函数值域求法十一种.doc

1、函 数 值 域 求 法 十 一 种1. 直 接 观 察 法对 于 一 些 比 较 简 单 的 函 数 ，其 值 域 可 通 过 观 察 得 到 。例 1. 求 函 数 x1y的 值 域 。解 ： 0 x显 然 函 数 的 值 域 是 ： ),0(),(例 2. 求 函 数 x3y的 值 域 。解 ： 0x,故 函 数 的 值 域 是 ： 3,2. 配 方 法配 方 法 是 求 二 次 函 数 值 域 最 基 本 的 方 法 之 一 。例 3. 求 函 数 2,1x,52y的 值 域 。解 ：将 函 数 配 方 得 ： 4)( 2,1x由 二 次 函 数 的 性 质 可 知 ：当 x=1 时 ，

2、 4ymin，当 1x时 ， 8ymax故 函 数 的 值 域 是 ：4，83. 判 别 式 法例 4. 求 函 数 2x1y的 值 域 。解 ：原 函 数 化 为 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程0)(x)1(2（1）当 y时 ， R)1y(4)(2解 得 ：3（2）当 y=1 时 ， 0x，而 23,1故 函 数 的 值 域 为 ,2例 5. 求 函 数 )x(y的 值 域 。解 ：两 边 平 方 整 理 得 ： 0y)1(22（1） Rx 0y8)1(42解 得 ： 但 此 时 的 函 数 的 定 义 域 由 0)x2(，得 2x由 0，仅 保 证 关 于 x 的 方 程 ： 0y

3、)1(在 实 数 集 R 有 实 根 ，而 不 能 确 保 其 实 根 在 区 间 0，2上 ，即 不 能 确 保 方 程 （1）有 实 根 ，由 0求出 的 范 围 可 能 比 y 的 实 际 范 围 大 ，故 不 能 确 定 此 函 数 的 值 域 为 23,1。可 以 采 取 如 下 方 法 进 一 步 确 定 原 函 数 的 值 域 。 2x00)(y1,min代 入 方 程 （1）解 得 ： 2,2x4即 当41时 ，原 函 数 的 值 域 为 ： 21,0注 ：由 判 别 式 法 来 判 断 函 数 的 值 域 时 ，若 原 函 数 的 定 义 域 不 是 实 数 集 时 ，应 综

4、 合 函 数 的 定 义 域 ，将 扩 大 的 部 分 剔 除 。4. 反 函 数 法直 接 求 函 数 的 值 域 困 难 时 ，可 以 通 过 求 其 原 函 数 的 定 义 域 来 确 定 原 函数 的 值 域 。例 6. 求 函 数 6x543值 域 。解 ：由 原 函 数 式 可 得 ： 3y56则 其 反 函 数 为 ： 3x5y64，其 定 义 域 为 ： 53x故 所 求 函 数 的 值 域 为 ： ,5. 函 数 有 界 性 法直 接 求 函 数 的 值 域 困 难 时 ，可 以 利 用 已 学 过 函 数 的 有 界 性 ，反 客 为 主 来确 定 函 数 的 值 域 。例

5、 7. 求 函 数 1eyx的 值 域 。解 ：由 原 函 数 式 可 得 ： yx 0ex 1y解 得 ： 故 所 求 函 数 的 值 域 为 )1,(例 8. 求 函 数 3xsincoy的 值 域 。解 ：由 原 函 数 式 可 得 ： y3xcosi，可 化 为 ：)(i12即 1y3xsn2 R ,)(si即1y312解 得 ： 4故 函 数 的 值 域 为 2,6. 函 数 单 调 性 法例 9. 求 函 数 )10x2(log2y35x的 值 域 。解 ：令 ,1则 21y,在 2，10上 都 是 增 函 数所 以 在 2，10上 是 增 函 数当 x=2 时 ， 81log3m

