1、1第十五讲 圆(二)一、课标下复习指南1圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义(2)请看表 151:表 151两圆的位置 图形 圆心距 d 与两圆的半径 R、r 的关系外离 dRr外切 dRr相交 RrdRr(Rr)内切 dRr(R r )内含 0dR r (R r)2正多边形和圆(1)基本概念正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的中心角、正多边形的边心距(2)正多边形的有关计算如图 151,设正 n 边形的中心角为 ,半径为 R,边长为 an,边心距为 rn,周长为Pn,面积为 Sn,则由图形的有关性质可以推得:图 151 ;18036
2、n正 n 边形的一个内角为 ;80)2(n正 n 边形的中心角与外角相等; ;1cos;180si2RrnRa ;4naPr2nnnarPrS21已知:正 n 边形的边长为 a,请填写表(152) :表 152正 n 边形 n3 n4 n6图形中心角半径边心距周长面积已知:正 n 边形的半径为 R,请填写表 153表 153正 n 边形 n3 n4 n6图形中心角边长边心距周长面积3与圆有关的计算(1)圆的周长 C2R (2)弧长 180nl(3)圆的面积 SR 2(4)扇形面积 S 扇形 (其中 l 为扇形的弧长).136lR4与圆有关的作图(1)过不在同一直线上的三个点作圆(2)作三角形的
3、内切圆(3)等分圆周(三、六、十二、四、八、五等分),作正三角形、正四边形、正六边形等5圆锥的侧面积和全面积(1)圆锥的侧面积:S 圆锥侧 (l2r,R 是圆锥母线长, r 是圆锥的底面半径) 1(2)圆锥的全面积:S 圆锥全 S 圆锥侧 S 圆锥底 二、例题分析例 1 已知:如图 152,水平地面上有一面积为 30cm2 的扇形 AOB,半径OA6cm ,且 OA 与地面垂直在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至 OB 与地面垂直3为止,求 O 点移动的距离图 152解 观察图形可知 O 点移动距离即为扇形滚动距离,而扇形滚动距离为优弧 的弧长 ,21RlS630l (cm)1答:O 点移动的
4、距离为 10cm例 2 (1)如图 153(a),扇形 OAB 的圆心角为 90,分别以 OA,OB 为直径在扇形内作半圆,P 和 Q 分别表示阴影部分的面积,那么 P 和 Q 的大小关系是( )图 153(a)APQ BPQC PQ D无法确定(2)如图 153(b),ABC 为等腰直角三角形,AC 3,以 BC 为直径的半圆与斜边 AB交于点 D,则图中阴影部分的面积是 _ 图 153(b)(3)如 图 15 3(c), AOB 中 , OA 3cm, OB 1cm, 将 AOB 绕 点 O 逆 时 针 旋 转90到 AOB,求 AB 扫过的区域(图中阴影部分)的面积(结果保留)图 153
5、(c)分析 直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时,可采用和差法、转化法、方程法4等,有时也需要运用变换的观点来解决问题解 (1)阴影部分的面积直接求出十分困难,可利用几个图形面积的和差进行计算:PS 扇形 OAB 2S 半圆 OCAQ ;)1(4R(2)(转化法 “凑整 ”)利用 S 弓形 BmDS 弓形 CnD,则阴影部分的面积可转化为ACD 的面积,等于ABC 面积的一半,答案为 ;49(3)(旋转法 )将图形 ABM 绕点 O 逆时针旋转到 ABM位置,则S 阴影 S 扇形 AOA S 扇形 MOM.2412MO例 3 如图 154,梯形 ABCD 中,AD BC,C90 ,ABAD4
6、,BC6,以A 为圆心在梯形内画出一个最大的扇形(图中阴影部分) ,求阴影部分的面积及扇形的弧长图 154解 设切点为 E,连接 AE,则 AEBC CD90,四边形 ADCE 是矩形CEAD4BC6,BE2 ,1ABEBAE 30,AE .32DAB120 .460)(1S382l三、课标下新题展示例 4 如图 155,点 A,B 在直线 MN 上,AB11 厘米, A、B 的半径均为 1 厘米A 以每秒 2 厘米的速度自左向右运动,与此同时,B 的半径也不断增大,其半径r(厘米) 与时间 t(秒) 之间的关系式为 r1t(t0)图 1555(1)试写出点 A,B 之间的距离 d(厘米) 与
