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第2章概率论.doc

1、第 2 章 习题同步解析1. 下列给出的两个数列,是否为随机变量的分布律,并说明理由(1) ;(2) ;(3)5,431,05ipi ,210,652ipi,2i解 要说明题中给出的数列,是否是随机变量的分布律,只要验证 是否满足下列两个条ip件: , ,1,0ipi 1ip依据上面的说明可得(1)中的数列为随机变量的分布律;(2)中的数列不是随机变量的分布律,因为 ;(3)中的数列不是随机变量的分布律,这是因064953为 5120ip2. 一袋中有 5 个乒乓球,编号分别为 1,2,3,4,5,从中随机地取 3 个,以 表X示取出的 3 个球中最大号码,求 的概率分布X解 依题意 可能取到

2、的值为 ,事件 表示随机取出的 3 个球的最大号码,X为 3,则另两个球的只能为 1 号,2 号,即 ;事件 表示随机取3510PC4X出的 3 个球的最大号码为 4,因此另外 2 个球可在 号球中任选,此时,;同理可得 235140CPX 2435160PX的分布律为3 4 5101063. 某射手有 5 发子弹,现对一目标进行射击,每次射击命中率为 ,如果击中就停7.0止射击,如果不中就一直射击到子弹用尽, 求子弹剩余数的分布列解 令 表示子弹剩余的数目,则 可能取值 ,根据题意得XX,234240.7;30.7.1;0.7.063PP43 11.189;.81iXi的分布律为XX1 2

3、3 4P0.8.90.1.74. 试确定常数 ,使 成为某个随机变量 的分布律,c,icX并求: ; 2PX152X解 要使 成为某个随机变量的分布律,必须有 ,由此解得 ;ic 1240iic316c(2) 201PXPX28436(3) 152 15. 一口袋中有 6 个球,在这 6 个球上分别标有 这样的数字从这袋中3,2任取一球,设各个球被取到的可能性相同,求取得的球上标明的数字 的分布律与分布函X数解 可能取的值为 ,且 ,即X3,12111,326PXP的分布律为-3 1 26的分布函数X0,3,115,2,61.xFxPXx6. 设离散型随机变量 的分布函数为 ,求 的分布律X0

4、, .418, 31xFxX解 可以看出 取值为 ,且 在每点取值的概率是该点的跳跃高度,所以1,3;()0)(0).40.PXFF;1()10)(1)0.84.PXFF33(2所以其分布列为-1 1 2P0.4.7. 设随机变量 ,已知 ,求 与 的值(6,)XBp5XPp2PX解 由于 ,因此 661,01,6kkCp由此可算得 即551(),(),P解得 ;56()pp2p此时, 266154XC8. 有一汽车站有大量汽车通过,每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为 0.0001,在某天该段时间内有 1000 辆汽车通过,求事故次数不少于 2 的概率解 设 为 1000 辆汽车中出事故的次

5、数,依题意, 服从 的二X01.,1pn项分布,即 ,由于 较大, 较小,因此也可以近似地认为 服从(10,.)XBnpX的泊松分布,即 ,所求概率为.np (0.1)P01.0.21!948374.679.PXe9. 一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为 4 的泊松分布,求(1)某一分钟恰有8 次呼唤的概率;(2) 某一分钟的呼唤的次数大于 3 的概率解 设 为电话总机每分钟收到呼唤的次数,依题意 ,则X()XP(1)840.29!Pe(2)3440311.350.6!kkXe10. 某航线的航班,常常有旅客预定票后又临时取消,每班平均为 4 人若预定票而又取消的人数服从以平均人数为参数

6、的泊松分布,求:(1) 正好有 4 人取消的概率; (2) 不超过 3 人(含 3 人) 取消的概率;(3) 超过 6 人(含 6 人)取消的概率; (4) 无人取消的概率.解 设 为取消的人数,依题意 ,则X(4)XP(1) .40195!Pe(2) .3403!kX(3) .5446011.7852014!kkPee(4) .0483!X11. 设连续型随机变量 的密度函数为其 他01)(xAxf求(1) 常数 ;(2) ;(3) .0.5PX.25PX解:(1)112300()()1AAfxdx解 得 :密度函数为: 其012)(xxf(2) .0.5.50.5200.PXfd(3) .

7、52.1PXP.120.251.9375x12. 设随机变量 的分布函数为X0)()(xeF求相应的密度函数,并求 1P解:因为 ,知随机变量 的密度函数为()FxfX1(),000()xxeefx所以 .11()2PXF13. 设随机变量 X 具有概率密度 0,)(3xKexf(1)试确定常数 ; (2)求 ; (3)求 .K0.1P()F解: (1)由于 ,即)(dxf=xf)( 13)3(30030 KexdKee x得 .于是 的概率密度3KX;0,)(3xxf(2) = ;(0.1)P.0df 748.31.0de(3)由定义 = 。当 时, =0;当 时,Fxt)(x()Fx0=

8、=f xee3301所以.0,1)(3xexF14. 若随机变量 在 上服从均匀分布,试求关于 的方程 有实根的(1,6) t210t概率是多少?解:方程 有实根的条件是 ,20t240或由于 在 上服从均匀分布,其密度函数为(1,6) 1,6,()5xfx其 它 .所以有实根的概率为 .62208Pd15. 某类日光灯管的使用寿命 (单位:小时)服从参数为 的指数分布.问任X12取一只这种灯管, 求能正常使用 1000 小时以上的概率 解:使用寿命 的密度函数为: X120,()xefx.所以 .1120200.510|67xxPxed16. 设 ,2(3,)N(1)求 ;5,410,|2,

