1、高一数学求函数的定义域与值域的常用方法北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容:求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式,求函数的定义域,求函数的值域,求函数的最值二. 学习目标1、进一步理解函数的定义域与值域的概念;2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式;3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值;4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题,重视函数单调性在确定函数最值中的作用;5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题;6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。三. 知识要点(一)求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一
2、种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式是 yf( x) ,不能把它写成 f(x,y )0;2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形;3、求函数解析式的一般方法有:(1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出 y。(2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值;(3)换元法:若给出了复合函数 fg(x) 的表达式,求 f(x)的表达式时可以令tg(x) ,以换元法解之;(4)构造方程组法:若给出
3、 f(x)和 f(x) ,或 f(x)和 f(1/x)的一个方程,则可以 x 代换x(或 1/x) ,构造出另一个方程,解此方程组,消去 f(x) (或 f(1/x) )即可求出 f(x)的表达式;(5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出 y 的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。(二)求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示;2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式
4、组的问题;3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等;4、对复合函数 yfg(x) 的定义域的求解,应先由 yf (u)求出 u 的范围,即g(x)的范围,再从中解出 x 的范围 I1;再由 g(x)求出 yg(x)的定义域 I2,I 1 和 I2的交集即为复合函数的定义域;5、分段函数的定义域是各个区间的并集;6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在叙述结论时分别说明;7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为该函数的定义域;
5、(三)求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域和对应法则确定,常用集合或区间来表示;2、在函数 f:AB 中,集合 B 未必就是该函数的值域,若记该函数的值域为 C,则 C是 B 的子集;若 CB ,那么该函数作为映射我们称为“满射” ;3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集;4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类讨论;叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述;5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集;6、求函数值域的方法十分丰富,应注意总结;(四)求函数的最值1、设函数 yf(x)定义域为 A,则当 xA 时总有 f(x)f(x o)M,则称当
6、 xx o时 f(x )取最大值 M;当 x A 时总有 f(x)f(x 1)N,则称当 xx 1 时 f(x)取最小值 N;2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题;3、闭区间的连续函数必有最值。【典型例题】考点一:求函数解析式1、直接法:由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。例 1. 已知函数 yf(x)满足 xy0,4x 29y 236,求该函数解析式。解:由 4x29y 236 可解得:。29,393,xy 说明:这是一个分段函数,必须分区间写解析式,不可以写成 的形式。293xy2、待定系数法:由题给条件可以明确函数的类型,从而可以设出该类型的函数的一般式,然后再求出各个
7、参变量的值。例 2. 已知在一定条件下,某段河流的水流量 y 与该段河流的平均深度 x 成反比,又测得该段河流某段平均水深为 2m 时,水流量为 340m3/s,试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。解:设 ,代入 x,y 的值可求得反比例系数 k780m 3/s,故所求函数关系式为ky。780,x3、换元法:题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式,可将内函数用一个变量代换。例 3. 已知 ,试求 。21()xxf()fx解:设 ,则 ,代入条件式可得: ,t1。故得:tt2()1ftt。2()1,fxx说明:要注意转换后变量范围的变化,必须确保等价变形。4、构造方程组法:对同时给出所求
8、函数及与之有关的复合函数的条件式,可以据此构造出另一个方程,联立求解。例 4. (1)已知 ,试求 ;21()345fxfx()fx(2)已知 ,试求 ;2解:(1)由条件式,以 代 x,则得 ,与条件式联立,211()345ff消去 ,则得: 。fx228453f(2)由条件式,以x 代 x 则得: ,与条件式联立,2()(ffx消去 ,则得: 。f2f说明:本题虽然没有给出定义域,但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数的定义域由解析式确定,不需要另外给出。5、实际问题中的函数解析式:这是高考的一个热点题型,一般难度不大,所涉及知识点也不多,关键是合理设置变量,建立等量关系。例 5. 动
