1、第 1 页 共 15 页2015-2016 学年灵宝市第一高级中学高二(下)第一次月考数学(理)试题一、选择题1已知 i为虚数单位,复数 z满足 (1)i,则 2016z( )A.1B.-1C.iD.【答案】A【解析】试题分析:由 (1)zi得 ,iz11)(5045042016ii【考点】复数的运算2下面几种推理过程是演绎推理的是( )A.两条直线平行,同旁内角互补,如果 A和 B是两条平行直线的同旁内角,则A+ B= 180B.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质C.某校高三共有 10个班,1 班有 51人,2 班有 53人,三班有 52人,由此推测各班都超过 50人D.在数列 na中
2、, 1, )2(1(1naann ,计算 432,a,由此推测通项 n【答案】A【解析】 试题分析: 选项 B类比推理,选项 C和选项 D都是归纳推理。【考点】合情推理与演绎推理3设2,01,()exf(其中 为自然对数的底数) ,则 e0()dfx的值为( )A. 43B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】 试题分析:第 2 页 共 15 页341ln031|ln|31)( 1001102 exdxdxf eee。【考点】定积分运算。4函数 2=xfxe的图象大致 是( )【答案】B【解析】 试题分析: ,函数图像过原点,当 x00)(f,令xxxx eeeexf )()2()2(2()
3、 2 则 或 ,所以,0,。所以选 B。上 是 增 函 数和,在 区 间 ( ),-)( xf【考点】函数的图像与性质,导数与单调性的关系。5如果 导函数图像的顶点坐标为 ,那么曲线023acbxf 3,1上任一点的切线的倾斜角 的取值范围是( ) 。xyA. B. C. D.6,32,65,065,32,0第 3 页 共 15 页,32,0【答案】D【解析】 试题分析: ,因为 ,所以 导函数图像开口向上。因bxaxf23)(0a为导函数图像的顶点坐标为 ,所以, 的最小值为 。斜率,1)(f3,有正切函数的图像知, 。选 D3-)(tanxf ),2,0【考点】导函数的几何意义,正切函数。
4、6数学归纳法证明 (1)2()13(1)nn n *)N成立时,从 k到 左边需增加的乘积因式是( )A.2(1) B. C. k D. 2k【答案】A【解析】 试题分析: 当 n=k时,左边= ,当 n=k+1时,左边=)1(31。所以,)12(2)(2)1(312 kkkk 选 A。【考点】数学归纳法。7复数 1z. 2满足 21(4)zmi, cos(3sin)(,)zmR,并且 ,则 的取值范围是( )A.1, B. 9,16 C. 9,76 D. 9,16【答案】C【解析】 试题分析: 由 12z得 ,所以,sin34co2m, ,当sin3cos42 169)8(4si 2时, 取
5、最小值 ,当 时, 取最大值 7.选 C。8in1691【考点】复数,二次函数。8若 fx在 R上可导, 23fxfx,则 0fxd( )A.16 B.54 C.24 D.18【答案】D【解析】 试题分析: 因为 2fxfx,所以 ,所以)2()( fxf,所以 。则 。)2(4)( ff4)(38)(2第 4 页 共 15 页18034310431)8(03)( 222 xdxxdf。选 D。【考点】定积分。9在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC的内切圆面积为 ,外接圆面积为 ,1S2S则 124S,推广到空间中可以得到类似结论:已知正四面体 PABC的内切球体积为 ,外接球体积为 ,则
6、 12V=( )1VA.8 B.9 C. 64 D. 7【答案】D【解析】 试题分析: 设正四面体 P-ABC的边长为 a,设 E为三角形 ABC的中心,H 为正四面体 P-ABC的中心,则 HE为正四面体 P-ABC的内切球的半径 r,BH=PH且为正四面体P-ABC的外接球的半径 R。所以 BE= ,aP36)(,3222所以在 ,解得 。所以 R=PE-HE=2)()36araBEHt 中 , ( ar16所以 ,根据的球的体积公式有,,41263a1R。选 D。271)(34321RrV【考点】类比推理。10关于函数 ()lnfx,下列说法错误的是( )A. 2x是 的极小值点B.函数
7、 ()yfx有且只有 1个零点C.存在正实数 k,使得 ()fkx恒成立D.对任意两个正实数 12,,且 1,若 12()fxf,则 124x【答案】C第 5 页 共 15 页【解析】 试题分析: 且当 02 时, 函数递增。因此 x=2是函数的极小值点,A 正确。令,0f,所以 x0时,222 47)1(1)(,)( xxxgxfg ,即函数 g(x)在(0, )上单调递减。因为恒 成 立0,所以 g(x)有且只有一个零点。B 正确。)(,12)(22eegeg设 ,易知 x2时, ,xxfhln)(2 xxxh212ln)(2 对任意的正实数 k,显然当 ,f(x)1时,g(x)3x+1的
8、解为 x3t+1的解集为 tg(1),即,所以选 D。40322016201620162016 )() efefef【考点】函数的单调性与导函数,不等式。二、填空题13如下图,阴影部分的面积是 。【答案】 32【解析】试题分析: 32)(31)(3)13(13)(122 xdxS【考点】定积分14若函数 cos2infxax在区间 ,62是减函数,则 a的取值范围是 。【答案】 ,【解析】 试题分析: ,令 t=sinx,xaxaxf sini1sin2co)( 2则函数变为 ,函数 g(t)的对称轴是 ,由已知的函)1,2(t ,)(2ttg 4t数 g(t)在区间 上为减函数,所以 ,所以
