微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第二章习题详解.doc

1、1第二章习题 2-11. 试利用本节定义 5 后面的注（3）证明：若 xn=a,则对任何自然数 k，有limxn+k=a.lim证：由 ，知 ， ，当 时，有lin01N1nxa取 ，有 ， ，设 时（此时 ）有1Nk0n1nkNkx由数列极限的定义得 .limnxa2. 试利用不等式 说明：若 xn=a,则 x n=|a| .考察数列 xn=(-1)ABlilimn，说明上述结论反之不成立.证： lim0, .使 当 时 ， 有nx naNxa 而 n于是 ，,使 当 时 ， 有即 nnxanxa由数列极限的定义得 lim考察数列 ，知 不存在，而 ， ，(1)nnxnx1nxlimnx所以

2、前面所证结论反之不成立。3. 利用夹逼定理证明：(1) =0； (2) =0.limn2221()()n lin2!证：（1）因为 22221()()n2而且 ， ，21lim0nlin所以由夹逼定理，得.22211li 0()()n n（2）因为 ，而且 ，40!131: :limn所以，由夹逼定理得 2li0!n4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1) xn= ，n=1,2, ；1e(2) x1= ,xn+1 ,n=1,2,.2证：（1）略。（2）因为 ，不妨设 ，则12kx12:故有对于任意正整数 n，有 ，即数列 有上界，xnx又 ，而 , ，1(2)n0n所以 即

3、 ，0x1nx即数列是单调递增数列。综上所述，数列 是单调递增有上界的数列，故其极限存在。n习题 2-21 . 证明： f(x)=a 的充要条件是 f(x)在 x0 处的左、右极限均存在且都等于 a.0lim证：先证充分性：即证若 ，则 .00lilimxxa0li()xf由 及 知：0li()xf0li()xf,当 时，有 ，1,01x()fxa当 时，有 。223取 ，则当 或 时，有 ，12min,0x0x()fxa而 或 就是 ，0x于是 ，当 时，有 ，,0x()fxa所以 .0li()xfa再证必要性：即若 ，则 ,0lim()xf00li()lim()xxffa由 知， ，当 时

4、，有 ，0lim()xf,由 就是 或 ，于是 ，当0x0x0,或 时，有 .0x0x()fa所以 00limli()xxf综上所述， f(x)=a 的充要条件是 f(x)在 x0 处的左、右极限均存在且都等于 a.0li2. (1) 利用极限的几何意义确定 (x2+a),和 ；0li0lix1e(2) 设 f(x)= ，问常数 a 为何值时， f(x)存在.12e, xalim解：（1）因为 x 无限接近于 0 时， 的值无限接近于 a，故 .2x20li()xa当 x 从小于 0 的方向无限接近于 0 时， 的值无限接近于 0，故 .1e1ex（2）若 存在，则 ，0lim()xfli()

5、lim()xxff由（1）知 ，2200lixaa10li()exxf所以，当 时， 存在。a3. 利用极限的几何意义说明 sinx 不存在.limx解：因为当 时， 的值在-1 与 1 之间来回振摆动，即 不无限接近某xsnsinx一定直线 ，亦即 不以直线 为渐近线，所以 不存在。yA()yfyAlmx习题 2-341. 举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量.解：例 1：当 时， 都是无穷小量，但由 （当 时，0xtan,sixsincotax0x）不是无穷大量，也不是无穷小量。cosx例 2：当 时，

6、与 都是无穷大量，但 不是无穷大量，也不是无22x穷小量。例 3：当 时， 是无穷小量，而 是无穷大量，但0xtanxcot不是无穷大量，也不是无穷小量。tancot1x:2. 判断下列命题是否正确：(1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量；(2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量；(3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量；(4) 有限个无穷小量之和为无穷小量；(5) 有限个无穷大量之和为无穷大量；(6) y=xsinx 在(-，+)内无界，但 xsinx；lim(7) 无穷大量的倒数都是无穷小量；(8) 无穷小量的倒数都是无穷大量.解：（1）错误，如第 1 题例 1；（2）正确，见教材2

7、.3 定理 3；（3）错误，例当 时， 为无穷大量， 是有界函数，0xcotxsinx不是无穷大量；cotsincx:（4）正确，见教材2.3 定理 2；（5）错误，例如当 时， 与 都是无穷大量，但它们之和1x不是无穷大量；1()0x（6）正确，因为 ， 正整数 k，使 ，从而0M2+M，即 在 内无界，(2+)()sin(2+)fkkksinyx(,)又 ，无论 多么大，总存在正整数 k，使 ，使0XX，即 时， 不无限增大，即 ；()si()f xsixlimsnx（7）正确，见教材2.3 定理 5；（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。3. 指

8、出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.(1) f(x)= ,x2; (2) f(x)=lnx，x0 +，x1,x+；2345(3) f(x)= ,x0 +，x0 -； (4) f(x)= -arctanx,x+;1e 2(5) f(x)= sinx,x; (6) f(x)= ，x .212解：（1） ，即 时， 是无穷小量，所以 是无2lim(4)0x因 为 4214x穷小量，因而 也是无穷大量。23（2）从 的图像可以看出，()lnf，所以，当 时， 时，10lin,li0,ilxxx0xx是无穷大量；()f当 时， 是无穷小量。x()lnfx（3）从 的图可