9、点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 B 出发,顺次经过 C、D 再到 A 停止。设 x 表示 P 行驶的路程,y 表示 PA 的长,求 y 关于 x 的函数。解:由题意知:当 x0,1时:yx;当 x(1,2)时: ;2当 x(2,3)时: ;231yx故综上所述,有 2,0,1(23,3yx 考点二:求函数定义域1、由函数解析式求函数定义域:由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围,所以解题时要认真分析变量所在的位置;最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。例 6. 求 的定义域。324xy解:由题意知: ,从而解得:x2 且 x4.故所求定义域为:0xx|x2 且 x
10、4 。2、求分段函数的定义域:对各个区间求并集。例 7. 已知函数由下表给出,求其定义域X 1 2 3 4 5 6Y 22 3 14 35 6 17解:1,2,3,4,5,6。3、求与复合函数有关的定义域:由外函数 f(u)的定义域可以确定内函数 g(x)的范围,从而解得 xI 1,又由 g( x)定义域可以解得 xI 2.则 I1I 2 即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。 2()3,(),()43f yfg例 8 已 知 求 的 定 义 域 .解: 2xxxg由 又由于 x24x30 *联立*、*两式可解得:939314493|14xx或故 所 求 定 义 域 为
11、 或例 9. 若函数 f(2 x)的定义域是 1,1 ,求 f(log 2x)的定义域。解:由 f(2 x)的定义域是 1,1可知:2 1 2x2,所以 f(x)的定义域为2 1 ,2 ,故 log2x2 1 ,2 ,解得 ,故定义域为 。4,44、求解含参数的函数的定义域:一般地,须对参数进行分类讨论,所求定义域随参数取值的不同而不同。例 10. 求函数 的定义域。()1fxa解:若 ,则 xR;0a若 ,则 ;若 ,则 ;0a1a故所求函数的定义域:当 时为 R,当 时为 ,当 时为 。01|xa01|xa说明:此处求定义域是对参变量 a 进行分类讨论,最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写
12、成并集的形式,必须根据 a 的不同取值范围分别论述。考点三:求函数的值域与最值求函数的值域和最值的方法十分丰富,下面通过例题来探究一些常用的方法;随着高中学习的深入,我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。1、分离变量法例 11. 求函数 的值域。231xy解: ,因为 ,故 y2,所以值域为12x01xy|y2。说明:这是一个分式函数,分子、分母均含有自变量 x,可通过等价变形,让变量只出现在分母中,再行求解。2、配方法例 12. 求函数 y2x 24x 的值域。解:y2x 24x2(x 22x1)22(x1) 222,故值域为y|y2。说明:这是一个二次函数,可通过配方的方法来求得函数的
13、值域。类似的,对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解,如 yaf 2(x)bf (x)c。3、判别式法例 13. 求函数 的值域。23456xy解: 可变形为:(4y1)x 2(5y2)x6y30,由 0 可2解得: 。63,7y说明:对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解,可以考虑采用此法。要注意两点:第一,其定义域一般仅由函数式确定,题中条件不再另外给出;如果题中条件另外给出了定义域,那么一般情况下就不能用此法求解值域;第二,用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集,所以将原函数变形为一个关于 x 的一元二次方程后,该方程的解集就是原函数的定义域,故 0。
14、4、单调性法例 14. 求函数 ,x 4,5的值域。23y解:由于函数 为增函数,故当 x4 时,y min ;当 x5 时,2ymax ,所以函数的值域为 。51313,255、换元法例 15. 求函数 的值域。41yx解:令 ,则 y2t 24t2(t1) 24,t0 ,故所求值域为0ty|y4。6、分段函数的值域:应为各区间段上值域的并集。例 16. 求函数 的值域。2,1(,34xy解:当 x1,2时,y1,2 ;当 x 2,3时,y 4,9 ;当 x 3,4(时,y 5,7 。综上所述, y1,2 3,9 。(本讲所涉及的主要数学思想方法1、分类讨论的数学思想:对含有参变量的函数定义
15、域、值域及最值的求解,一般情况下都要对参变量进行分类讨论,在参变量不同的取值范围内进行求解。要特别注意对结果的表述。2、换元的思想:对复合函数定义域、值域及最值的求解,以及对某些无理函数(根号中含有自变量的函数)的处理,通常可以考虑换元,以达到化繁为简的目的。3、方程的思想:对某些函数解析式的求解,以及某些函数值的求解,均渗透了方程的思想,主要思路是改变原来的变量之间的角色,重新确定主元,依此主元构造方程进行求解。【模拟试题】(答题时间:30 分钟)一. 选择题1、函数 yf(x)的值域是 2,2 ,则函数 yf (x 1)的值域是( )A. 1,3 B. 3,1 C. 2,2 D. 1,12、已知函数 f(x)x 22x ,则函数 f(x)在区间 2,2上的最大值为( )A. 2 B. 4 C. 6 D. 83、一等腰三角形的周长为 20,底边长 y 是关于腰长 x 的函数,那么其解析式和定义域是( )A. y202x(x10) B. y202x(x2,则可解得 a3。1312、解:由条件式,以x 替换 x 可得:2f(x)f ( x)x 24x,联立两式可解得:f( x) 。24313、解:(1)yx(60x) ,x(0,60).(2)yx(60x)(x30) 2900900,当 x30 时取等号,故当 x30 米时,鸡场面积最大为 900 平方米。
Copyright © 2018-2021 Wenke99.com All rights reserved
工信部备案号:浙ICP备20026746号-2
公安局备案号:浙公网安备33038302330469号
本站为C2C交文档易平台,即用户上传的文档直接卖给下载用户,本站只是网络服务中间平台,所有原创文档下载所得归上传人所有,若您发现上传作品侵犯了您的权利,请立刻联系网站客服并提供证据,平台将在3个工作日内予以改正。