9、3XPPX(2)试确定 使得 ;cc(3)设 满足 ,问 至多为多少?d.9d解:(1) ,532()()(10.5)328PX,10434 (.96,|22(.)7PX.3131(0)5PXx(2)由题意可知 ,即 ,查表可知 .c3()0.52c3c(3)因为 ,可知 ,得0.9.92XddP().1X,31()0.1().查表可知 ,所以 .(.2).5.4d17. 标准普尔中公司股票的价格(单位:美元)服从 的正态分布,问30,8(1) 某公司股票价格至少为 40 美元的概率是多少?(2) 某公司股票价格不超过 26 美元的概率是多少?(3) 若公司股票价格排名位于全部股票的前 10%

10、,则公司股票至少应达到多少?解:设股票价格为 ,由题意可知 ,X2(30,8)N(1) .440111(.5)016P(2) .2630()(.5)8(3)可设股票价格为 美元,由题意知 ,即 ,查k09PXk3().98k表可知 ,所以(1.9)0.5.94.3218. 设离散型随机变量 的分布列为X21012P0.1 0.2 0.3 0.3 0.1求(1) 的分布列;(2) 的分布列31Y2Z解:(1) 5147P0.1 0.2 0.3 0.3 0.1(2) Z0280.3 0.5 0.219. 设随机变量 服从 上的均匀分布,求随机变量 的概率密度函数X(0,2) 3YX解:由题意可知

11、的概率密度为 1,02,()xfx其 它 .函数 ,其值域为 ,单调且有唯一反函数 , ;3()ygx0,8 3()hy0,8且 ,得 的概率密度函数为231hy Y2323 1,08,08,() ()6,Yxyf f其 它 其 它 .20. 设随机变量 ,求 的概率密度()XEXYe解:由题意可知 的概率密度为 20,()xf函数 ,其值域为 ,单调且有唯一反函数 ,()xyge1,()lnxhy;且 得 的概率密度函数为1,()hyY2ln1 3,2,0,()0,yeyf f 其 它 其 它. .21. 设 ,求(1) 的概率密度;(2)求 的概率密(0,)XN1YX|ZX度解:(1)先求

12、 的分布函数 注意到 的值域是 ,因此,()YFy211Y当 时, y()0YFyP当 时,12122yyXPX(1)/2(1)/2xy yXfxded再用求导的方法求出 的密度函数Y(1)4,()2(0yY efyF其.(2)先求 的分布函数 注意到 的值域是 ,因此,Z()Zz|X0Z当 时, 0z()FzP当 时,|ZzzPz21()xz zXfxded再用求导的方法求出 的密度函数 2 2,0, ,0,() ()00z zZeefzFfx 其其 .第 2 章 自测题与答案(满分 100 分,测试时间 100 分钟)一、 填空题(本大题共 10 个小题,每小题 2 分,共 20 分)1随

13、机变量 的分布函数 是事件 的概率X)(xF2当 的值为 时, 才能成为随机变量 的分a(),1,23kPXa X布列 3已知离散型随机变量 X 的概率分布如下表1 2 3P0.2 0.3 0.5则概率 , 34设随机变量 服从 上的均匀分布,则 X01, 25PX5设离散型随机变量 ,若 ,则 (2,)Bp:91p6已知连续型随机变量 ,若概率 ,则常数 39Naa7已知连续型随机变量 ,若 ,则 ()XE:10.5PX8设随机变量 ,若 ,则 2,4,BpY91PY9已知连续型随机变量 的分布函数是 ,则X30,1()27,xFx, 2PX1P10设随机变量 ,则 服从 分布(2,8)N5

14、1YX答案:1 ; 2 0.5; 30.5,0.8; 40.3; 50.6; 63; PXx7 ; 8 ;9 , ; 10 ln0.95618271(9,20)N二、单项选择题(本大题共 5 个小题,每小题 2 分,共 10 分)1下面哪一个符合概率分布的要求( )A. B. (1,23)6xPX(1,23)4xPXC. D. ,2,82设随机变量 ,其概率密度的最大值为( ) ),(2NXA. 0 B. 1 C. ; D. 121)(3设连续型随机变量 X的分布函数是 ,密度函数是 ,则 ( )(xFxfPXxA. B. C. D. 以上都不对)(xF)(xf04若函数 是一随机变量 的概率

15、密度,则( )一定成立fyA. 的定义域为0,1; B. 非负;)( )(xfyC. 的值域为0,1; D. 在 内连续xf ),5设随机变量 ,则随 的增大,概率 应( )2(,)XNPXA. 单调增大; B. 单调减小; C. 保持不变; D. 增减不定答案:1A 2D 3C 4B 5C三、计算题(本大题 5 个小题,每小题 10 分,共 60 分)1已知随机变量 , ,求参数 ,并求 ()XP0.42PX解:由题意知 ,4 分 0.ln.5!ee所以 4 分211PX2 分ln2.50.40.352设随机变量 的分布密度函数为 ,且X01,(0,)()bkxbkf其,求 10.75Pbk,解: ,4 分11100()()|()bfxdxdkxk2 分110.52|71.752bbX

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