1、第七章 习题解答1设(X,d)为一度量空间,令 ),(|),(),(|),( 0000 xdXxSxdXxU问 的闭包是否等于 ? 解 不一定。例如离散空间(X ,d ) 。 = ,而 =X。 因此当 X 多于)1,(0xU)1,(0xS两点时, 的闭包不等于 。)1,(0xU),(0S2. 设 是区间 上无限次可微函数的全体,定义,baC,)(1)(max2),( )(0 tgtfgfdrrbtr 证明 按 成度量空间。,ba,f证明 (1)若 =0,则 =0,即 f=g),(gfd)(1)(ax)(tgtfrrbt(2) )()(m21),( )(0 ttff rrbtar)(1)()(1
2、)(x)()0 tgthtgtf rrrrbtar )(max2)()(2 )()(00 ttttf rrbtrrrbtar =d(f,g)+d ( g,h)因此 按 成度量空间。,C),(d3 设 B 是度量空间 X 中的闭集,证明必有一列开集 包含 B,而且 no21,。on1证明 令 是开集:设 ,则存在 ,使nonBxd.2,1),(nx0x1。设 则易验证 ,这就证明了 是 开集nxd),(1001 oU),(no显然 。若 则对每一个 n,有 使 ,因此onox1 Bxxd,1。因 B 是闭集,必有 ,所以 。)( xn n4. 设 d(x,y)为空间 X 上的距离,证明 ),(1
3、),(_yxdyx是 X 上的距离。证明 (1)若 则 ,必有 x=y0),(_yx0),(yxd(2)因 而 在 上是单增函数,于是zdt1),o),(),(),(),(1),(_ zydxzyxdyx= ),(),(),(),( zzyxd= 。),(1),(,_ydx5. 证明点列 按习题 2 中距离收敛与 的充要条件为 的各阶导数在nf ,baCfnfa,b上一致收敛于 f 的各阶导数。证明 若 按习题 2 中距离收敛与 ,即nf ,f0 )(1)(max),( )(0 tftffdrrnbtrn )( n因此对每个 r, 0 ,这样)(2)(0 tftfrrnbtar )(0 ,即
4、在 a,b 上一致收敛于btax)()(ftfrrn )(tfrn。)(r反之,若的 (t)各阶导数在 a,b上一致收敛于 f(t) ,则任意 ,存在 ,使nf o0r;存在 ,使当 时,max ,21or rNrn)()(tftfrrn00,21,取 N=max ,当 nN 时,N1 )(1max2),()()(0 tftffdrrnbtrn )()(max2)(0 tftfrrnbtr 1or .0即 0 。),(nfd( 6. 设 ,证明度量空间 中的集f|当 t B 时 f(t )=0为 中的闭集,,baB,baC,baC而集 A=f|当 t B 时,|f(t)|a (a 0)为开集的
5、充要条件是 B 为闭集。证明 记 E=f|当 t B 时 f(t )=0 。设 , 按 中度量收敛于 f,即在Efnnf,a,b上 一致收敛于 f(t ) 。设 ,则 ,所以 f E,这就证)(fn Bt 0)(lim)(tt 明了 E 为闭集充分性。当 B 是闭集时,设 f A。因 f 在 B 上连续而 B 是有界闭集,必有 ,Bt0使 。设 。我们证明必有 。设)(max)(0tftft0)(0ta AfU),(,则若 ,必有 ,于是,Ug tgf,所以 ,这样就证明了 A 是开集atftgft )(|)(|)(| 0必要性。设 A 是开集,要证明 B 是闭集,只要证明对任意 若.2,1n
6、Bt 0tn,必有 。)( nt0倘若 ,则定义 。于是对任意 , 因此Bt_0 |)(0tafotattfo|)(0由于 A 是开集,必有 ,当 Ca,b 且 时, 。定义,fo)( f ,0dAfn=1,2 。 。 。 。 。则 )(|),(00ntfdnn因此当 时, 。但是 ,此与 的必|0tnattatfn|00fn要条件:对 任意 ,有 矛盾 因此必有 。Btfn)(B7. 设 E 及 F 是度量空间中的两个集,如果 ,证明必有不相交开集 O 及 GoFEd),(分别包含 E 及 F。证明 设 。令 od),( 2),(|,2),(|xdGx则 且 ,事实上,若 ,则有 ,所以存,
