动态几何集锦.doc

1、1. 如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB 7，CD 1，ADBC 5点 M，N 分别在边 AD，BC 上运动，并保持 MNAB，ME AB，NFAB，垂足分别为 E，F （1）求梯形 ABCD 的面积； （2）求四边形 MEFN 面积的最大值 （3）试判断四边形 MEFN 能否为正方形，若能，求出正方形 MEFN 的面积；若不能，请说明理由解：（1）分别过 D，C 两点作 DGAB 于点 G，CHAB 于点 H AB CD， DGCH，DGCH 四边形 DGHC 为矩形，GHCD1 DGCH ，ADBC ，AGD B HC90， AGDBHC（HL ） AG BH 2173 2 分 在

2、 RtAGD 中，AG 3，AD5， DG4 17462ABCDS形 （2） MNAB，MEAB，NFAB， MENF，MENF 四边形 MEFN 为矩形 AB CD，ADBC， AB MENF，MEANFB90， MEA NFB（AAS ） AEBF 设 AEx，则 EF72x AA，MEADG A90， MEA DGA ME ME x34 69738)2(7342xxEFSMEFN形 当 x 47时，ME 4，四边形 MEFN 面积的最大值为 649 （3）能 由（2）可知，设 AEx ，则 EF72x，ME x3 若四边形 MEFN 为正方形，则 MEEF 即 3472x 解，得 102

3、 EF 214705x4 四边形 MEFN 能为正方形，其面积为 251964MEFNS形 2. 已知：如图，在 RtABC 中，C=90 0，AC=4cm，BC=3cm，点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A匀速运动，速度为 1cm/s；点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，速度为 2cm/s；连接PQ若设运动的时间为 t（s ） （0t2） ，解答下列问题：（1）当 t 为何值时，PQ BC？（2）设 AQP 的面积为 y（cm 2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式；（ 3）是否存在某一时刻 t，使线段PQ 恰好把 RtABC 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时

4、 t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图，连接 PC，并把 PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQPC，那么是否存在某一时刻t，使四边形 PQPC 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由解：（1）在 RtABC 中， 52ACB，由题意知：AP = 5t，AQ = 2t，若 PQBC，则 APQ ABC， QP， 4tt， 710 （2）过点 P 作 PHAC 于 HAPH ABC， BCHA， 35t， tP53， tttPHAQy 35)3(2121 2 （3）若 PQ 把ABC 周长平分，则 AP+AQ=BP+BC+CQ 4)5(ttt， 解得： 1t若 PQ 把 A

5、BC 面积平分，则 ABCPQS21， 即 253t3t=3 t=1 代入上面方程不成立， 不存在这一时刻 t，使线段 PQ 把 RtACB 的周长和面积同时平分 （4）过点 P 作 PMAC 于 ，PN BC 于 N，若四边形 PQP C 是菱形，那么 PQPCPMAC 于 M，QM=CMPN BC 于 N， 易知PBNABC ABPC， 54t， 54t， tCMQ，CDA BE FNMG HCDA BE FNMG H图BA QPCHP BA QPC图MN 4254tt，解得： 910t当 910t时，四边形 PQP C 是菱形 此时 375tPM， 9854tCM，在 RtPMC 中，

6、95081642MPC， 菱形 PQP C 边长为 03. 如图，在 RtABC 中，A 90，AB6 ，AC8，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，点 P 从点D 出发沿 DE 方向运动，过点 P 作 PQBC 于 Q，过点 Q 作 QRBA 交 AC 于 R，当点 Q 与点 C重合时，点 P 停止运动设 BQx，QRy （1）求点 D 到 BC 的距离 DH 的长；（2）求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ；（3）是否存在点 P，使PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由解：（1） RtA， 6B， 8AC， 10B 点

7、 为 AB中点， 132DAB90DHB， HD ，AC， 31205（2） QR ， 9RCA C， RQCAB ，B， 106yx，即 y关于 x的函数关系式为： 365yx（3）存在，分三种情况：当 PR时，过点 P作 MQR于 ，则 RM1290， 290C， 84cos105， 45QP，136425x， 85x当 PQR时， 3126，6x当 时，则 为 PQ中垂线上的点，于是点 R为 EC的中点，1224CREA tanQRBAC，3658x， 15x综上所述，当 x为 185或 6 或 2时， PQR 为等腰三角形4. 如图，等腰梯形 ABCD 中，AB=4 ，CD=9，C=6

8、0，动点 P 从点 C 出发沿 CD 方向向点 D 运动，动点 Q 同时以相同速度从点 D 出发沿 DA 方向向终点 A 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.（1）求 AD 的长；（2 ）设 CP=x，问当 x 为何值时PD Q 的面积达到最大，并求出最大值；（3）探究：在 BC 边上是否存在点 M 使得四边形 PDQM 是菱形？若存在，请找出点 M，并求出 BM 的长；不存在，请说明理由.（1）解法一：如图 25-1过 A 作 AE CD，垂足为 E .依题意，DE= 2549. 2 分在 RtADE 中， AD= 5260cosD. 5 分解法二：如图 25-2过点 A

9、 作 AEBC 交 CD 于点 E，则 CE=AB=4 . 2 分AED =C=60.又D=C=60，AED 是等边三角形 . AD= DE=94=5 . 5 分（2）解：如图 25-1CP =x，h 为 PD 边上的高, 依题意，PD Q 的面积 S 可表示为：AB CD ERPH QM21AB CD ERPH QAB CD ERPH Q图 25-1图 25-2S= 21PDh = (9 x)xsin60= 43(9xx 2) = 43(x 29)2 1638. 由题意，知 0x5 . 当 x= 29时（满足 0x5） ，S 最大值 = 1638. （3）证法一：如图 25-3假设存在满足条

