1、 第 1 页高中知识点之集合一、集合的有关概念定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。2.表示方法：集合通常用大括号 或大写的拉丁字母 A,B,C表示，而元素用小写的拉丁字母 a,b,c表示。3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有 “属于 ”及 “不属于 两种)若 a 是集合 A 中的元素，则称 a 属于集合 A，记作 a A；若 a 不是集合 A 的元素，则称 a 不属于集合 A，记作 a A。5.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集） ，记作 N；正整数集，记作 N*或 N+；N 内排除 0 的集.整数集
2、，记作 Z； 有理数集，记作 Q； 实数集，记作 R；6.关于集合的元素的特征确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。如：“地球上的四大洋” （太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋） 。 “中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数” ， “平面点 P 周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。.如:方程(x-2)(x-1) 2=0 的解集表示为 1,-2 ,而不是 1,1,-2无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。7.元素与集合的关
3、系：(元素与集合的关系有 “属于 ”及 “不属于 ”两种)若 a 是集合 A 中的元素，则称 a 属于集合 A，记作 a A；若 a 不是集合 A 的元素，则称 a 不属于集合 A，记作 a A。二、集合的表示方法列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫列举法。如：1，2，3，4， 5，x 2，3x+2 ，5y 3-x，x 2+y2，；说明：书写时，元素与元素之间用逗号分开；一般不必考虑元素之间的顺序；在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；集合中的元素可以为数，点，代数式等；第 2 页列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法
4、比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集用列举法表示为 1,2345,.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。 。方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式： ()xAp如：x|x-32，(x,y)|y=x 2+1，x|直角三角形 ，；用符号描述法表示集合时应注意：、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是
5、其他形式？、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。三、集合的分类集合的分类: ()emptys有 限 集 含 有 有 限 个 元 素 的 集 合无 限 集 含 有 无 限 个 元 素 的 集 合空 集 不 含 有 任 何 元 素 的 集 合四、集合的基本关系子集：对于两个集合 A，B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们说这 两个集合有包含关系，称集合 A 是集合 B 的子集（ subset） 。 记作： 读作：A 包含于 B，或 B 包含 A()或当集合 A 不包含于集合 B 时，记作 AB(或 BA)用
6、 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：集合相等定义：如果 A 是集合 B 的子集，且集合 B 是集合 A 的子集，则集合 A 与集合 B中的元素是一样的，因此集合 A 与集合 B 相等，即若 ，则 。且 如：A=x|x=2m+1，m Z，B=x|x=2n-1，n Z，此时有 A=B。真子集定义：若集合 ，但存在元素 ，则称集合 A 是集合 B 的真子集。 ,x且记作：A B（或 B A） 读作：A 真包含于 B（或 B 真包含 A）4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作： 5.几个重要的结论：空集是任何集合的子集；对于任意一个集合 A 都有 A。空集是任何非空集合的真子集；任何
7、一个集合是它本身的子集；对于集合 A，B，C，如果 ，且 ，那么 。ABCB A 表示： 第 3 页五、集合间的基本运算五、集合间的基本运算；1.并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与集合 B 的并集，即 A 与 B 的所有部分，记作 AB， 读作：A 并 B 即 AB=x|xA 或 xB。Venn 图表示：2.3.交集定义：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，叫作集合 A、B 的交集（intersection set） ，记作：AB 读作：A 交 B 即：AB x|xA，且 xBVenn 图表示：常见的五种交集的情况：4
8、.全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集,记作 U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。5.补集的定义：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合，叫作集合 A 相对于全集 U 的补集,记作： ，读作：A 在 U 中的补集，即UC,Cx且Venn 图表示：（阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集）补充：集合中元素的个数在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题。我们把含有有限个元素的集合 A叫做有限集，用 card(A)表示集合 A 中元素的个数。例如：集合 A=a,b,c中有三个元素，我们记作 card(A)=3. 结论:已知两个有限集合 A，B ，有：card(A B)=card(A)+card(B)-card(AB). 一个集合当中有 N 个元素，那么该集合的子集有 2N 个真子集有 2N-1 个非空真子集有 2N-2 个A BA(B) A B BAB A（阴影部分即为 A 与 B 的交集）