7、GOOz在 E 中的点 x 使 ,F 中点 y 使 ,于是 ,2),(zd2),(zd ),(),(),(zydxyd此与 矛盾。),(y),( 8. 设 Ba,b表示a,b上实有界函数全体,对 Ba,b中任意两元素 f,g Ba,b,规定距离为 。证明 Ba,b不是可分空间。|)(|sup),(tgfgfdbta证明 对任意 a,b,定义0t ),2),100 bttaot 则 Ba,b,且若 , 。 倘若 Ba,b 是不可分的,则有可数)(0ft 21,(21tfd稠密子集 ,对任意 a,b, 必有某 ,即 。由于ng10t),0tUng21),(0tnfda,b上的点的全体是不可数集。这
8、样必有某 , ,使 ,21t1tUg,于是 此与 矛盾,)2,(tfU),(),(),( 2121 tnntt fdgffd ),(21tf因此 Ba,b不是可分空间。9. 设 X 是可分距离空间, 为 X 的一个开覆盖,即 是一族开集,使得对每个 ,Xx有 中的开集 O,使得 ,证明必可从 中选出可数个集组成 X 的一个开覆盖。x证明 若 x,必有 ,使 ,因 是开集,必有某自然数 n,使xOx。xnU)1,(设 是 X 的可数稠密子集,于是在 中必有某 ,且1 )21,(nxU)21,(nxk。 。事实上,若 ,则xkO)2,( yk所以 。ndydkk21),(,( ),(xykxO这样
9、我们就证明了对任意 X,存在 k,n 使 且存在 21nUnk)21,(任取覆盖 的 O,记为 是 X 的可数覆盖。)21,(nxUkk,10. X 为距离空间,A 为 X 中子集,令 证明 是 X 上连续,.),(if)(xydxfAy)(xf函数。证明 若 对任意 ,存在 ,使,.0x00。取 。则当 时,2)()(inf),( xfydydAo 2),(0xd ),(, 0000 fyxdxf o因此 。由于 x 与 对称性,还可得 。于是)(0f (x。这就证明了 是 X 上连续函数。|)(|0xf )(f11. 设 X 为距离空间, 是 X 中不相交的闭集,证明存在开集 使得21,F
10、21,G。2121,FGG证明 若 ,则由于 , 为闭集,必有 ,使 ,令xx0x2),(FxU,类似 ,其中 ,显然 是开)2,(1xFxU)2,(2yFxU1),(y21,G集,且 。 倘若 ,则必有 ,使2,G,1G,1Fx2y。设 。不妨设 ,则),()2,(xy)2,(),(xyzyx因此 ,此与xyxyx dd 2),(),(),( ),(xU矛盾。这就证明 了 。2,FUx 21G12 . 设 X,Y,Z 为三个度量空间,f 是 X 到 Y 中的连续映射,g 是 Y 到 Z 中的连续映射,证明复合映射 是 X 到 Z 中的连续映射。)()(.xfg证明 设 G 是 Z 中开集,因
11、 g 是 Y 到 Z 中的连续映射,所以 是 Y 中开集。又)(1Ggf 是 X 到 Y 中的连续映射,故 是 X 中 的开集。这样)(1Gf是 X 中 的开集,这就证明了 g。f 是 X 到 Z 的连续映射。)()(.11fg13. X 是度量空间,证明 f 是连续映射的充要条件是对每个实数 c,集合和集合 都是闭集。)(,|cxFx)(,|cxFx证明 设 f 是 X 上连续的实函数,又对每一实数 c,G=(c , )是开集,于是是开集。这样 = )(,|)(1Gf )(,|cxfX是闭集。同理 是闭集。 反之,若对每个实数,|cxfxC)(,|fxc, 和 都是闭集,则 和)(|X)(,
