1、 概率论与数理统计 第 1 页(共 57 页)概率论与数理统计第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设 A,B ,C 为 3 事件,则这 3 事件中恰有 2 个事件发生可表示为 。2、设 ,且 A 与 B 互不相容,则 。.0)(,1.0)(BP)(BP3、口袋中有 4 只白球,2 只红球,从中随机抽取 3 只,则取得 2 只白球,1 只红球的概率为 。4、某人射击的命中率为 0.7,现独立地重复射击 5 次,则恰有 2 次命中的概率为 。5、某市有 50%的住户订晚报,有 60%的住户订日报,有 80%的住户订这两种报纸中的一种,则同时订这两种报纸的百分比为 。6、设 A,B 为
2、两事件, ,则 。3.0)(,7.0)(BAP)(BAP7、同时抛掷 3 枚均匀硬币,恰有 1 个正面的概率为 。8、设 A,B 为两事件, ,则 。2.)(,5.)()(9、10 个球中只有 1 个为红球,不放回地取球,每次 1 个,则第 5 次才取得红球的概率为 。10、将一骰子独立地抛掷 2 次,以 X 和 Y 分别表示先后掷出的点数, 10YXA,则 。YXB)|(ABP11、设 是两事件,则 的差事件为 。A,12、设 构成一完备事件组,且 则 , C,7.0)(,5.)(BP)(C)(ABP。13、设 与 为互不相容的两事件, 则 。B,)()|(A14、设 与 为相互独立的两事件
3、,且 ,则 。A 4.07.)(概率论与数理统计 第 2 页(共 57 页)15、设 是两事件, 则 。BA, ,36.0)(,9.0)(ABP)(BAP16、设 是两个相互独立的事件, 则 。,4.2)(17、设 是两事件,如果 ,且 ,则 , 20)(,7.)( |。18、设 ,则 。21)(,41)(,3)( BAPAP)(BAP19、假设一批产品中一、二、三等品各占 60%,30% ,10%。从中随机取一件,结果不是三等品,则为一等品的概率为 20、将 个球随机地放入 个盒子中,则至少有一个盒子空的概率为 。nn二、选择题1、设 ,则下列成立的是( ) 0)(ABP A 和 B 不相容
4、 A 和 B 独立 0)(BorPA)(APB2、设 是三个两两不相容的事件,且 ,则 的最大值C, aC为 ( ) 1/2 1 1/3 1/43、设 A 和 B 为 2 个随机事件,且有 ,则下列结论正确的是( )1)|(ABCP )()(PC 1)(BPA )(4、下列命题不成立的是 ( ) BABA ( ) 5、设 为两个相互独立的事件, ,则有 ( ), 0)(,)(P 0 )(1)(BPA|(A)(1|AB)|(BP(6、设 为两个对立的事件, ,则不成立的是 ( ), )(,)概率论与数理统计 第 3 页(共 57 页) 0 0 1)(1)(BPA)|(A)|(BAP)(ABP7、
5、设 为事件, ,则有 ( ), A 和 B 不相容 A 和 B 独立 A 和 B 相互对立 )(8、设 为两个相互独立的事件, ,则 为( ), 0)(,)(P)BA )(P)(11(1P9、设 为两事件,且 ,则当下面条件( )成立时,有BA, A3.0 7.0) 与 独立 与 互不相容 与 对立 不包含BABAB10、设 为两事件,则 表示( ), )(必然事件 不可能事件 与 恰有一个发生 与 不同时发生11、每次试验失败的概率为 ,则在 3 次重复试验中至少成功一次的概率为)10(p( ) )1(3p3)1(3213)(pC12、10 个球中有 3 个红球 7 个绿球,随机地分给 10
6、 个小朋友,每人一球,则最后三个分到球的小朋友中恰有一个得到红球的概率为( ) )10(3C2)10(213)07(3102713、设 ,则下列结论成立的是( ) 8.|,7.,8. BAPAP 与 独立 与 互不相容B )()(BPA14、设 为三事件,正确的是( ) C, )(1)(ABP 1)()(P AB15、掷 2 颗骰子,记点数之和为 3 的概率为 ,则 为( ) p 1/2 1/4 1/18 1/36概率论与数理统计 第 4 页(共 57 页)16、已知 两事件的概率都是 1/2, 则下列结论成立的是( ) BA, 1)(P1)(BAP)()(ABP21)(17、 为相互独立事件
