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弹性力学简明教程(第四版)-习题解答(DOC).doc

1、1【2-9】 试列出图 2-17,图 2-18 所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上,应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 xy2h1bgo2 xyl/2hMNFS1q图 2-17 图 2-18【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件,若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式,大边界上应精确满足公式(2-15) 。【解答】图 2-17:上(y=0) 左(x=0) 右(x=b )l0 -1 1m-1 0 0 xfs0 1gyh1gyhy1h0 0代入公式(2-15)得在主要边界上 x=0, x=b 上精确满足应力边界条件:100(),;x xyghbbx在小边界 上,能精确满足下

2、列应力边界条件:y00,yxygh在小边界 上,能精确满足下列位移边界条件:2yh22,yhyhuv这两个位移边界条件可以应用圣维南原理,改用三个积分的应力边界条件来代替,当板厚 时,可求得固定端约束反力分别为:=10,0sNFghbM2由于 为正面,故应力分量与面力分量同号,则有:2yh2221000byhbxyhdxgb图 2-18上下主要边界 y=-h/2, y=h/2 上,应精确满足公式(2-15)lm(s)xf(s)yf2hy0 -1 0 q0 1 - 10, , ,-/2()yhq-/2()yxh/2()yh/21()yxh在 =0 的小边界上,应用圣维南原理,列出三个积分的应力边

3、界条件:x负面上应力与面力符号相反,有 /20/2/0()()hxySNhxdFM在 x=l 的小边界上,可应用位移边界条件 这两个位移边界0,lxlxvu条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。首先,求固定端约束反力,按面力正方向假设画反力,如图所示,列平衡方程求反力: 110,xNNFqlFl0ySSSq22110, 2AS SlhqlMlqlhMF由于 x=l 为正面,应力分量与面力分量同号,故/212/2/()2()hxlNNl ShxylSdyFlqhqlFlMNFS3【2-10 】试应用圣维南原理,列出图 2-19 所示的两个问题中 OA 边上的三个积分的应力边界条件,并比较两者

4、的面力是否是是静力等效?【解答】由于 ,OA 为小边界,故其上可用圣hl?维南原理,写出三个积分的应力边界条件:(a)上端面 OA 面上面力 qbxfyx,0由于 OA 面为负面,故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反,有(对 OA 中点取矩)0000 2000000 21bbbyybbbyybyx xqdxfdbf xd ()应用圣维南原理,负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反,面力主矢 y 向为正,主矩为负,则 00 2001byNybxqbdxFM综上所述,在小边界 OA 上,两个问题的三个积分的应力边界条件相同,故这两个问题是静力等效的。【2-14 】检验下列应力分量是否是

5、图示问题的解答: qabyxOxylO/2hq图 2-20 图 2-21xyhob,1hbqAxyo/2bMANFq21a图 2-194(a)图 2-20, , 。2xyqbs=0yx【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答,必须满足:(1)平衡微分方程(2-2) ;(2)用应力表示的相容方程(2-21) ;(3)应力边界条件(2-15) 。(1)将应力分量代入平衡微分方程式,且 0xyf显然满足0yxyy(2)将应力分量代入用应力表示的相容方程式(2-21) ,有等式左= = =右2xyx20qb应力分量不满足相容方程。因此,该组应力分量不是图示问题的解答。(b)图 2-21,由材

6、料力学公式, , (取梁的厚度 b=1),xMyI*sxFSbI得出所示问题的解答: , 。又根据平衡微分32xyqlh223-(4)xqhyl方程和边界条件得出: 。试导出上述公式,并检验解32ylll答的正确性。【解答】 (1)推导公式在分布荷载作用下,梁发生弯曲形变,梁横截面是宽度为 1,高为 h 的矩形,其对中性轴(Z 轴)的惯性矩 ,应用截面法可求出任意截面的弯矩312hI方程和剪力方程 。3(),6qqxMxFll所以截面内任意点的正应力和切应力分别为: 32xxyqIlh。22331.42sxyFybhl5根据平衡微分方程第二式(体力不计) 。 0yxy得: 33.2yqAlhl

7、根据边界条件 /20yh得 q.2xAl故 33.yylhll将应力分量代入平衡微分方程(2-2)第一式:满足22336.0xyqlhl左 右第二式 自然满足将应力分量代入相容方程(2-23) 2 3312.0左 右 xyxyqxylhl应力分量不满足相容方程。故,该分量组分量不是图示问题的解答。【2-18 】设有矩形截面的悬臂梁,在自由端受有集中荷载 F(图 2-22) ,体力可以不计。试根据材料力学公式,写出弯应力 ,然后证明这些表达式0y满足平衡微分方程和相容方程,再说明这些表达式是否就表示正确的解答。【解答】 (1)矩形悬臂梁发生弯曲变形,任意横截面上的弯矩方程 ,横截面对中性轴()M

