1、一、函数、极限、连续重要概念公式定理（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列 ,如果存在常数 ,对任给 ,存在正整数 ,使当 时,恒有nxA0Nn,则称 是数列 的当 趋于无穷时的极限,或称数列 收敛于 ,记为 .若nxA nxAlimnxA的极限不存在,则称数列 发散.n nx收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列 收敛,即 ,则极限是唯一的nlimnA(2)有界性：若 ,则数列 有界,即存在 ,使得对 均有 .linxAnx0MnnxM(3)局部保号性：设 ,且 ,则存在正整数 ,当 时,有 .lin0或 N0nnx或(4)若数列收敛于 ,则它的任何子列也收敛于极限 .A
2、（二）函数极限的定义名称 表达式 任给 存在 当时 恒有当 时, 以0xfx为极限A0limxfA00xfxA当 时, 以f为极限 X当 时, 0x以 为右极限fA0lixfde00xfx当 时, 0x以 为左极限f 0limxfA00fA当 时, 以 为极限fxAlixfde0Xxfx当 时, 以fx为极限lixfA0fA（三）函数极限存在判别法 (了解记忆)1海涅定理： 对任意一串 ,都有 0limxf0nx0,12nx limnnfxA2.充要条件：(1) ;0 00li()lilimxxxfAffA(2) .lili()li()xxxfff3.柯西准则： 对任意给定的 ,存在 ,当0l
3、imxfA0, 时,有 .10x212fxf4.夹逼准则：若存在 ,当 时,有 ,且0)()xfx（则 .00lim()li(),xxA0lim()xfA5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的 ,有 (或 ),且存在12,x12fx12fxf常数 ,使 (或 ),则 存在.MfxfxMlixf（四）无穷小量的比较 (重点记忆)1.无穷小量阶的定义,设 .lim0,li()(1)若 ,则称 是比 高阶的无穷小量.()li0x()x（(2) .li,()若 则 是 比 （ 低 阶 的 无 穷 小 量(3) 是同阶无穷小量.lim0),()xcx若 则 称 与 （(4) ,记为 .()li1,若
4、则 称 与 （ 是 等 价 的 无 穷 小 量 ()x(5) li(0),()kxckxk若 则 称 是 （ 的 阶 无 穷 小 量2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考)当 时,0sinarct,ln(1)exx21cos()x是 实 常 数（五）重要定理 (必记内容,理解掌握)定理 1 .0 00lim()()xfAfxfA定理 2 .0 0li(),lim()x xffaa其 中定理 3 (保号定理)： ,当0li(),0xf 设 又 或 则 一 个.0, ()x fx且 时 ， 或定理 4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限.定理 5 (夹逼定理
5、)：设在 的领域内,恒有 ,且0x()fx（则 00limli,xxA0lim()fA定理 6 无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量;(2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量;(3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量定理 7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量定理 8 极限的运算法则：设 ,则lim,lifxAgxB(1) lim()(fxgAB(2) (3) li(0)()f定理 9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限定理 10 初等函数在其定义域的区间内连续定理 11 设 连续,则 也连续fxfx（六）重要公式 (
6、重点记忆内容,应考必备)(1) 0sinlm1x(2) .(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设0li()e,li()enxxn,且 则有 , )lif0fsilm1fx1lifxe(3) 1010,lim,nnmx mnaxaxabbb (4)函数 在 处连续 .fx0000fxffx(5)当 时 ,以下各函数趋于 的速度ln,(1)axxx速 度 由 慢 到 快l,0,!ann速 度 由 慢 到 快(6)几个常用极限lim01,nalim1,nlimarctn2xlirct2xliarcot0,xliotx.e0,xe,x01x（七）连续函数的概念1. 在 处连续,需满足三个条
7、件：f0x 在点 的某个领域内有定义fx0 当 时的极限存在f .00limxffx0 00limlixxyfxf2. 在 左连续： 在 内有定义,且 .ff0limxfx3. 在 右连续： 在 内有定义,且 .fx0fx000lixf4. 在 内连续：如果 在 内点点连续f,abf,ab5. 在 内连续：如果 在 内连续,且左端点 处右连续,右端点 处左连fx, fxxaxb续（八）连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容)1有界性定理：设函数 在 上连续,则 在 上有界 ,即 常数 ,对任意的fxabfx,ab0M,恒有 xabfxM2最大最小值定理：设函数 在 上连续,则在 上 至少取得
8、最大值与最小值各一fxab,abfx次,即 使得：,; .ma,xbffmin,axbffab3介值定理：若函数 在 上连续, 是介于 与 (或最大值 与最小值 )之间fffMm的任一实数,则在 上至少 一个 ,使得,ab.fab4零点定理：设函数 在 上连续,且 ,则在 内至少 一个 ,使得fxab0f,ab0.fab（九）连续函数有关定理1连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零) 仍为连续函数2反函数的连续性：单值、单调增加(减少) 的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加 (减少)且连续3复合函数的连续性： 在点 连续, ,而函数 在点 连续,则复合函数ux00xuyfu0在点 连续yfx04初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数（十）间断点的定义及分类1定义：若在 处, 不存在 ,或 无定义,或 ,则称 在 处间断,0x0limxf0fx00limxfxf0x称为 的间断点0xf2间断点的分类间断点的类型 条件 例子可去型间断点000fxffx是 的可0xsinxf去型间断点第一类间断点 跳跃型间断点00fxfx是 的x1arctnfx跳跃型间断点无穷型间断点之一是无穷大00,fxf是 的无穷0fx型间断点第二类间断点 振荡型间断点之一不存在且00,ff不是无穷大是 的振x1sinfx荡型间断点
