1、第 4 讲 函数与方程知识梳理一、函数的零点方程 0)(xf的实数根又叫做函数 )(Dxfy的零点。方程 有实根 函数 )的图像与 x 轴有交点 函数 ()yfx有零点;如果函数 ()yfx在区间 (,ab上的图像是连续不断的,且有 0fab,则函数()f在区间 ,上有零点。二、二分法1如果函数 ()yfx在区间 ,nm上的图像是连续不断的一条曲线,且 0)(nfm,通过不断地把函数 的零点所在区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。2给定精度 ,用二分法求函数 )(xfy的零点近似值的步骤如下:(1)确定区间 ,nm,验证 0nf,给定精度 ;(2)求
2、区间 的中点 1x;(3)计算 )(1xf:若 )(f,则 1x就是函数 )(xfy的零点;若0)(mf,则令 1n(此时零点 ,(10m) ;若 0)(1nf,则令1x(此时零点 ),(0n)(4)判断是否达到精度 ;即若 m,则得到零点值 m(或 n) ;否则重复步骤(2)-(4)重、难点突破重点:函数零点的概念,掌握用二分法求函数 )(xfy零点的近似值难点:用二分法求函数 )(xfy的零点近似值重难点:1函数零点的理解函数 ()yfx的零点、方程 0)(f的根、函数 ()yfx的图像与 x 轴交点的横坐标,实质是同一个问题的三种不同表达形式,方程 0f根的个数就是函数 ()yf的零点的
3、个数,亦即函数 ()yfx的图像与 x 轴交点的个数变号零点与不变号零点若函数 )(xf在零点 0左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数 )(xf的变号零点若函数 在零点 左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数 的不变号零点若函数 )(xf在区间 ba, 上的图象是一条连续的曲线,则 0)(bfa是 )(xf在区间 ba, 内有零点的充分不必要条件。用二分法求曲线交点的坐标要注意两个问题(1)曲线交点坐标即为方程组的解,从而转化为求方程的根(2)求曲线 )(xfy和 )(g的交点的横坐标,实际上就是求函数)(gxfy的零点,即求方程 0)(xgf的根3关于用二分法求函数 )(xy的零点近似值的
4、步骤须注意的问题:(1)第一步中要使:区间长度尽量小; )(bfa、 的值比较容易计算且0)(bfa;(2)根据函数的零点与相应方程根的关系,求函数的零点与求相应方程根是等价的。对于求方程 )(xgf的根,可以构造函数 )()(xgfxF,函数 )(xF的零点即方程)(x的根。热点考点题型探析考点 1 零点的求法及零点的个数题型 1:求函数的零点.例 1 求函数 23xy的零点.解题思路 求函数 的零点就是求方程 023x的根解析令 320x,2()20xx ()1(), 1或 或即函数 23xy的零点为-1,1,2。名师指引 函数的零点不是点,而是函数函数 ()yfx的图像与 x 轴交点的横
5、坐标,即零点是一个实数。题型 2:确定函数零点的个数.例 2 求函数 f(x)=lnx2x 6 的零点个数.解题思路 求函数 f(x)=lnx2x 6 的零点个数就是求方程 lnx2x 6=0 的解的个数解析方法一:易证 f(x)= lnx2x 6 在定义域 (0,)上连续单调递增,又有 (1)40f,所以函数 f(x)= lnx2x 6 只有一个零点。方法二:求函数 f(x)=lnx2x 6 的零点个数即是求方程 lnx2x 6=0 的解的个数即求ln62yx的交点的个数。画图可知只有一个。名师指引 求函数 )(f的零点是高考的热点,有两种常用方法:(代数法)求方程 0x的实数根;(几何法)
6、对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 )(xfy的图像联系起来,并利用函数的性质找出零点题型 3:由函数的零点特征确定参数的取值范围例 3 (2007广东 )已知 a 是实数,函数 axaxf32,如果函数 xfy在区间1,上有零点,求 a 的取值范围。解题思路 要求参数 a 的取值范围,就要从函数 xfy在区间 1,上有零点寻找关于参数 a 的不等式(组) ,但由于涉及到 a 作为 2的系数,故要对 a 进行讨论解析 若 0 , ()23fx ,显然在 1,上没有零点 , 所以 0.令 248340aa, 解得 372a当 7时, yfx恰有一个零点在 1,上;当 0511af ,即 5
7、a时, yfx在,上也恰有一个零点.当 yfx在 ,上有两个零点时, 则208410af或208410af解得 5a或352综上所求实数 的取值范围是 1a 或 352.名师指引 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体,也是高考热点,要深刻理解它们相互之间的关系,能用函数思想来研究方程和不等式,便是抓住了关键.二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据.新题导练1 (09 年浙江五校联考)函数 21fxmx有且仅有一个正实数的零点,则实数m的取值范围是( )A ,;B ,01;C ,0,;D ,1解析 B ;依题意
8、得(1)0)(42fm或(2)0)(42fm或(3) 4)2(0m显然(1)无解;解(2)得 0m;解(3)得 1又当 0时 1)(xf,它显然有一个正实数的零点,所以应选 B2 (中山市 09 届统测)方程 2的实数解的个数为 _ 解析 2;在同一个坐标系中作函数xy)(及 32的图象,发现它们有两个交点故方程 23x的实数解的个数为 2考点 2 用二分法求方程的近似解例 4(斗门一中 09 届模拟)利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:x0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 2y1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6
