1、第 页 共 3 页 1函数中的恒成立、恰成立和能成立问题教学目标： 结合具体函数，讨论关于任意与存在性问题的一般解题方法过程与方法 通过研究具体函数及其图象，将任意与存在性问题转化为函数值域关系或最值关系问题：已知函数 1,02)(xkxf ，函数 0,1,5)1(23)( xkxg ，当 6k时，对任意 1，是否存在 0,12， (f成立.若 2k呢？变式 1：对任意 ,x，存在 ,2x， )(12xf成立，求 的取值范围. 的值域是 的值域的子集即可.()fx()g变式 2：存在 1,0 0,2，使得 )(12xfg成立，求 k的取值范围.)(g的值域与 )(xf的值域的交集非空.变式 3
2、：对任意 ,1，存在 ,12x，使得 )(12xf成立，求 的取值范围.)()(mininxf小结： 对函数中的存在性与任意性问题:相等关系转化为函数值域之间的关系，不等关系转化为函数的最值大小.例 1：（1）已知 求实数 的取值范围。2(),1,)(0xaf xfx对 任 意 恒 成 立 ， a（2）已知 ，对任意 ， 的值域是 ，求实数 的取值范围。2()fx,)(f， ）分析：本题第（1）问是一个恒成立问题，由于 ， 恒成立，则此问题等1x02)(xaf价于 恒成立，又等价于 时 的最小值 恒成立.)1(02)(xax 由于 在 时为增函数，所以 ，于是 ，)( 3)1(minax0.3
3、a第（2）问是一个恰成立问题，即当 时， 的值域恰为 ,与（1）不同的是， （1）是1x)(xf)0时， 恒成立，因此允许在 时， 的取值为 ， ，-等等.1x0)(xf 23Comment A1: 怎么理解 Comment A2: ，-1,2 是其根。20xa。复习时该回顾第 页 共 3 页 2而 的值域为 ，则当 时， 只能取 ，而不能是其他.)(xf),01x)(f),0，当 时，由于 ， 与其值域为a2a1x32(xaf矛盾，所以有 .),0注意到当 时，函数 都是 上的增函数，因而 也是 上的增函数.于xy,),)(f),1是 在 时的最小值为 ，令 ，即 ，得 .)(xf1)1(f
4、0021a3小结：1、解恒成立题的基本思路是：若 在 D上恒成立，等价于 在 D上的最小Af)(, )(xf值 成立，若 在 D上恒成立，则等价于 在 D上的最大值 成立.Af)(minBxf)( xf Bma2、解决恰成立问题的的基本思路是：若 在 D上恰成立，等价于 在 D上)(, )(f的最小值 ，若 在 D上恰成立，则等价于 在 D上的最大值f)(in,f)( )(f.xma恰成立问题：若不等式 在区间 上恰成立, 则等价于不等式 的解集为 ；若不等式 在区间 上恰成立, 则等价于不等式 的解集为 .例 2：函数 2fxa（1）定义域为区间 ，求实数 的取值范围.1,（2）在区间 上有
5、意义，求实数 的取值范围；分析：（1）由题意知不等式 的解集为-1,2，20xa即 的解集为-1,2，则 的两根为-1，2 则 或20xa22a1（2）由题意知，不等式 在-1,2上恒成立2x即: 恒成立,12 ,1)(max2a或 时， 或()4x2a2能成立问题（存在）：若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 上 ；第 页 共 3 页 3若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 上的 .练习 1.如已知不等式 在实数集 上的解集不是空集，求实数 的取值范围_练习 2. 已知两函数 232()816,()54fxxkgx，k 为实数。（）对任意的 3,，有 ()f成立，求实数 k 的取值范围；（）对任意的 1， 23,，有 12()fg成立，求实数 k 的取值范围；（）对任意的 2,x，总存在 1x，有 ()x成立，求实数 k 的取值范围。练习 3.已知函数 2()3,()fxmgxm（1）求证：函数 必有零点（2）设函数 ()Gx()1fx若 在 上是减函数，求实数 的取值范围；|1,0m