7、, ,则下列 4 对事件中不相互独立的是( ) C, 0C 与 与 与 与BAC18、对于两事件 ,与 不等价的是( ) ,BA AB19、对于概率不为零且互不相容的两事件 ,则下列结论正确的是( ) , 与 互不相容 与 相容 ABAB)()(PA)(AP三、计算题1、某工厂生产的一批产品共有 100 个,其中有 5 个次品。从中取 30 个进行检查,求次品数不多于 1 个的概率。2、某人有 5 把形状近似的钥匙,其中有 2 把可以打开房门,每次抽取 1 把试开房门,求第三次才打开房门的概率。3、某种灯泡使用 1000 小时以上的概率为 0.2,求 3 个灯泡在使用 1000 小时以后至多有
8、1 个坏的概率。4、甲、乙、丙 3 台机床加工同一种零件,零件由各机床加工的百分比分别为45%,35%,20%。各机床加工的优质品率依次为 85%,90% ,88%,将加工的零件混在一起,从中随机抽取一件,求取得优质品的概率。若从中取 1 个进行检查,发现是优质品,问是由哪台机床加工的可能性最大。6、某人买了 三种不同的奖券各一张,已知各种奖券中奖的概率分别为CBA,;并且各种奖券中奖是相互独立的。如果只要有一种奖券中奖则此人一定02.,13.赚钱,求此人赚钱的概率。7、教师在出考题时,平时练习过的题目占 60%,学生答卷时,平时练习过的题目在考试时答对的概率为 95%,平时没有练习过的题目在
9、考试时答对的概率为 30%。求答对而平时没有练习过的概率8、有两张电影票,3 人依次抽签得票。求每个人抽到电影票的概率。9、有两张电影票,3 人依次抽签得票,如果第 1 个人抽的结果尚未公开,由第 2 个人抽的结果去猜测第 1 个人抽的结果。问:如果第 2 个人抽到电影票,问第 1 个人抽到电影票的概率。概率论与数理统计 第 5 页(共 57 页)10、一批产品的次品率为 0.1,现任取 3 个产品,问 3 个产品中有几个次品的概率的可能性最大。11、有 5 个除颜色外完全相同的球,其中三个白色,两个红色。从中任取两个, (1)求这两个球颜色相同的概率;(2)两球中至少有一红球的概率。12、设
10、 是两个事件,用文字表示下列事件: 。BA, BAA,13、从 1100 这 100 个自然数中任取 1 个,求(1)取到奇数的概率;(2)取到的数能被 3 整除的概率;(3)取到的数能被 6 整除的偶数。14、对次品率为 5%的某箱灯泡进行检查,检查时,从中任取一个,如果是次品,就认为这箱灯泡不合格而拒绝接受,如果是合格品就再取一个进行检查,检查过的产品不放回,如此进行五次。如果 5 个灯泡都是合格品,则认为这箱灯泡合格而接受,已知每箱灯泡有 100 个,求这箱灯泡被接受的概率。15、某人有 5 把形状近似的钥匙,其中只有 1 把能打开他办公室的门,如果他一把一把地用钥匙试着开门,试过的钥匙
11、放在一边,求(1)他试了 3 次才能打开他办公室的门的概率;(2)他试了 5 次才能打开他办公室的门的概率16、10 个塑料球中有 3 个黑色,7 个白色,今从中任取 2 个,求已知其中一个是黑色的条件下,另一个也是黑色的概率。17、装有 10 个白球,5 个黑球的罐中丢失一球,但不知是什么颜色。为了猜测丢失的球是什么颜色,随机地从罐中摸出两个球,结果都是白色球,问丢失的球是黑色球的概率。18、 设有三只外形完全相同的盒子,号盒中装有 14 个黑球,6 个白球;号盒中装有 5 个黑球,25 个白球;号盒中装有 8 个黑球,42 个白球。现从三个盒子中任取一盒,再从中任取一球,求(1)取到的球为
12、黑色球的概率;(2)如果取到的球为黑色球,求它是取自号盒的概率。19、三种型号的圆珠笔杆放在一起,其中型的有 4 支,型的有 5 支,型的有 6 支;这三种型号的圆珠笔帽也放在一起,其中型的有 5 个,型的有 7 个,型的有 8 个。现在任意取一个笔杆和一个笔帽,求恰好能配套的概率。20、有两张电影票,3 人依次抽签得票,如果第 1 个人抽的结果尚未公开,由第 2 个人抽的结果去猜测第 1 个人抽的结果。问:如果第 2 个人抽到电影票,问第 1 个人抽到电影票的概率。21、甲、乙、丙、丁 4 人独立地破译一个密码,他们能译出的概率分别为 0.2 , 0.3 , 0.4 , 0.7,求此密码能译
13、出的概率是多少。22、袋中 10 个白球,5 个黄球,10 个红球,从中取 1 个,已知不是白球,求是黄球的概率。23、设每次试验事件 发生的概率相同,已知 3 次试验中 至少出现一次的概率为AA19/27,求事件 在一次试验中出现的概率。24、甲、乙、丙 3 台机床独立工作,由 1 个人看管,某段时间甲、乙、丙 3 台机床不需概率论与数理统计 第 6 页(共 57 页)看管的概率分别为 0.9,0.8,0.85,求在这段时间内机床因无人看管而停工的概率。25、一批产品共有 100 件,对其进行检查,整批产品不合格的条件是:在被检查的 4 件产品中至少有 1 件废品。如果在该批产品中有 5%是