9、以看出， ，1e1100lime,liexx所以，当 时， 是无穷大量；0x1()xf当 时， 是无穷小量。e（4） ，lim(arctn)02xx当 时， 是无穷小量。(arctn2fx（5） 当 时， 是无穷小量， 是有界函数，1xsi是无穷小量。sinx（6） 当 时， 是无穷小量， 是有界变量，21x21x是无穷小量。221x习题 2-41.若 f(x)存在， g(x)不存在，问 f (x)g(x), f(x) g(x)是否存在，0lim0li0limx0li为什么?6解：若 f(x)存在， g(x)不存在，则0lim0li（1） f(x )g(x)不存在。因为若 f(x)g(x)存在

10、，则由0 0lim或 以及极限的运算法则可得()gx()g(x)，与题设矛盾。0li（2） f(x )g(x)可能存在，也可能不存在，如： ， ，则0lim()sinfx1()gx， 不存在，但 f(x)g( x)= 存在。0lisnx1x0lim01li又如： ， ，则 ， 不存在，而()if()cosg2lisnx2limcosxf(x)g( x) 不存在。0lim2litanx2. 若 f(x)和 g(x)均存在，且 f(x)g(x)，证明 f(x) g(x).0li0 0li0li证：设 f(x)=A， g(x)=B，则 ，分别存在 ， ，使得当00lim12时，有 ，当 时，有1x)

11、f02x()gxB令 ，则当 时，有2in,0()Afxg从而 ，由 的任意性推出 即ABB.00lim()li()xxf3. 利用夹逼定理证明：若 a1,a2，a m 为 m 个正常数，则=A,lin2nna其中 A=maxa1,a2,，a m.证：因为 ，即12n nma :112nmAaA :而 ， ，由夹逼定理得linA1lin:.12linnm4 . 利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明：若7x1 ,x2= ,，x n+1= （n=1,2,） ，则 xn 存在，并求该极限.2xlim证：因为 有12,1今设 ，则 ，由数学归纳法知，对于任意kx11kkkxx正整数 n 有 ，即

12、数列 单调递增。1nn又因为 ，今设 ，则 ，由数学归纳2x2kx122kkx法知，对于任意的正整数 n 有 ，即数列 有上界，由极限收敛准则知 存在。n limnx设 ，对等式 两边取极限得 ，即 ，limnxb12nnx2b2b解得 ， （由极限的保号性，舍去） ，所以 .2b1limnx5. 求下列极限：(1) ； (2) ；lin32451nlin1cos2n(3) ; (4) ；limn2limn1()3n(5) .lin13n解：（1）原式= ；234lim155nn（2）因为 ，即当 时， 是无穷小量，而 是有界变li()02n12ncosn量，由无穷小量与有界变量的乘积是无穷小

13、量得： ；lim()0nn（3）22lim()linn而 ，2231lili0nn8；22lim()limnnn（4） ；11()()313lili22nnnn:（5） .11()14()4222limlilim3()33 nnn n6. 求下列极限：(1) ； (2) ；3lix291lix2354(3) ; (4) ;limx4262limxsncox(5) ; (6) ;0lih3()x3lix1(7) ; (8) ；1lix2n lixsin(9) ； (10) ；limx22x1limx3()x(11) .0(sin)解： 23331lilili9()6xxx（2） 11lim(54

14、0,li2xx22113li,lim354x x即 （3） ；442266lili0xx9（4） ；2sincosinco2lm1xx（5） 22300()()()()lilihhxhx；22()()3（6） 33912limli1(1)4()xxx；3 322(2)4li lim3()x xx（7）2 21 1(1(1)li lin nx x 212lim()(1)nx xxx ；23(n（8） （无穷小量 与有界函数 之积为无穷小量）sinl0x1xsix；siilimlns1xx（9）2222()()li()limx xx；222li lim11x xx（10） 1limx3()x231

15、()limx23 211()1lilixxx21()lix10（11） 当 时， 是无穷小量， 是有界函数，0x21sinx它们之积 是无穷小量，即 。21sinx20limsi0x习题 2-5求下列极限(其中 a0,a1 为常数）：1. ; 2. ; 3. xcotx;0limxsn530lixtan2s50li4. ; 5. ; 6. ;0lix1cox0limx2coxlimx17. ; 8. ; 9. ;0lixcot3sinx0lix1a0lixxa10. ; 11. ; 12. ;limx(1)llix32xlix21x13. ; 14. ; .0lixarcsn0limxarctn解：1. ；05s5si5li333x x:2. 0 0ta221i25limlisncoincosnx x x:；0251sli5six3. ；0 00litliml1cos0six xx4. 20000sinnin1co 2limlililixxxxx :；0sin22lm1x:5. 220007373si sinicos5 32limllim()x x x x