抛物线交 x 轴于另一点 C(3,0).(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使三角形ABQ 是等腰三角形?若存在,求出符合条件的 Q 点坐标;若不存在,请说明理由。说明 从以上各例可以看出,分灯思想在几何中的较为广泛这类试题的解题思路是:对具有位置关系的几何图形,要有分类讨论的意识,在熟悉几

10、何问题所需要的基础知识的前提下,正确应用分类思想方法,恰当地选择分类标准,是准确全面求解的根本保证解析:(1)抛物线解析式的求法:1,三点式;2,顶点式(h,k);3,交点式。易得: 32)3,0()( xyBxay在 抛 物 线 上再 结 合 点(2) 依题意得 ,抛物线的对称轴为 x=1,设 Q(1,y)1A1) 以 AQ 为底,则有 AB=QB,及 解得,y=0 或 y=6,又因为点(1,6)22)(10y在直线 AB 上(舍去),所以此时存在一点 Q(1,0)2) 以 BQ 为底,同理则有 AB=AQ,解的 Q(1, ) Q(1, )63) 以 AB 为底,同理则有 QA=QB,存在点

11、 Q(1,1).综上,共存在四个点分别为:(1,0)、(1,1) 、(1, ) 、(1, )6- 5 -【作业训练】 1已知等腰ABC 的周长为 18,BC=8若ABCABC,则ABC中一定有一定有条边等于( )A7 B2或 7 C5 D2或 72.(2010 衡阳)若等腰三角形的两个角度的比是 1:2,则这个三角形的顶角为( )度。 30 60 30 或 90 603A、B 两地相距 450 千米,甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发,相向而行已知甲车速度为 120 千米/时,乙车速度为 80 千米/时,以过 小时两车相距 50 千米,则 的值是( t t)A2 或 25 B2 或 10

12、C10 或 125 D2 或 1254已知O 的半径为 2,点 P 是O 外一点,OP 的长为 3,那么以 P 这圆心,且与O 相切的圆的半径一定是( )A1 或 5 B1 C5 D不能确定5.(2011 株洲市)两圆的圆心距 d=5,他们的半径分别是一元二次方程 的两0452x根,判断这两圆的位置关系: . 6已知点是半径为 2 的外一点,PA 是O 的切线,切点为 A,且 PA=2,在O 内作了长为 的弦 AB,连续 PB,则 PB 的长为 27.(2010 四校联考)在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,一边上的中线 BD 将这个三角形的周长分为 15 和 12 两部分,则这个三角形的底边长为:. 8:变换例题 12,请问是否在 x 轴,y 轴上存在点 P,使得 P,B,C 三点组成的图形为等腰三角形,请说明理由。【参考答案】1D 2 .C 3. A 4A 5外切 6. 7. 7 或 11或 5

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