6、in当 x=10 时 ， 9y5ax故 所 求 函 数 的 值 域 为 ： ,例 10. 求 函 数 1xy的 值 域 。解 ：原 函 数 可 化 为 ：2令 ,x21，显 然 21y,在 ,上 为 无 上 界 的 增 函 数所 以 y， 在 ,1上 也 为 无 上 界 的 增 函 数所 以 当 x=1 时 ， 21y有 最 小 值 ，原 函 数 有 最 大 值 2显 然 0，故 原 函 数 的 值 域 为 ,0(7. 换 元 法通 过 简 单 的 换 元 把 一 个 函 数 变 为 简 单 函 数 ，其 题 型 特 征 是 函 数 解 析 式含 有 根 式 或 三 角 函 数 公 式 模 型

7、 ，换 元 法 是 数 学 方 法 中 几 种 最 主 要 方 法 之 一 ，在 求 函 数 的 值 域 中 同 样 发 挥 作 用 。例 11. 求 函 数 1xy的 值 域 。解 ：令 tx， )0(则 t2 43)21t(y又 0t，由 二 次 函 数 的 性 质 可 知当 时 ， min当 t时 ， y故 函 数 的 值 域 为 ),1例 12. 求 函 数 2)1x(2xy的 值 域 。解 ：因 0)1(即 1)x(2故 可 令 ,0cos 1cosinsy21)4in(2 50,21)4sin(20故 所 求 函 数 的 值 域 为 ,0例 13. 求 函 数 1x2y43的 值

8、域 。解 ：原 函 数 可 变 形 为 ： 22x可 令 tgx，则 有 2cos1,sinx14icos2sin1y当 8k时 ，ymax当 2时 ， 41in而 此 时 ta有 意 义 。故 所 求 函 数 的 值 域 为 ,例 14. 求 函 数 )1x)(cos(siny， 2,的 值 域 。解 ： )1x(sicon令 tsi，则 )1t(2xcosin2)1t(2)1t(y由 4/xsincoxsin且 2,1x可 得 ： t当 2t时 ， 23ymax，当 t时 ， 243y故 所 求 函 数 的 值 域 为 ,4。例 15. 求 函 数 2x5y的 值 域 。解 ：由 0x2，

9、可 得 |故 可 令 ,cos4)sin(10i545y 04当 /时 ， 10ymax当 时 ， 5in故 所 求 函 数 的 值 域 为 ： 4,8. 数 形 结 合 法其 题 型 是 函 数 解 析 式 具 有 明 显 的 某 种 几 何 意 义 ，如 两 点 的 距 离 公 式 直线 斜 率 等 等 ，这 类 题 目 若 运 用 数 形 结 合 法 ，往 往 会 更 加 简 单 ，一 目 了 然 ，赏心 悦 目 。例 16. 求 函 数 22)8x()(y的 值 域 。解 ：原 函 数 可 化 简 得 ： |8x|2|y上 式 可 以 看 成 数 轴 上 点 P（x）到 定 点 A（2

10、）， )8(B间 的 距 离 之 和 。由 上 图 可 知 ，当 点 P 在 线 段 AB 上 时 ， 10|A|x|y当 点 P 在 线 段 AB 的 延 长 线 或 反 向 延 长 线 上 时 ，10|8x|2|y故 所 求 函 数 的 值 域 为 ： ,例 17. 求 函 数 5x413x6y22的 值 域 。解 ：原 函 数 可 变 形 为 ： 2222 )0()()0()3x(y上 式 可 看 成 x 轴 上 的 点 ,xP到 两 定 点 )1,2(B),3A的 距 离 之 和 ，由 图 可 知 当 点 P 为 线 段 与 x 轴 的 交 点 时 ，43)12()3(|ABymin