7、时间 t(秒)之间的函数表达式;(2)问:点 A 出发后多少秒时两圆相切?解 (1)函数表达式为.)5(12,0ttd(2)两圆相切可分为如下四种情况:当两圆第一次外切,由题意可得 112t1(1t ),其中 0t5.5,解得 t3;当两圆第一次内切,由题意可得 112t(1t )1,其中 0t5.5,解得 1当两圆第二次内切,由题意可得 2t11(1t )1,其中 t5.5,解得 t11;当两圆第二次外切,由题意可得 2t11(1t )1,其中 t5.5,解得 t13所以,点 A 出发后 3 秒、秒、11 秒、13 秒时两圆相切四、课标考试达标题(一)选择题1如果两圆只有一个公共点,那么这两
8、圆的位置关系是( )A外切 B内切C 外切或内切 D外离或内含2如果两圆的半径分别为 6cm 和 4cm,圆心距为 8cm,那么这两个圆的位置关系是( )A外离 B外切 C相交 D内切3若一个正多边形的内角和是它的外角和的 4 倍,则这个正多边形的边数为( )A4 B5 C6 D104扇形的弧长为 4cm,半径为 6cm,则圆心角为( )A60 B90C 120 D1505如图 156,有一圆心角为 120,半径长为 6cm 的扇形,若将 OA,OB 重合后围成一圆锥,那么圆锥的高是( )图 156A Bcm24 cm35C D626如果扇形的圆心角为 150,它的面积为 240cm2,那么扇
9、形的半径为( )A48 B6 C12 D247下列说法不正确的是( )A若两圆有且只有两个公共点,则这两圆相交B若两圆有唯一公共点,则这两圆相切C若两圆没有公共点,则这两圆外离6D若两圆有三个公共点,则这两圆重合8如图 157,有六个等圆按图(a)、(b)、(c) 三种样式摆放,使相邻两圆互相外切,圆心连心线分别构成正六边形、平行四边形、正三角形,圆心连线外侧的六个扇形(阴影部分)的面积之和依次记为 S,P ,Q ,则 ( )图 157ASPQ BSQP CSPQ DSPQ(二)填空题9我国国旗上的正五角星的一个锐角是_10如图 158,当半径为 30cm 的转动轮转过 120角时,传送带上的
10、物体 A 平移的距离为_cm图 15811如图 159,扇形 OAB 是一个圆锥的侧面展开图,若小正方形方格的边长为 1,则这个圆锥的底面半径为_图 15912如图 1510,在半径为 R 的圆内作一个内接正方形,然后作这个正方形的内切圆,又在这个内切圆中作内接正方形,依次作到第 n 个内切圆,则第 n 个内切圆的半径是_图 1510(三)解答题13如图 1511,在长方形 ABCD 中,AB3,BC1,E 在 AB 上,AE2分别以E,B 为圆心,以 2 为半径画圆弧交 DC 于 F,G ,交 AB 于 A,H 7图 1511(1)求四边形 BEFG 的面积;(2)求由 和 两段圆弧及线段
11、AH,FG 所围成的阴影部分的面积14如图 1512,从一个直径是 2 的圆形铁皮中剪下一个圆心角为 90的扇形,直角顶点在圆上图 1512(1)求这个扇形的面积(结果保留 );(2)在剩下的三块余料中,能否从第块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?请说明理由(3)当O 的半径 R(R0)为任意值时, (2)中的结论是否依然成立?请说明理由8参考答案第十五讲 圆(二)1C 2C 3D 4C 5A 6D7C 8D 936 1020 11 212 .)(Rn13解:(1)F 到 AB 的距离AD1,AEF 30同理,EBGAEF30EFBG S BEFG1 11(2)S 阴 S 扇形 AEFS BEFGS 扇形 HBGS BEFG114解:(1)如答图 153,连接 BC,由勾股定理求得答图 151,2ACB360)(92RnS.21(2)连接 AO 并延长,与弧 BC 和O 交于点 E,F ,则 EFAFAE, 的长.21809Rn设底面圆半径为 r ,圆锥的底面直径为 2r r ,不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥(3)设大圆半径为 R,由勾股定理求得 ABAC ,2R的长 .2180)(99,2Rr圆锥的底面直径为 .2r.)(RAEF ,且 ,20R.)(即无论半径 R 为何值,EF 2r不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥
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