9、.063 8.0 10.556 x0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 那么方程 2的一个根位于下列区间的( ). A.(0.6,1.0) ;B.(1.4,1.8) ;C.(1.8,2.2) ;D. (2.6,3.0)解题思路 判断函数2)(xf在各个区间两端点的符号解析由 036.51.)60(f , 0.1).(f,故排除 A;由 924.1, 2438,故排除 B;由 4.83)(f , .59.)2(f ,故可确定方程 2x的一个根位于下列区间(1.8,2.2) ,所以选择 C名师指引 用二分法求方程 0)(xf的近似解的关键是先寻找使
10、得函数 )(f在两端点异号的某区间,然后依次取其中点,判断函数 )(xf在中点的符号,接着取两端函数值异号的区间作为新的区间,依次进行下去,就可以找到符合条件的近似解。新题导练 3用二分法研究函数 13)(xf的零点时,第一次经计算 0)(f,0)5.(f,可得其中一个零点 0 ,第二次应计算 ,这时可判断0x解析 ).,(, )25.(f, ).,(;由二分法知 )5.0,(x,这时01325f,故 ).,2(x考点 3 根的分布问题例 4 已知函数 f(x)=mx2+ (m3)x+1 的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,求实数 m 的取值范围解题思路 由于二次函数的图象可能与 x
11、 轴有两个不同的交点,应分情况讨论解析(1)若 m=0,则 f(x)=3x+1,显然满足要求.(2)若 m0,有两种情况:原点的两侧各有一个,则014)3(2mxm0; 都在原点右侧,则 ,01,234)(mx解得 0m1,综上可得 m(,1.名师指引 二次方程根的分布是高考的重点和热点,需要熟练掌握有关二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的分布有关的结论:方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大,另一根比 r 小 af(r)0.二次方程 f(x)=0 的两根都大于 r .0)(,2,4rfabc二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内有两根 .0)(,2,04pfaqbac二次方程
12、f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根 f(p )f(q)0,或 f(p)=0,另一根在(p,q)内或 f(q)=0,另一根在(p,q)内.方程 f(x)=0 的两根中一根大于 p,另一根小于 q(pq) .0)(,qfa新题导练3已知二次函数 f(x)=4x2 2(p2)x2p2p+1,若在区间1,1内至少存在一个实数c,使 f(c)0,则实数 p 的取值范围是_. 解析 (3, 2) 只需 f(1)=2p23p+90 或 f(1)=2p2+p+10即3p 或1p1.p(3, 23).4若方程 x2+(k-2)x+2k-1=0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间
13、,求实数 k 的取值范围.解析 123k;令 2)()(2kxxf,则依题意得0)2(ff,即0124k,解得 23k5.(2007韶关)若关于 x 的方程 4x+2x a+a+1=0 有实数根,求实数 a 的取值范围.解析令 t=2x, t0关于 x 的方程 4x+2x a+a+1=0 有实数根等价于方程 t2+at+a+1=0(t0)有正实数根,令 f(t)= t2+at+a+1,且 42a故方程 t2+at+a+1=0(t0)有正实数根等价于(1)方程有一个正根一个负根:由 f(0)0)的函数 y=f(x)和 y=g(x)的图像如图所示,给出下列四个命题中:(1) 方程 fg(x)=0
14、有且仅有三个解; (2) 方程 gf(x)=0 有且仅有三个解;(3) 方程 ff(x)=0 有且仅有九个解; (4)方程 gg(x)=0 有且仅有一个解。那么,其中正确命题的个数是( )A 1;B. 2;C. 3; D. 4解析 B ;由图可知, )(axf, )(axg,由左图及 fg(x)=0 得a a xyyf(x)Oaaa a xyyg(x)Oaa2)(1axg,02)(,axg, 2)(axg,由右知方程 fg(x)=0 有且仅有三个解,即(1)正确;由右图及 gf(x)=0 得)()(0f,由左图知方程 gf(x)=0 有且仅有一个解,故(2) 错误;由左图及 ff(x)=0 得
15、2)(1axf,02)(,axf, 2)(axf,又由左图得到方程 ff(x)=0 最多有三个解,故(3) 错误;由右图及 gg(x)=0 得)()(0g,由右图知方程 gg(x)=0 有且仅有一个解,即(4)正确,所以应选择 B8 (2008惠州调研)若函数32()fxx的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下: 2)1(f 65.0)1(f 984.0)25.1(f60.375. 4376那么方程 2x的一个近似根(精确到 0.1)为( ).A1.2; B1.3;C 1.4 ; D1.59已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根,其中一根在区间( 1,0)内,另一根在区间(1,2) 内,求 m 的范围.(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围.解析(1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(1,0)和(1,2) 内,画出示意图,得 65,21056)2(,41,)0(mRff 216.(2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0 ,1)内,列不等式组
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