11、，故 所 求 函 数 的 值 域 为 ,例 18. 求 函 数 5x413x6y22的 值 域 。解 ：将 函 数 变 形 为 ： 22)10()()0()( 上 式 可 看 成 定 点 A（3，2）到 点 P（x，0）的 距 离 与 定 点 ,B到 点 )0,x(P的距 离 之 差 。即 ： |BP|y由 图 可 知 ：（1）当 点 P 在 x 轴 上 且 不 是 直 线 AB 与 x 轴 的 交 点 时 ，如 点P，则 构 成 A，根 据 三 角 形 两 边 之 差 小 于 第 三 边 ，有26)1()23(| 即 ： 6y2（2）当 点 P 恰 好 为 直 线 AB 与 x 轴 的 交

12、点 时 ，有 26|AB|P|综 上 所 述 ，可 知 函 数 的 值 域 为 ： 26,(注 ：由 例 17，18 可 知 ，求 两 距 离 之 和 时 ，要 将 函 数 式 变 形 ，使 A、B 两 点在 x 轴 的 两 侧 ，而 求 两 距 离 之 差 时 ，则 要 使 A，B 两 点 在 x 轴 的 同 侧 。如 ：例 17 的 A，B 两 点 坐 标 分 别 为 ：（3，2）， )1,(，在 x 轴 的 同 侧 ；例 18的 A，B 两 点 坐 标 分 别 为 （3，2）， )1,(，在 x 轴 的 同 侧 。9. 不 等 式 法利 用 基 本 不 等 式 abc3a,b2a)R,(

13、，求 函 数 的 最 值 ，其 题 型 特 征 解 析 式 是 和 式 时 要 求 积 为 定 值 ，解 析 式 是 积 时 要 求 和 为 定 值 ，不 过 有 时 需 要 用 到 拆 项 、添 项 和 两 边 平 方 等 技 巧 。例 19. 求 函 数 4)xcos1()xsin1(iy22的 值 域 。解 ：原 函 数 变 形 为 ：52xcottan3se1csi)cox(iny22222当 且 仅 当 tt即 当 4kx时 )z(，等 号 成 立故 原 函 数 的 值 域 为 ： ,5例 20. 求 函 数 x2siny的 值 域 。解 ： cosixn4si27643/)xsin

14、2xsin(i8(1y22当 且 仅 当 xsin2xsin2，即 当 32xsin时 ，等 号 成 立 。由 764y2可 得 ： 938y故 原 函 数 的 值 域 为 ： ,10. 一 一 映 射 法原 理 ：因 为 )0c(dxbay在 定 义 域 上 x 与 y 是 一 一 对 应 的 。故 两 个 变 量中 ，若 知 道 一 个 变 量 范 围 ，就 可 以 求 另 一 个 变 量 范 围 。例 21. 求 函 数 123的 值 域 。解 ：定 义 域 为 21x|或由 1x23y得 3y2故 或 21x解 得 2y3或故 函 数 的 值 域 为 ,23,11. 多 种 方 法 综

15、 合 运 用例 22. 求 函 数 3x2y的 值 域 。解 ：令 )0t(t，则 1t2（1）当 t时 ， t1t2，当 且 仅 当 t=1，即 x时 取 等 号 ，所 以2y0（2）当 t=0 时 ，y=0。综 上 所 述 ，函 数 的 值 域 为 ： 21,0注 ：先 换 元 ，后 用 不 等 式 法例 23. 求 函 数 423x1y的 值 域 。解 ： 42x122令 tanx，则 22cosx1sin21x1sin2siicoy1674sin2当 i时 ，ymax当 sn时 ， 2in此 时 2ta都 存 在 ，故 函 数 的 值 域 为 167,2注 ：此 题 先 用 换 元 法 ，后 用 配 方 法 ，然 后 再 运 用 sin的 有 界 性 。总 之 ，在 具 体 求 某 个 函 数 的 值 域 时 ，首 先 要 仔 细 、认 真 观 察 其 题 型 特 征 ，然 后 再 选 择 恰 当 的 方 法 ，一 般 优 先 考 虑 直 接 法 ，函 数 单 调 性 法 和 基 本 不 等式 法 ，然 后 才 考 虑 用 其 他 各 种 特 殊 方 法 。