1、1【2-9】 试列出图 2-17，图 2-18 所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 xy2h1bgo2 xyl/2hMNFS1q图 2-17 图 2-18【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15） 。【解答】图 2-17：上（y=0） 左(x=0) 右（x=b ）l0 -1 1m-1 0 0 xfs0 1gyh1gyhy1h0 0代入公式（2-15）得在主要边界上 x=0， x=b 上精确满足应力边界条件：100(),;x xyghbbx在小边界 上，能精确满足下
2、列应力边界条件：y00,yxygh在小边界 上，能精确满足下列位移边界条件：2yh22,yhyhuv这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚 时，可求得固定端约束反力分别为：=10,0sNFghbM2由于 为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：2yh2221000byhbxyhdxgb图 2-18上下主要边界 y=-h/2， y=h/2 上，应精确满足公式（2-15）lm(s)xf(s)yf2hy0 -1 0 q0 1 - 10， ， ，-/2()yhq-/2()yxh/2()yh/21()yxh在 =0 的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边
3、界条件：x负面上应力与面力符号相反，有 /20/2/0()()hxySNhxdFM在 x=l 的小边界上，可应用位移边界条件 这两个位移边界0,lxlxvu条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力： 110,xNNFqlFl0ySSSq22110, 2AS SlhqlMlqlhMF由于 x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故/212/2/()2()hxlNNl ShxylSdyFlqhqlFlMNFS3【2-10 】试应用圣维南原理，列出图 2-19 所示的两个问题中 OA 边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者
4、的面力是否是是静力等效？【解答】由于 ，OA 为小边界，故其上可用圣hl?维南原理，写出三个积分的应力边界条件：(a)上端面 OA 面上面力 qbxfyx,0由于 OA 面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有(对 OA 中点取矩)0000 2000000 21bbbyybbbyybyx xqdxfdbf xd ()应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢 y 向为正，主矩为负，则 00 2001byNybxqbdxFM综上所述，在小边界 OA 上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。【2-14 】检验下列应力分量是否是
5、图示问题的解答： qabyxOxylO/2hq图 2-20 图 2-21xyhob,1hbqAxyo/2bMANFq21a图 2-194（a）图 2-20， ， 。2xyqbs=0yx【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2） ；（2）用应力表示的相容方程（2-21） ；（3）应力边界条件（2-15） 。（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且 0xyf显然满足0yxyy（2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21） ，有等式左= = =右2xyx20qb应力分量不满足相容方程。因此，该组应力分量不是图示问题的解答。（b）图 2-21，由材
6、料力学公式， ， (取梁的厚度 b=1)，xMyI*sxFSbI得出所示问题的解答: ， 。又根据平衡微分32xyqlh223-(4)xqhyl方程和边界条件得出： 。试导出上述公式，并检验解32ylll答的正确性。【解答】 （1）推导公式在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为 1，高为 h 的矩形，其对中性轴（Z 轴）的惯性矩 ，应用截面法可求出任意截面的弯矩312hI方程和剪力方程 。3(),6qqxMxFll所以截面内任意点的正应力和切应力分别为： 32xxyqIlh。22331.42sxyFybhl5根据平衡微分方程第二式（体力不计） 。 0yxy得： 33.2yqAlhl
7、根据边界条件 /20yh得 q.2xAl故 33.yylhll将应力分量代入平衡微分方程（2-2）第一式：满足22336.0xyqlhl左 右第二式 自然满足将应力分量代入相容方程（2-23） 2 3312.0左 右 xyxyqxylhl应力分量不满足相容方程。故，该分量组分量不是图示问题的解答。【2-18 】设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载 F（图 2-22） ，体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力 ，然后证明这些表达式0y满足平衡微分方程和相容方程，再说明这些表达式是否就表示正确的解答。【解答】 （1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程 ，横截面对中性轴()M
