1、空间向量与立体几何单元测试题一、选择题1、若 , , 是空间任意三个向量 , ,下列关系式中,不成立的是( )abcRA. B. abC Dcb2、给出下列命题已知 , 则 ;acabcA、B、M、N 为空间四点,若 不构成空间的一个基底 , 则 A、B、M、N 共面;,BAMN已知 ,则 与任何向量不构成空间的一个基底;b已知 是空间的一个基底,则基向量 可以与向量 构成空间另一个基底.ac,abmac正确命题个数是( )A1 B2 C3 D43、已知 均为单位向量,它们的夹角为 60,那么 等于( )ab 3A B C D471014、 且 ,则向量 的夹角为( ),2,abcabab与A
2、30 B60 C120 D1505、已知 且 ,则 x 的值是 ( )3,251,abx2abA3 B4 C5 D66、若直线 l 的方向向量为 ,平面 的法向量为 ,则能使 的是( )an/lA B1,020an 135,0,1aC D,17.空间四边形 中, , ,则 的值OBC3AOCcos,OABC是( )A B C D212108、正方体 - 的棱长为 1,E 是 中点, 则 E 到平面 的距离是( D1A1BA1DABC)A B C D32239若向量 与 的夹角为 , , ,则 ( )ab604b(2)72aba 4 6 1210如图,A 1B1C1ABC 是直三棱柱,BCA =
3、90,点 D1、F 1 分别是 A1B1、A 1C1 的中点,若BC=CA=CC1,则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是( )A B C D032153010511在三棱锥 PABC 中,ABBC,ABBC PA,点 O、D 分别是 AC、PC 的中点,2OP 底面 ABC,则直线 OD 与平面 ABC 所成角的正弦值( )AB CD423413012正三棱柱 的底面边长为 3,侧棱 ,D 是 CB 延长线上一点,1CBA321A且 ,则二面角 的大小( )DDAB C D3653二、填空题13、已知 关于面 的对称点为 ,而 关于 轴的对称点为 ,则 (12),xOyBxCB14、 AB
4、C 和DBC 所在的平面互相垂直,且 AB=BC=BD,CBA=DBC=60,则 AD 与平面 BCD 所成角为 .15、若直线 l 的方向向量为(4,2,m),平面的法向量为(2,1,-1),且 l,则 m = .16、已知 为正方形, 为平面 外一点, ,二面角ABCDPABCD2PAD,为 ,则 到 的距离为 P60三、解答题17、已知四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,PA底面 ABCD,E 为 PC 上的点且CE:CP=1:4,求在线段 AB 上是否存在点 F 使 EF/平面 PAD?18、如图,已知点 P 在正方体 ABCDA 1B1C1D1的对角线 BD1上,PD
5、A=60.(1)求 DP 与 CC1 所成角的大小;(2)求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小.19、三棱锥被平行于底面 的平面所截得的几何体如图所示,截面为 ,ABC1ABC, 平面 , , , , ,90BAC113212D()证明:平面 平面 ;11BC()求二面角 的平面角的余弦值A20如图所示的多面体是由底面为 的长方体被截面 所截面而得到的,其中ABCD1AECF.14,2,3,ABE()求 的长;F()求点 到平面 的距离.C1A1AC1B1B DCA BCDPxyzH参考答案选择题DCCCC DDBCA CA填空题13. 14. 30 15. -2 16. (042),
6、 7解答题17、解:建立如图所示的空间直角坐标系,设 PA=b,则 A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,b),则 ,CPabE 为 PC 上的点且 CE:CP=1 :3,1,44abCEPab由 ,3,4AECA设点 F 的坐标为(x,0,0,) (0xa),则 ,3,4abEx又平面 PAD 的一个法向量为 ,0ABa依题意, ,3344Fxx在线段 AB 上存在点 F,满足条件,点 F 在线段 AB 的 处.18 解:如图,以 为原点, 为单位长建立空间直角坐标系 DADxyz则 , 连结 , (10)A, , (01)C, , BD在平面
7、中,延长 交 于 BPH设 ,由已知 ,()(Hm, , 60A,由 cosDA,可得 解得 ,212所以 ()因为H, , A B CD Px yz H,2012cosDHC,所以 即 与 所成的角为 45, DPC45()平面 的一个法向量是 A(01), ,因为 , 所以 20cos 21H, 60DHC,可得 与平面 所成的角为 DPA319. 解:解法一:() 平面 平面 ,1ABC, AB在 中, ,1BCRt 26, , ,又 ,:2D63D3AB, ,即 BA 90CDBC又 , 平面 ,11平面 , 平面 平面 C1A1()如图,作 交 于 点,连接 ,EC1EB由已知得 平
8、面 AB是 在面 内的射影1由三垂线定理知 , 为二面角 的平面角1BECAEB1CB过 作 交 于 点,则 , ,1CFAFF13A60在 中, RtE 3sin602C在 中, ,tBA taABE6arctn3AEB即二面角 为 1C6rctn3解法二:()如图,建立空间直角坐标系,则 ,11(0)(20)()(0)(3)ABAC, , , , , , , , , , , , , , 点坐标为 :1:DC3DB20, , 203A, , 1(20)(3)A, , , , , , , ,又 ,1BCA1BCD1A平面 ,又 平面 , 平面 平面 D11BC() 平面 ,取 为平面 的法向量
9、,1(20), ,m1设平面 的法向量为 ,则 1BC()ln, , 0BCA, nA1A C1B1B D CF E(第 19 题,解法一) A1A C1B1B D Cz yx (第 19 题,解法二),如图,可取 ,则203lmn, 32lnm, 1,1, ,222230115cos()()A,mn即二面角 为 1ACB15arcos20. 解:( I)建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,(0,)D(2,40)B设 .1(2,0)(,4)(2,)(0,43)ECFz 为平行四边形,1ACF.62,62|).4(,0. ),0(,(1的 长 为即于 是 得由 为 平 行 四 边 形由 BFEFzz(II )设 为平面 的法向量,1n1AEC)1,(,1yxnD故 可 设不 垂 直 于 平 面显 然 022140,1 yxAFnE得由 .41,0214yxxy即的夹角为 ,则1),3(nC与设又 到平面 的距离.346|cos1C1AEF为 .134cs|1Cd