8、xF的惯性矩为 ,根据材料力学公式3/2zIh弯应力 ;3()1xzyxIh该截面上的剪力为 ,剪应力为sF xylO/2hF16* 233() /26241/sxyzFShyFhybybI 取挤压应力 0y(2)将应力分量代入平衡微分方程检验第一式: 2310Fyh左 右第二式:左=0+0=0=右该应力分量满足平衡微分方程。(3)将应力分量代入应力表示的相容方程满足相容方程2()0xy左 右(4)考察边界条件在主要边界 上,应精确满足应力边界条件(2-15) /2hlmxfyf2y上0 -1 0 0h上0 1 0 0代入公式(2-15) ,得-/2/2/2/2,;,yxyyyxhhhh在次要

9、边界 x=0 上,列出三个积分的应力边界条件,代入应力分量主矢主矩 /20/2 2/ /203()6()()4hxhhxydyxFydFy向 面 力 主 矢面 力 主 矩 向 面 力 主 矢满足应力边界条件 MNFS7在次要边界上,首先求出固定边面力约束反力,按正方向假设,即面力的主矢、主矩, 0,NSFMFl其次,将应力分量代入应力主矢、主矩表达式,判断是否与面力主矢与主矩等效:/2/231()0hhxl NdylydF/ /222lhhlM/ / 23226()4xyl Shhdyd满足应力边界条件,因此,它们是该问题的正确解答。第一章 平面问题的直角坐标解答【3-4】 试考察应力函数 在

10、图 3-8 所示的3ay矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)? 【解答】相容条件:不论系数 a 取何值,应力函数 总能满足3ay应力函数表示的相容方程,式(2-25).求应力分量当体力不计时,将应力函数 代入公式(2-24) ,得6,0,xyxya考察边界条件上下边界上应力分量均为零,故上下边界上无面力.左右边界上;当 a0 时,考察 分布情况,注意到 ,故 y 向无面力x0xy左端: 0()6xfayhxf右端: xl()()yl应力分布如图所示,当 时应用圣维南原理可以将分布的面力,等效为l?主矢,主矩xylOh图 3-88xyOfxf主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下,可解决各

11、种偏心拉伸问题。偏心距 e:因为在 A 点的应力为零。设板宽为b,集中荷载 p 的偏心距 e: 2()0/6/6xApehbh同理可知,当 0 时,可以解决偏心压缩问题。a【3-5】 取满足相容方程的应力函数为: 试求出2,axy2,bxy3,cxy应力分量(不计体力) ,画出图 3-9 所示弹性体边界上的面力分布,并在小边界上表示出面力的主矢量和主矩。【解答】 (1)由应力函数 ,得应力分量表达式2axy0,2x yxa考察边界条件,由公式(2-15) ()(sxyxylmf主要边界,上边界 上,面力为2hy()xfax()2yhfa主要边界,下边界 ,面力为y()2,xhfx()yfh次要

12、边界,左边界 x=0 上,面力的主矢,主矩为x 向主矢: /20()hxxFdyy 向主矢: /2yyh主矩: /0()xMePPxylO/2h图 3-9 ()lhal2hOxyyxA9次要边界,右边界 x=l 上,面力的主矢,主矩为x 向主矢: /2()0hxxlFdyy 向主矢: / /22()2hyylhaldylh主矩: /()xlM弹性体边界上面力分布及次要边界面上面力的主矢,主矩如图所示 2by将应力函数代入公式(2-24) ,得应力分量表达式, ,2xb0y2xyby考察应力边界条件,主要边界,由公式(2-15)得在 主要边界,上边界上,面力为2hy ,022xyhhff在 ,下

13、边界上,面力为 ,02xyhfybf在次要边界上,分布面力可按(2-15)计算,面里的主矢、主矩可通过三个积分边界条件求得:在左边界 x=0,面力分布为 0,02xyffxby面力的主矢、主矩为x 向主矢: 20hxxFdyy 向主矢: 2200hhyxy xbyd主矩; /02()hxMd在右边界 x=l 上,面力分布为,xyflbflby面力的主矢、主矩为x 向主矢: /2/2hhxxlFdlyblh y 向主矢: / /22 0yyxlhhd主矩: / /lMly10弹性体边界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如图所示 ahOyxl2xahy(3) 3cy将应力函数代入公式(2-24

14、) ,得应力分量表达式 26,0,3xyxyccy考察应力边界条件,在主要边界上应精确满足式(2-15) 2hy上 边 界 上 , 面 力 为 23,04x yhhfycf h =2下 边 界 上 , 面 力 为 23,04x yhhfycf次要边界上,分布面力可按(2-15)计算,面力的主矢、主矩可通过三个积分边界求得:左边界 x=0 上,面力分布为2/20/ /232h/0-0,3x 134xyhxxhyyxffcyFdy cydhM 面 力 的 主 矢 、 主 矩 为向 主 矢 :向 主 矢 :主 矩 :右边界 上,面力分布为l26,3xyflcfxlcy面力的主矢、主矩为x 向主矢 /2/20hhxxlFdldy 向主矢: / /232 134yyxlhhcych

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