8、xF的惯性矩为 ，根据材料力学公式3/2zIh弯应力 ；3()1xzyxIh该截面上的剪力为 ，剪应力为sF xylO/2hF16* 233() /26241/sxyzFShyFhybybI 取挤压应力 0y（2）将应力分量代入平衡微分方程检验第一式： 2310Fyh左 右第二式：左=0+0=0=右该应力分量满足平衡微分方程。（3）将应力分量代入应力表示的相容方程满足相容方程2()0xy左 右（4）考察边界条件在主要边界 上，应精确满足应力边界条件(2-15) /2hlmxfyf2y上0 -1 0 0h上0 1 0 0代入公式（2-15） ，得-/2/2/2/2,;,yxyyyxhhhh在次要
9、边界 x=0 上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢主矩 /20/2 2/ /203()6()()4hxhhxydyxFydFy向 面 力 主 矢面 力 主 矩 向 面 力 主 矢满足应力边界条件 MNFS7在次要边界上，首先求出固定边面力约束反力，按正方向假设，即面力的主矢、主矩， 0,NSFMFl其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效：/2/231()0hhxl NdylydF/ /222lhhlM/ / 23226()4xyl Shhdyd满足应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。第一章 平面问题的直角坐标解答【3-4】 试考察应力函数 在
10、图 3-8 所示的3ay矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)? 【解答】相容条件:不论系数 a 取何值，应力函数 总能满足3ay应力函数表示的相容方程，式(2-25).求应力分量当体力不计时，将应力函数 代入公式(2-24) ，得6,0,xyxya考察边界条件上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.左右边界上；当 a0 时，考察 分布情况，注意到 ，故 y 向无面力x0xy左端: 0()6xfayhxf右端: xl()()yl应力分布如图所示，当 时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为l?主矢，主矩xylOh图 3-88xyOfxf主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各
11、种偏心拉伸问题。偏心距 e：因为在 A 点的应力为零。设板宽为b，集中荷载 p 的偏心距 e： 2()0/6/6xApehbh同理可知，当 0 时，可以解决偏心压缩问题。a【3-5】 取满足相容方程的应力函数为： 试求出2,axy2,bxy3,cxy应力分量（不计体力） ，画出图 3-9 所示弹性体边界上的面力分布，并在小边界上表示出面力的主矢量和主矩。【解答】 （1）由应力函数 ，得应力分量表达式2axy0,2x yxa考察边界条件，由公式（2-15） ()(sxyxylmf主要边界，上边界 上，面力为2hy()xfax()2yhfa主要边界，下边界 ，面力为y()2,xhfx()yfh次要
12、边界，左边界 x=0 上，面力的主矢，主矩为x 向主矢： /20()hxxFdyy 向主矢： /2yyh主矩： /0()xMePPxylO/2h图 3-9 ()lhal2hOxyyxA9次要边界，右边界 x=l 上，面力的主矢，主矩为x 向主矢： /2()0hxxlFdyy 向主矢： / /22()2hyylhaldylh主矩： /()xlM弹性体边界上面力分布及次要边界面上面力的主矢，主矩如图所示 2by将应力函数代入公式（2-24） ，得应力分量表达式， ，2xb0y2xyby考察应力边界条件，主要边界,由公式（2-15）得在 主要边界，上边界上，面力为2hy ,022xyhhff在 ，下
13、边界上，面力为 ,02xyhfybf在次要边界上，分布面力可按(2-15)计算，面里的主矢、主矩可通过三个积分边界条件求得：在左边界 x=0，面力分布为 0,02xyffxby面力的主矢、主矩为x 向主矢： 20hxxFdyy 向主矢： 2200hhyxy xbyd主矩； /02()hxMd在右边界 x=l 上，面力分布为,xyflbflby面力的主矢、主矩为x 向主矢： /2/2hhxxlFdlyblh y 向主矢： / /22 0yyxlhhd主矩： / /lMly10弹性体边界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如图所示 ahOyxl2xahy（3） 3cy将应力函数代入公式（2-24
14、） ，得应力分量表达式 26,0,3xyxyccy考察应力边界条件，在主要边界上应精确满足式（2-15） 2hy上 边 界 上 ， 面 力 为 23,04x yhhfycf h =2下 边 界 上 ， 面 力 为 23,04x yhhfycf次要边界上，分布面力可按（2-15）计算，面力的主矢、主矩可通过三个积分边界求得：左边界 x=0 上，面力分布为2/20/ /232h/0-0,3x 134xyhxxhyyxffcyFdy cydhM 面 力 的 主 矢 、 主 矩 为向 主 矢 ：向 主 矢 ：主 矩 ：右边界 上，面力分布为l26,3xyflcfxlcy面力的主矢、主矩为x 向主矢 /2/20hhxxlFdldy 向主矢： / /232 134yyxlhhcych