9、 。,14a2【考点】余弦二倍角公式及二次函数的单调性。15若 为 的各位数字之和,如 142+1=197,1+9+7=17,则nfN12第 7 页 共 15 页;记 ,则174fNknffnffnf k, 1121 。)8(206【答案】8【解析】试题分析: ,156)8(,651812 ff,2)()(122ff又因为 2016/3=672,所以65238)(201f【考点】归纳推理。16已知函数 ()fx的定义域为 ,部分对应值如表, ()fx的导函数 ()yfx的5,1图象如下图所示,-1 0 4 5()fx1 2 2 1下列关于 ()fx的命题:函数 y是周期函数;函数 ()yfx在
10、 0,2上减函数;如果当 1,xt时, ()fx的最大值是 2,那么 t的最大值是 4;当 2a时,函数 ya有 4个零点;函数 ()yfx的零点个数可能为 0,1,2,3,4。其中正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号) 。【答案】【解析】试题分析:由导函数 ()yfx的图象可知,所以错,()0,24,5-1,02,4fx的 减 区 间 有 ( ) , ( ) 。 增 区 间 有 ( ) , ( )正确。如果当 1xt时, ()fx的最大值是 2,那么 t的范围是0,5,所以 错。函数 ()yfa的零点个数与 a的取值以及 f(2)有关,而 f(2)的值不确定。考虑函数 f(x)与 y=
11、a的图像有几个交点,当 a2时没交点。 错对。第 8 页 共 15 页【考点】导函数与单调性。三、解答题17已知实数 a,b,c,d 满足 a+b=c+d=1,ac+bd1,求证 a,b,c,d 中至少有一个是负数。【答案】【解析】试题分析:对于含有“至少” , “至多”的命题的证明,经常用反证法证明。假设结论不成立,由得 。由条件中的和与积想到基本,1dcba1,0,dcba不等式,再用放缩法得, ,两式相加可推出矛盾。22试题解析:证:假设 ,,0,dcba,1dcba1,0,dcba,22,这与 相矛盾 原假设不成立.即证得1c c中至少有一个是负数。dba,【考点】1.反证法;2.基本
12、不等式;3.不等式的性质。18如下图所示,将一矩形花坛 ABCD扩建成一个更大的矩形花园 AMPN,要求 B在 AM上,D 在 AN上,且对角线 MN过 C点,已知|AB|=3 米,|AD|=2 米。(1)要使矩形 AMPN的面积大于 32平方米,则 AN的长应在什么范围内?(2)当 AN的长度是多少时,矩形 AMPN的面积最小?并求出最小面积。【答案】 (1) (2)AN 的长为 4米,矩形 AMPN的面积最小,最小为 24米。【解析】试题分析:(1)设 AN的长为 x,利用 ,用 x表示相 似与 NAMDCAM,然后求面积, ,再解不等式 求 x得范围。 (2)解法一:把 中的 x-2看成
13、整体变形成,用基本不等式求解。解法二:对 求导,利用导数求极小值即为最小值。试题解析:解:(1)解:设 AN的长为 x米(x2)由题意可知: 第 9 页 共 15 页 由 SAMPN32 得 ,x23x 232(x2)0,即(3x8) (x8)0(x2)解得: 即AN长的取值范围是(2)解法一:x 2,当且仅当 ,即 x=4时,取“=”号即 AN的长为 4米,矩形 AMPN的面积最小,最小为 24米。解法二: 令 S=0得 x=4当 2x4 时,S0 当 x4 时 S0当 x=4时,S 取极小值,且为最小值。即 AN长为 4米时,矩形 AMPN的面积最小,最小为 24平方米。【考点】1.一元二
14、次不等式式的解法;2.基本不等式;3.利用导数求极值。19已知 ,考查 ; ;0(1,2)ian1a1212()4a归纳出对 都成立的类似不等式,并用数123123()9a12,n学归纳法加以证明。【答案】结论: 21212()()nna 【解析】试题分析:观察给出的三个式子的特点,归纳出对 都成立的类似12,na不等式 21212()()nnaaa 试题解析:结论 : 证明:当 时,显然成立;21212()()nn 1n第 10 页 共 15 页假设当 时,不等式成立,即 ,则nk 21212()()kkaaa 时,112121()()k ka 1212()()kka 1 122()()1k
15、 kkaa 2112121 1()()()kk kkkkaa 由,不等式对任意正整数 成立。22n【考点】1.归纳推理;2.数学归纳法。20已知函数 。1ln)(2xaxf(1)若曲线 在 处的切线方程为 ,求实数 和 的值;y04byxab(2)讨论函数 的单调性; )(xf(3)若 ,且对任意 ,都有 ,求 的0a),0(,21|)(| 2121xfxf取值范围【答案】 (1) b=-4。 (2)当 时, 在 上是减函数,当 时,6,a)(f),00a在 上是增函数,在 上是减函数。 (3))(xf),0a,(81a【解析】试题分析:(1)求导得 ,由 求 因为)2afx()24f6,,把点(1,f(1))的坐标代入切线方程可求 b的值。 (2)求0ln)(2af函数 的单调性应先求导,再解 。求导并化简得x 0)( 或xf,因为 x0,所以 正负只和分子有关,而解2()xff,与 a的正负有关,所以分 和 讨论。 (3) 时,设02xa 0a0a由单调性把 去绝对值号得 ,1,|)(| 2121xfxf121()fxfx变形为 ,构造函数 ,只要满足12()()f()gf在 上为减函数, ,gx0,2lnxax
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