14、废品,问该批产品被拒收的概率是多少。26、将 3 个球随机地放入 4 个杯子中,求杯子中球的个数的最大值为 2 的概率。27、甲、乙 2 班共有 70 名同学,其中女同学 40 名,设甲班有 30 名同学,而女同学 15名,求碰到甲班同学时,正好碰到女同学的概率。28、一幢 10 层的楼房中的一架电梯,在底层登上 7 位乘客。电梯在每一层都停,乘客在第二层起离开电梯。假设每位乘客在哪一层离开是等可能的,求没有 2 位及 2 位以上乘客在同一层离开的概率。29、某种动物由出生到 20 岁的概率为 0.8,活到 25 岁的概率为 0.4,问现在 20 岁的动物活到 25 岁的概率为多少?30、每门
15、高射炮(每射一发)击中目标的概率为 0.6,现有若干门高射炮同时发射(每炮射一发) ,欲以 99%以上的概率击中目标,问至少需要配置几门高射炮?31、电路由电池 A 与 2 个并联的电池 B 和 C 串联而成,设电池 A,B,C 损坏的概率分别为 0.2 ,0.3 ,0.3,求电路发生间断的概率。32、袋中 10 个白球,5 个黄球,从中不放回地取 3 次,试求取出的球为同颜色的球的概率。33、假设目标在射程之内的概率为 0.7,这时射击的命中率为 0.6,试求两次独立射击至少有一次击中的概率。34、假设某地区位于甲乙二河流的汇合处,当任一河流泛滥时,该地区即遭受水灾。设某段时期内甲河流泛滥的
16、概率为 0.1,乙河流泛滥的概率为 0.2,当甲河流泛滥时乙河流泛滥的概率为 0.3,求(1)该时期内这地区遭受水灾的概率;(2)当乙河流泛滥时甲河流泛滥的概率。35、 甲、乙、丙 3 人同向飞机射击。击中飞机的概率分别为 0.4,0.5,0.7。如果有 1人击中,则飞机被击落的概率为 0.2,如果有 2 人击中,则飞机被击落的概率为 0.6,如果有 3 人击中,则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。36、一射手命中 10 环的概率为 0.7,命中 9 环的概率为 0.3,求该射手 3 发子弹得到不小于 29 环的概率。38、甲、乙 2 名乒乓球运动员进行单打比赛,如果每赛局甲胜的概率为 0.
17、6,乙胜的概率0.4,比赛既可采用三局两胜制,也可采用五局三胜制,问采用哪种比赛制度对甲更有利。39、有 2500 人参加人寿保险,每年初每人向保险公司交付保险费 12 元。若在一年内死亡,则其家属可以从保险公司领取 2000 元。假设每人在一年内死亡的概率都是 0.002,求保险公司获利不少于 10000 元的概率。40、在 12 名学生中有 8 名优等生,从中任取 9 名,求有 5 名优等生的概率。41、特色医院接待患者的比例为 K 型 50%,L 型 30%,M 型 20%,对应治愈率为0.7,0.8,0.9,一患者已治愈,问他属于 L 型的概率?42、某人从甲地到乙地,乘火车、轮船、飞
18、机的概率分别为 0.2,0.4,0.4,乘火车迟到概率论与数理统计 第 7 页(共 57 页)的概率为 0.5、乘轮船迟到的概率为 0.2、乘飞机不会迟到。问这个人迟到的概率;又如果他迟到,问他乘轮船的概率是多少?43、一对骰子抛掷 25 次,问出现双 6 和不出现双 6 的概率哪个大?44、一副扑克(52 张) ,从中任取 13 张,求至少有一张“A”的概率?45、据以往资料表明,某三口之家,患某种传染病的概率有以下规律。孩子得病的概率为 0.6,孩子得病下母亲得病的概率为 0.5,母亲及孩子得病下父亲得病的概率为0.4,求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。46、某人忘记了电话号码的最后一位
19、数字,因而他随机地拨号。求他拨号不超过 3 次的概率;若已知最后一位数字为奇数,此概率是多少?47、某场战斗准备调甲、乙两部队参加,每支部队能按时赶到的概率为 ,若只有一支部队参加战斗,则取胜的概率为 0.4;若两部队参加战斗,则必胜;若两部队未能按时赶到则必败。欲达 0.9 以上的概率取胜,求 的最低值。48、工人看管三台设备,在 1 小时内每台设备不需要看管的概率均为 0.8,求(1)三台设备均不需要看管的概率;(2)至少有一台设备需要看管的概率;(3)三台设备均需要看管的概率。四、证明题1、 假设我们掷两次骰子,并定义事件 “第一次掷得偶数点” , “第二次掷得奇AB数点” , “两次都