12、|cfXx)(,|cxfx都是开集。设 G 是直线上的开集,则 或,|cxfx 1,(iibaG,其中 是 G 的构成区间。不妨设 于是niibaG1),(),(iba1),(ii )(,|()(,|()(,|)( 11 ii ii i bxfXaxfXxfXxf 是开集。因此 f 是连续的实函数。14. 证明柯西点列是有界点列。证明 设 是 X 中的柯西点列。对 10,存在 N,使当 n,m 时,nx ,令 则对任意 有 。因此 .1),(md .1),(ax1NiidMxMdN),(nx是有界点列。15. 证明第一节中空间 S,B(A) ,以及离散的度量空间都是完备的度量空间。证明 (1)
13、S 是完备的度量空间设 是 S 中的柯西点列, 对每一个固定的 i,由于nx ),(.()(2)1 ninx,因此对任意 存在 ,当 时 ,对此)0(21tti ,0t0ti21,存在 n,m 时, ,因此N1)()(|2),(i minimnxd,从而 。这样对固定的 i, 是1)()(|2i ini |)()(inii21 1)(ni柯西点列。设 。令 ,故有 ,且对任意给)(ii ),(21 ixSx定 ,存在 ,使 。存在 使 时,o0102ii,0NiiNn。于是当 时, 0)(2|iini,max01in1)(|2i nii+ 01 )()(|ii miniiii 102ii .0
14、i所以 按 S 的距离收敛于 xnx(2)B(A)是完备的度量空间设 是 B(A)中的柯西点列,任意 ,存在 N,使当 n,m 时1n 0。这样对任意 , 。因此对固定),(mxdAt|)(|sup|)(| txttxtAtmn的 t, 是柯西点列。设 ,由于 n,m 时tn )(x,令 ,得 ,这样 ,于是|)(|xm|)(|txn |)(|txtn|sup|sttn故 x ( A) , 且 nN 时, 。这就证明了按 B(A)中距离收|)(|suptxtmnAt敛于 x。(3)离散的度量空间(X, d)是完备的度量空间设 是 X 中柯西点列,则对 0,存在 N,当 n,m 是 。特别对一1
15、n 2121),(mnxd切 nN, ,于是 nN 是 。因此 ,即(X,d)是),(NxdnxN完备的度量空间。16. 证明 与 C(0,1的一个子空间等距同构。l证明 若 ,定义 ,),(21 ixl 1,0(,),(tCtxT21,(;,),( iititTi或 线 性 ,若 , ,则)21 ixl ) iyl因此 T 到 到(0,1的子空间,(|,(),|sup|sup),(1,0( yxdtTtxydti l的一个同构映射,即 到(0,1 的一个子空间等距同构。l17. 设 F 是 n 维欧几里得空间 的有界闭集,A 是 F 到自身中的映射,并且适合下列条件:nR对任何 ,有 。 证
16、明映射 A 在 F 中存在唯一的不动yx,)(),(),(yxd点。证明 定义 F 上的函数 f( x)=d(Ax ,x) 。由于因此 f 是 F 上的连),(2),(),(|),(),(|)(| yxdyAydAyfx 续映射,因 F 是有界闭集,必有 ,使 。F0 min00fxfF我们先证明 ,若 ,则 。记 ,则 ,于是)(0xf)(xf 01A021x)(,(,)( 000211 xfAddAf 此与 是 f 的最小值矛盾。故 即 =0x)x若 是 A 的另一个不动点,则 ,矛盾。1 ),(),(,( 101010 xd18. 设 X 为完备度量空间, A 是 X 到 X 中的映射,
17、记 ),(sup1xAanzxn若 ,则映射 A 有唯一不动点。na1证明 因 ,则必有 N,使 。这样对任意 x, X,若 x ,则na1 1a11),(),(11xdxAdn这样由压缩映射原理 有不动点 ,即 = 。由于 =A =A , A 也N*N*NA*x*x*是 的不动点。 的不动点是唯一的,因此 = A ,即 是 A 的不动点。NAx若 x是 A 的任意一个不动点,即 A x= x。于是 x= x= A x= x。这样 x也是N1n的不动点,由于 N的不动点是唯一的,因此 = x。即 A 的不动点也是唯一的。*19. 设 A 为从完备度量空间 X 到 X 中映射,若在开球 内适合)
