1、第 页 共 3 页 1函数中的恒成立、恰成立和能成立问题教学目标: 结合具体函数,讨论关于任意与存在性问题的一般解题方法过程与方法 通过研究具体函数及其图象,将任意与存在性问题转化为函数值域关系或最值关系问题:已知函数 1,02)(xkxf ,函数 0,1,5)1(23)( xkxg ,当 6k时,对任意 1,是否存在 0,12, (f成立.若 2k呢?变式 1:对任意 ,x,存在 ,2x, )(12xf成立,求 的取值范围. 的值域是 的值域的子集即可.()fx()g变式 2:存在 1,0 0,2,使得 )(12xfg成立,求 k的取值范围.)(g的值域与 )(xf的值域的交集非空.变式 3
2、:对任意 ,1,存在 ,12x,使得 )(12xf成立,求 的取值范围.)()(mininxf小结: 对函数中的存在性与任意性问题:相等关系转化为函数值域之间的关系,不等关系转化为函数的最值大小.例 1:(1)已知 求实数 的取值范围。2(),1,)(0xaf xfx对 任 意 恒 成 立 , a(2)已知 ,对任意 , 的值域是 ,求实数 的取值范围。2()fx,)(f, )分析:本题第(1)问是一个恒成立问题,由于 , 恒成立,则此问题等1x02)(xaf价于 恒成立,又等价于 时 的最小值 恒成立.)1(02)(xax 由于 在 时为增函数,所以 ,于是 ,)( 3)1(minax0.3
3、a第(2)问是一个恰成立问题,即当 时, 的值域恰为 ,与(1)不同的是, (1)是1x)(xf)0时, 恒成立,因此允许在 时, 的取值为 , ,-等等.1x0)(xf 23Comment A1: 怎么理解 Comment A2: ,-1,2 是其根。20xa。复习时该回顾第 页 共 3 页 2而 的值域为 ,则当 时, 只能取 ,而不能是其他.)(xf),01x)(f),0,当 时,由于 , 与其值域为a2a1x32(xaf矛盾,所以有 .),0注意到当 时,函数 都是 上的增函数,因而 也是 上的增函数.于xy,),)(f),1是 在 时的最小值为 ,令 ,即 ,得 .)(xf1)1(f
4、0021a3小结:1、解恒成立题的基本思路是:若 在 D上恒成立,等价于 在 D上的最小Af)(, )(xf值 成立,若 在 D上恒成立,则等价于 在 D上的最大值 成立.Af)(minBxf)( xf Bma2、解决恰成立问题的的基本思路是:若 在 D上恰成立,等价于 在 D上)(, )(f的最小值 ,若 在 D上恰成立,则等价于 在 D上的最大值f)(in,f)( )(f.xma恰成立问题:若不等式 在区间 上恰成立, 则等价于不等式 的解集为 ;若不等式 在区间 上恰成立, 则等价于不等式 的解集为 .例 2:函数 2fxa(1)定义域为区间 ,求实数 的取值范围.1,(2)在区间 上有
5、意义,求实数 的取值范围;分析:(1)由题意知不等式 的解集为-1,2,20xa即 的解集为-1,2,则 的两根为-1,2 则 或20xa22a1(2)由题意知,不等式 在-1,2上恒成立2x即: 恒成立,12 ,1)(max2a或 时, 或()4x2a2能成立问题(存在):若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 上 ;第 页 共 3 页 3若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 上的 .练习 1.如已知不等式 在实数集 上的解集不是空集,求实数 的取值范围_练习 2. 已知两函数 232()816,()54fxxkgx,k 为实数。()对任意的 3,,有 ()f成立,求实数 k 的取值范围;()对任意的 1, 23,,有 12()fg成立,求实数 k 的取值范围;()对任意的 2,x,总存在 1x,有 ()x成立,求实数 k 的取值范围。练习 3.已知函数 2()3,()fxmgxm(1)求证:函数 必有零点(2)设函数 ()Gx()1fx若 在 上是减函数,求实数 的取值范围;|1,0m