20、掷奇数点或偶数点” ,证明 A,B,C 两两独立,但 A,B,C 不C相互独立。2、 设每次试验 发生的概率 , “ 次独立重复试验中至少出现一次A)10(,pn”证明 1)(nnPLim3、设 ,证明,pbX)(,DXE4、证明,如果 ,则)(|(AB|BP5、当 时,证明:bPaA)(,)( ba1)|(6、证明: ,则0)(1)|APB7、设 三事件相互独立,则 与 相互独立。CB, ,C8、设 , ,则Ai3,21i 2)()(321概率论与数理统计 第 8 页(共 57 页)9、已知 同时发生,则 发生,证明21,A 1)()(21AP10、10 个考签中有 4 个难签,3 人依次抽
21、签参加考试,证明 3 人抽到难签的概率相等。11、设 A,B 为两事件,证明 )()(BABP12、证明如果 与 独立,则 与 独立、 与 独立、 与 独立13、如果 ,证明 与 独立的充分必要条件是0)(P )(|(PA第二章 随机变量及其分布一、填空题1、设随机变量 X 的分布律为 ,则 。0),21(!)( kaPa2、设随机变量 X 服从参数为 1/3 的 01 分布,则 X 的分布函数为= 。3、设随机变量 ,则 。)(),4XN4、设随机变量 X 的分布律为 ,则 。 0),2,(NkaP a5、设随机变量 X 服从(0,1)区间上的均匀分布,则随机变量 的密度函数为 。2XY6、
22、随机变量 X 的密度函数为 ,则 。8)1(2)(xef )k7、随机变量 X 的密度函数为 则 。,4N8、若 ,则 。2112)(,1)( xxPxP )(21xXP9、设离散型随机变量 的分布函数为baxF320)( 21x且 ,则 , 。1)(XP10、设连续型随机变量 的密度函数为 则X0)(2xkef概率论与数理统计 第 9 页(共 57 页), , 。k)21(XP)2(XP11、设 5 个晶体管中有 2 个次品,3 个正品,如果每次从中任取 1 个进行测试,测试后的产品不放回,直到把 2 个次品都找到为止,设 为需要进行测试的次数,则 )3(XP。12、设 为离散型随机变量的分
23、布函数为,若 ,)(xF )()(aFbXaP则 。bXP13、一颗均匀骰子重复掷 10 次,设 表示点 3 出现的次数,则 的分布律 X)(kXP。14、设 为连续型随机变量,且 , ,且 ,75.0)29.(PY125.0)(Y则 。k15、设随机变量 服从 POISSON 分布,且 ,则 X)2()(XP)1(。16、连续型随机变量 为 , ,则 22)4(61)(xexfccdxff)()(c。17、设 为分布函数, , 为分布函数,则)(,21Fx0,21a)()(21Fax。2a18、若连续型随机变量的分布函数 ,则 。601)(2xAxFA19、设随机变量 的概率密度 ,则 的分
24、布函数为 。X|)(xefX20、若随机变量 ,则 的密度函数 。5.0,12N)(f二、选择题概率论与数理统计 第 10 页(共 57 页)1、若函数 是一随机变量 的密度函数,则( ))(xfX 的定义域为0,1 值域为0,1 非负 在 连续)(xf )(xf)(xf1R2、如果 是( ) ,则 一定不可以为某一随机变量的分布函数。)(xFF非负函数 连续函数 有界函数 单调减少函数3、下面的数列中,能成为一随机变量的分布律的是( ) ),210(!1ke ),21(!ke),210(k),21(k4、下面的函数中,能成为一连续型随机变量的密度函数的是( ) 0sin)(xf其 他 30sin)(xh 其 他 3 co)(g其 他 2co1)(xu其 他 25、设随机变量 , 为其分布函数, ,则 ( ) 。)1,0(NX(x)xXP )1(2(1)2(16、设离散型随机变量 的分布律为 ,则 ( ) 。,)(kb 的实数 01b117、设随机变量 ,则 增大时, 是( )),(2NX)|(|XP 单调增大 单调减少 保持不变 增减不定8、设随机变量 的分布密度 ,分布函数 , 为关于 轴对称,则有( )(xf)(xFfy) )(1)(aF)(21)a)(a1)(2)aF9、设 为分布函数, 为分布函数,则下列成立的是( ),2x21x 531 53,21 23,123,1
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