1、英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念, 优质课程资源学习方法报社 第 1 页 共 5 页2.5.1 等比数列的前 n 项和学习目的:1掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路2会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 奎 屯王 新 敞新 疆学习重点:等比数列的前 n 项和公式推导学习难点:灵活应用公式解决有关问题课堂过程:一、复习引入:首先回忆一下前两节课所学主要内容:1等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示(q0) ,即: =q
2、(q 0)1na2.等比数列的通项公式: , )(11nn )0(1qaamn3 成等比数列 =q( ,q0)nanN“ 0”是数列 成等比数列的必要非充分条件na4既是等差又是等比数列的数列:非零常数列 5等比中项 :G 为 a 与 b 的等比中项. 即 G= (a,b 同号).6性质:若 m+n=p+q, qpnma7判断等比数列的方法 :定义法,中项法,通项公式法8等比数列的增减性:当 q1, 0 或 01, 11na0 时, 是递减数列; 当 q=1 时, 是常数列;当 q0 时, 是1a1an n na摆动数列;二、讲解新课: 例如求数列 1,2,4,2 62,2 63 的各项和 奎
3、 屯王 新 敞新 疆即求以 1 为首项,2 为公比的等比数列的前 64 项的和,可表示为:63648S2 42英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念, 优质课程资源学习方法报社 第 2 页 共 5 页由可得: 1264S这种求和方法称为“错位相减法” “错位相减法” ,是研究数列求和的一个重要方法 奎 屯王 新 敞新 疆等比数列的前 n 项和公式:当 时, 或 1qqaSnn1)( qaSnn1当 q=1 时, n当已知 , q, n 时用公式;当已知 , q, 时,用公式.1a1an公式的推导方法一:一般地,设等比数列 它的前 n 项和是 n,321nSaa1由 1
4、32nnq得 nnn qaqaSa1131212nq)(当 时, 或 1qSnn1)( qSnn1当 q=1 时, an公式的推导方法二:有等比数列的定义, qan1231根据等比的性质,有 Sann11213 即 (结论同上)qSn1qaSnn1)(围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式公式的推导方法三:nSnaa321 )(1321naq英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念, 优质课程资源学习方法报社 第 3 页 共 5 页 1nqSa)(naS(结论同上))(“方程”在代数课程里占有重要的地位,方程思想是应用十分广泛的一种数学思想,利用方
5、程思想,在已知量和未知量之间搭起桥梁,使问题得到解决 奎 屯王 新 敞新 疆三、例题讲解例 1 求等比数列 1,2,4,从第 5 项到第 10 项的和.解:由 ,qa得, 21)(44S 1023)(10S从第 5 项到第 10 项的和为 - =1008104例 2 一条信息,若一人得知后用一小时将信息传给两个人,这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人,如此继续下去,一天时间可传遍多少人?解:根据题意可知,获知此信息的人数成首项 的等比数列2,1qa则:一天内获知此信息的人数为: 424S例 3 已知 为等比数列,且 =a, =b, (ab0) ,求 nann2nS3分析:要求 ,需知
6、,q,而已知条件为 和 能否进一步挖掘题目的条件,S31an2使已知和未知沟通起来?当 时 a 1qqnn1)( b nS2n)(2qn1)(/得 abq1将代入,得 21 nS3qan)(31a1)(3nqba2)1(3以下再化简即可英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念, 优质课程资源学习方法报社 第 4 页 共 5 页这样处理问题很巧妙没有分别求得 与 q 的值,而改为求 与 的值,这样1anqa1使问题变得简单 奎 屯王 新 敞新 疆 但在分析的过程中是否完备?第式就有问题,附加了条件 q1而对 q=1 情况没有考虑使用等比数列前 n 项和公式时,要特别注意适
7、用条件,即q=1 时, =n ;当 时, 或S1aqaSnn1 qaSnn1)((含字母已知数的等比数列求和题目,学生常忽略 q=1 情况,要引起足够重视,以培养学生思维的严密性)解法 1:设等比数列 的公比为 qna若 q=1(此时数列为常数列) ,则 =n =a, =b,nS1a12na从而有 2a=b (或 )n313233bn若 q1(即 2ab) ,由已知a b Snn)( qaSnn1)(22又 ab 0, /得 , bq1将代入,得 a2 nS3qan1)(31)(3nqb2)1(3a ab22解法 2:由 , , 成等比数列(练习中证此结论),nS2nS3n2即 a,b-a,
8、b 成等比,所以 a( b)=( b-a)3 32从而有 (包含了 q=1 的情况)nS3a22四、练习:是等比数列, 是其前 n 项和,数列 ( )是否nan kkkSS232,N仍成等比数列?英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念, 优质课程资源学习方法报社 第 5 页 共 5 页解:设 首项是 ,公比为 q,na1当 q=1 且 k 为偶数时, 不是等比数列.kkkSS232,此时, =0.kkS32例如:数列 1,1,1,1,是公比为1 的等比数列, S2=0,46242当 q1 或 k 为奇数时,kSkaa3202 )(321kkk3q( )成等比数列 奎 屯王 新 敞新 疆kSS232,N评述:应注意等比数列中的公比 q 的各种取值情况的讨论,还易忽视等比数列的各项应全不为 0 的前提条件.五、小结 1. 等比数列求和公式:当 q=1 时, 1naS当 时, 或 ; 1qqaSnn1qn)(2 是等比数列 的前 n 项和,nS当 q=1 且 k 为偶数时, 不是等比数列.kkkSS232,当 q1 或 k 为奇数时, 仍成等比数列 奎 屯王 新 敞新 疆3这节课我们从已有的知识出发,用多种方法(迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法)推导出了等比数列的前 n 项和公式,并在应用中加深了对公式的认识六、课后作业:课本 67 页 A 组 16