18、,(0rxU.1),(),(xdAxd又 A 在闭球 上连续,并且|),(00rrxS .)(),(0rAxd证明:A 在 中有不动点。证明 设 = , 。则nx02,1 rxAdxAdxd nnnnn )1(),(),(),(),( 010211 任给 0,存在 N,使 ,这样若 且 ,有rmN,.)()()(),(),(),(), 121121 rrx Nnmnnnnmn 因此 是柯西列。设 ,因1x*rrrrddd ninnnnn )()()()(,(),(),(), 1101210 因此 。这样 。因为 A 在 上连续。00rxSrUx,lim0*xSxn ,0xS,即 是 A 在 中
19、的不动点。1*limliAnn )(rA 的不动点不一定是唯一的。例如 X 是离散的度量空间。 A 是 X 中的恒等映射。在开球内只有 一点,自然满足条件 。而)1,(0x0x .10),(),(xdxd,也满足 。但 X 中每一点皆为 A 的不动点。d .1),(0rAd20. 设 为一组实数,适合条件 ,其中 当 j=k 时nkja,21, 1)(21, njiijijajk为 1 ,否则为 0。证明:代数方程组 121212nnnaxaxb对任意一组固定的 , , ,必有唯一的解 , , 。b, 1x2nx证明 记定义 到 内的映射 T:TX= -AX+X+b 。设 X 则nRR),()
20、( )()()(,211, 211122 Xda axaTXdnjiijij nij jjjiijij jjiij 由于 1,于是 T 有唯一不动点 ,即 ,因此211, )(njiijij *X*XbAT有唯一解 *X。bA*21. 设 表示 上右连续的有界变差函数全体,其线性运算为通常函数空间中的,aVb,运算。在 中定义范数 = ,证明 是 Banach 空间。,x)(xVab,ba证明 显然是线性空间。下证 是赋范线性空间。 1 若 ,显然 0。x,baVx若 =0,则 =0,即 =0,且 =0。由 =0 可知 在 上为常)(a)(a)(xVba)(xba,ba值函数,于是 xt2 若
21、 ,,bV),(xVaxaxb)(3 若 ,,y)()(xxba )()(yVxyba其中 的理由如下:对任意分划 yVbayV ,:10bttTn因此,)()()()( 1111 niiiniiini ii tytxtxtx)()(sup)(sup)()(sup)( 111111 yVxtytxtyxtyxV baniiiTniiiTni iiTba 再证 是完备的。,设 为 中柯西列,对任意 ,存在 ,当 时,nxb0Nmn,。于是, 。而对任意)()(mnbamnmxVx )(bxa,,(at)(mnbaVt从而 2)()(xxtmnmn这就证明了 是 上一致收敛的函数列。设 一致收敛于
22、 。,banxx由于 是 上右连续的函数,于是对任意 , 因nx, ),0bat.2,1)(li00 ntntx为 在 上一致收敛于 。因此,x即 亦在 上右连续。)(lim)(li)(lim)(li 0000 ttttx nntnntxt ,ba对任意 ,存在 ,当 时, =N,x)()(mnbamnVx对 上的任一分划 ,有,battTl10: )()()()()(1 11 mnbamnli iminimin xVxatxttxt令 ,(*)li iiniin txttx1 11)()(因此,从而 由(*)式及分点的任意性知,.,baVn从而.)(xba .2)()(xVaxxnbnn即 按 中范数收敛于 。这样我们就证明了 是完备的赋范线性空nx,V,间,即 空间。Bch22设 是一列 空间,,21Xan,21 nxx是一列元素,其中 , 并且 这种元素列的全体记成 ,nx,21,1pn X
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