10、件的点 M，则 PD 必须等于 DQ . 11 分于是 9x=x，x = 2.此时，点 P、Q 的位置如图 25-3 所示，连 QP .PDQ 恰为等边三角形 .过点 Q 作 QMDC ，交 BC 于 M，点 M 即为所求.连结 MP，以下证明四边形 PDQM 是菱形 .易证MCP QDP，D=3 . MP=PDMPQD , 四边形 PDQM 是平行四边形 .又 MP=PD , 四边形 PDQM 是菱形 . 13 分所以存在满足条件的点 M，且 BM=BCMC=5 29= 1. 14 分注 本题仅回答存在，给 1 分.证法二：如图 25-4假设存在满足条件的点 M，则 PD 必须等于 DQ .

11、 11 分于是 9x=x，x = 2. 此时，点 P、Q 的位置如图 25-4 所示，PDQ 恰为等边三角形 .过点 D 作 DOP Q 于点 O，延长 DO 交 BC 于点 M，连结 PM、QM，则 DM 垂直平分PQ， MP=MQ .易知1=C .PQBC .又DOPQ， MCMDMP= 21CD=PD即 MP=PD=DQ=QM四边形 PDQM 是菱形 13 分所以存在满足条件的点 M，且 BM=BCMC=5 29= 1 14 分注 本题仅回答存在，给 1 分.5. 如图 1，在 RtABC 中， C 90，BC8 厘米，点 D 在 AC 上，CD3 厘米点 P、Q 分别由 A、C 两点同

12、时出发，点 P 沿 AC 方向向点 C 匀速移动，速度为每秒 k 厘米，行完 AC 全程用时 8 秒；点 Q 沿 CB 方向向点 B 匀速移动，速度为每秒 1 厘米设运动的时间为 x 秒（0X8） ，DCQ 的面积为 y1 平方厘米，PCQ 的面积为 y2 平方厘米求 y1 与 x 的函数关系，并在图2 中画出 y1 的图象；如图 2，y 2 的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12） ，求点 P的速度及 AC 的长；在图 2 中，点 G 是 x 轴正半轴上一点（0OG6，过 G 作 EF 垂直于 x轴，分别交 y1、y 2 于点 E、F说出线段 EF 的长在图 1 中所表示的实际意义；

13、当 0x时，求线段 EF 长的最大值解： CDQSDC，CD3，CQx， xy231图象如图所示方法一： PSPCQ21，CP 8k xk，CQx， kxky48212抛物线顶点坐标是（4，12） ， 142解得 3k 则点 P 的速度每秒 23厘米，AC12 厘米方法二：观察图象知，当 x=4 时，PCQ 面积为 12此时 PCACAP8k4k4k，CQ4图 25-3图 25-4EG2 4 6 8 10 12108642yO xF由 CPQSPC21，得 124k解得 23k则点 P 的速度每秒 3厘米，AC12 厘米方法三：设 y2 的图象所在抛物线的解析式是 cbxay2图象过（0，0）

14、 ， （4，12） ， （8，0） ， .0864121cba，解得 .0643cba， ， xy64322 CPQSPC2，CP 8k xk，CQx， kxy41 比较得 3.则点 P 的速度每秒 2厘米，AC12 厘米观察图象，知线段的长 EFy 2y 1，表示 PCQ 与DCQ 的面积差（或PDQ 面积） 由得 x643.（方法二， xxy643238122 ）EFy 2y 1，EF xxx2943643，二次项系数小于，在 0范围，当 时， 7EF最大6、如图 20，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点 B 的坐标为（4，3 ） 平行于对角线 AC 的直线 m 从原点 O

15、出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设直线 m 与矩形 OABC 的两边分别交于点 M、N，直线 m 运动的时间为 t（秒）(1) 点 A 的坐标是 _，点 C 的坐标是_； (2) 当 t= 秒或 秒时，MN= 21AC；(3) 设 OMN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式；(4) 探求(3) 中得到的函数 S 有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由解：(1)（4 ， 0） ， （0，3） ； 2 分(2) 2，6； 4 分(3) 当 0t4 时，OM=t 由OMN OAC，得 OCNAM， ON= t43，S= 28t 6 分当 4t8 时，如图，

16、 OD=t， AD= t-4 方法一：由DAM AOC，可得 AM= )4(3t， BM=6- t43 7 分由BMN BAC，可得 BN= BM=8-t， CN=t-4 8 分S=矩形 OABC 的面积-Rt OAM 的面积- RtMBN 的面积- Rt NCO 的面积=12- )4(23t- 1（8-t） （6- t43）- )4(2t= 8 10 分方法二：易知四边形 ADNC 是平行四边形， CN= AD=t-4，BN=8-t 7 分由BMN BAC，可得 BM= BN43=6- t， AM = )4(3t 8 分以下同方法一(4) 有最大值方法一：当 0t4 时， 抛物线 S= 283t的开口向上，在对称轴 t=0 的右边， S 随 t 的增大而增大， 当 t=4 时，S 可取到最大值 2483=6； 11 分当 4t8 时， 抛物线 S= t32的开口向下，它的顶点是（4，6） ， S6 综上，当 t=4 时，S 有最大值 6 12 分方法二： S=230488ttt， ， 当 0t8 时，画出 S 与 t 的函数关系图像，如图所示 11 分显然，当 t=4 时，S 有最大值 6