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函数、极限、连续重要概念公式定理.doc

1、一、函数、极限、连续重要概念公式定理(一)数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义:给定数列 ,如果存在常数 ,对任给 ,存在正整数 ,使当 时,恒有nxA0Nn,则称 是数列 的当 趋于无穷时的极限,或称数列 收敛于 ,记为 .若nxA nxAlimnxA的极限不存在,则称数列 发散.n nx收敛数列的性质:(1)唯一性:若数列 收敛,即 ,则极限是唯一的nlimnA(2)有界性:若 ,则数列 有界,即存在 ,使得对 均有 .linxAnx0MnnxM(3)局部保号性:设 ,且 ,则存在正整数 ,当 时,有 .lin0或 N0nnx或(4)若数列收敛于 ,则它的任何子列也收敛于极限 .A

2、(二)函数极限的定义名称 表达式 任给 存在 当时 恒有当 时, 以0xfx为极限A0limxfA00xfxA当 时, 以f为极限 X当 时, 0x以 为右极限fA0lixfde00xfx当 时, 0x以 为左极限f 0limxfA00fA当 时, 以 为极限fxAlixfde0Xxfx当 时, 以fx为极限lixfA0fA(三)函数极限存在判别法 (了解记忆)1海涅定理: 对任意一串 ,都有 0limxf0nx0,12nx limnnfxA2.充要条件:(1) ;0 00li()lilimxxxfAffA(2) .lili()li()xxxfff3.柯西准则: 对任意给定的 ,存在 ,当0l

3、imxfA0, 时,有 .10x212fxf4.夹逼准则:若存在 ,当 时,有 ,且0)()xfx(则 .00lim()li(),xxA0lim()xfA5.单调有界准则:若对于任意两个充分大的 ,有 (或 ),且存在12,x12fx12fxf常数 ,使 (或 ),则 存在.MfxfxMlixf(四)无穷小量的比较 (重点记忆)1.无穷小量阶的定义,设 .lim0,li()(1)若 ,则称 是比 高阶的无穷小量.()li0x()x((2) .li,()若 则 是 比 ( 低 阶 的 无 穷 小 量(3) 是同阶无穷小量.lim0),()xcx若 则 称 与 ((4) ,记为 .()li1,若

4、则 称 与 ( 是 等 价 的 无 穷 小 量 ()x(5) li(0),()kxckxk若 则 称 是 ( 的 阶 无 穷 小 量2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考)当 时,0sinarct,ln(1)exx21cos()x是 实 常 数(五)重要定理 (必记内容,理解掌握)定理 1 .0 00lim()()xfAfxfA定理 2 .0 0li(),lim()x xffaa其 中定理 3 (保号定理): ,当0li(),0xf 设 又 或 则 一 个.0, ()x fx且 时 , 或定理 4 单调有界准则:单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限.定理 5 (夹逼定理

5、):设在 的领域内,恒有 ,且0x()fx(则 00limli,xxA0lim()fA定理 6 无穷小量的性质:(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量;(2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量;(3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量定理 7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量定理 8 极限的运算法则:设 ,则lim,lifxAgxB(1) lim()(fxgAB(2) (3) li(0)()f定理 9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限定理 10 初等函数在其定义域的区间内连续定理 11 设 连续,则 也连续fxfx(六)重要公式 (

6、重点记忆内容,应考必备)(1) 0sinlm1x(2) .(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式:设0li()e,li()enxxn,且 则有 , )lif0fsilm1fx1lifxe(3) 1010,lim,nnmx mnaxaxabbb (4)函数 在 处连续 .fx0000fxffx(5)当 时 ,以下各函数趋于 的速度ln,(1)axxx速 度 由 慢 到 快l,0,!ann速 度 由 慢 到 快(6)几个常用极限lim01,nalim1,nlimarctn2xlirct2xliarcot0,xliotx.e0,xe,x01x(七)连续函数的概念1. 在 处连续,需满足三个条

7、件:f0x 在点 的某个领域内有定义fx0 当 时的极限存在f .00limxffx0 00limlixxyfxf2. 在 左连续: 在 内有定义,且 .ff0limxfx3. 在 右连续: 在 内有定义,且 .fx0fx000lixf4. 在 内连续:如果 在 内点点连续f,abf,ab5. 在 内连续:如果 在 内连续,且左端点 处右连续,右端点 处左连fx, fxxaxb续(八)连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容)1有界性定理:设函数 在 上连续,则 在 上有界 ,即 常数 ,对任意的fxabfx,ab0M,恒有 xabfxM2最大最小值定理:设函数 在 上连续,则在 上 至少取得

8、最大值与最小值各一fxab,abfx次,即 使得:,; .ma,xbffmin,axbffab3介值定理:若函数 在 上连续, 是介于 与 (或最大值 与最小值 )之间fffMm的任一实数,则在 上至少 一个 ,使得,ab.fab4零点定理:设函数 在 上连续,且 ,则在 内至少 一个 ,使得fxab0f,ab0.fab(九)连续函数有关定理1连续函数的四则运算:连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零) 仍为连续函数2反函数的连续性:单值、单调增加(减少) 的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加 (减少)且连续3复合函数的连续性: 在点 连续, ,而函数 在点 连续,则复合函数ux00xuyfu0在点 连续yfx04初等函数的连续性:一切初等函数在其定义区间内是连续函数(十)间断点的定义及分类1定义:若在 处, 不存在 ,或 无定义,或 ,则称 在 处间断,0x0limxf0fx00limxfxf0x称为 的间断点0xf2间断点的分类间断点的类型 条件 例子可去型间断点000fxffx是 的可0xsinxf去型间断点第一类间断点 跳跃型间断点00fxfx是 的x1arctnfx跳跃型间断点无穷型间断点之一是无穷大00,fxf是 的无穷0fx型间断点第二类间断点 振荡型间断点之一不存在且00,ff不是无穷大是 的振x1sinfx荡型间断点

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