1、函 数 值 域 求 法 十 一 种1. 直 接 观 察 法对 于 一 些 比 较 简 单 的 函 数 ,其 值 域 可 通 过 观 察 得 到 。例 1. 求 函 数 x1y的 值 域 。解 : 0 x显 然 函 数 的 值 域 是 : ),0(),(例 2. 求 函 数 x3y的 值 域 。解 : 0x,故 函 数 的 值 域 是 : 3,2. 配 方 法配 方 法 是 求 二 次 函 数 值 域 最 基 本 的 方 法 之 一 。例 3. 求 函 数 2,1x,52y的 值 域 。解 :将 函 数 配 方 得 : 4)( 2,1x由 二 次 函 数 的 性 质 可 知 :当 x=1 时 ,
2、 4ymin,当 1x时 , 8ymax故 函 数 的 值 域 是 :4,83. 判 别 式 法例 4. 求 函 数 2x1y的 值 域 。解 :原 函 数 化 为 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程0)(x)1(2(1)当 y时 , R)1y(4)(2解 得 :3(2)当 y=1 时 , 0x,而 23,1故 函 数 的 值 域 为 ,2例 5. 求 函 数 )x(y的 值 域 。解 :两 边 平 方 整 理 得 : 0y)1(22(1) Rx 0y8)1(42解 得 : 但 此 时 的 函 数 的 定 义 域 由 0)x2(,得 2x由 0,仅 保 证 关 于 x 的 方 程 : 0y
3、)1(在 实 数 集 R 有 实 根 ,而 不 能 确 保 其 实 根 在 区 间 0,2上 ,即 不 能 确 保 方 程 (1)有 实 根 ,由 0求出 的 范 围 可 能 比 y 的 实 际 范 围 大 ,故 不 能 确 定 此 函 数 的 值 域 为 23,1。可 以 采 取 如 下 方 法 进 一 步 确 定 原 函 数 的 值 域 。 2x00)(y1,min代 入 方 程 (1)解 得 : 2,2x4即 当41时 ,原 函 数 的 值 域 为 : 21,0注 :由 判 别 式 法 来 判 断 函 数 的 值 域 时 ,若 原 函 数 的 定 义 域 不 是 实 数 集 时 ,应 综
4、 合 函 数 的 定 义 域 ,将 扩 大 的 部 分 剔 除 。4. 反 函 数 法直 接 求 函 数 的 值 域 困 难 时 ,可 以 通 过 求 其 原 函 数 的 定 义 域 来 确 定 原 函数 的 值 域 。例 6. 求 函 数 6x543值 域 。解 :由 原 函 数 式 可 得 : 3y56则 其 反 函 数 为 : 3x5y64,其 定 义 域 为 : 53x故 所 求 函 数 的 值 域 为 : ,5. 函 数 有 界 性 法直 接 求 函 数 的 值 域 困 难 时 ,可 以 利 用 已 学 过 函 数 的 有 界 性 ,反 客 为 主 来确 定 函 数 的 值 域 。例
5、 7. 求 函 数 1eyx的 值 域 。解 :由 原 函 数 式 可 得 : yx 0ex 1y解 得 : 故 所 求 函 数 的 值 域 为 )1,(例 8. 求 函 数 3xsincoy的 值 域 。解 :由 原 函 数 式 可 得 : y3xcosi,可 化 为 :)(i12即 1y3xsn2 R ,)(si即1y312解 得 : 4故 函 数 的 值 域 为 2,6. 函 数 单 调 性 法例 9. 求 函 数 )10x2(log2y35x的 值 域 。解 :令 ,1则 21y,在 2,10上 都 是 增 函 数所 以 在 2,10上 是 增 函 数当 x=2 时 , 81log3m
6、in当 x=10 时 , 9y5ax故 所 求 函 数 的 值 域 为 : ,例 10. 求 函 数 1xy的 值 域 。解 :原 函 数 可 化 为 :2令 ,x21,显 然 21y,在 ,上 为 无 上 界 的 增 函 数所 以 y, 在 ,1上 也 为 无 上 界 的 增 函 数所 以 当 x=1 时 , 21y有 最 小 值 ,原 函 数 有 最 大 值 2显 然 0,故 原 函 数 的 值 域 为 ,0(7. 换 元 法通 过 简 单 的 换 元 把 一 个 函 数 变 为 简 单 函 数 ,其 题 型 特 征 是 函 数 解 析 式含 有 根 式 或 三 角 函 数 公 式 模 型
7、 ,换 元 法 是 数 学 方 法 中 几 种 最 主 要 方 法 之 一 ,在 求 函 数 的 值 域 中 同 样 发 挥 作 用 。例 11. 求 函 数 1xy的 值 域 。解 :令 tx, )0(则 t2 43)21t(y又 0t,由 二 次 函 数 的 性 质 可 知当 时 , min当 t时 , y故 函 数 的 值 域 为 ),1例 12. 求 函 数 2)1x(2xy的 值 域 。解 :因 0)1(即 1)x(2故 可 令 ,0cos 1cosinsy21)4in(2 50,21)4sin(20故 所 求 函 数 的 值 域 为 ,0例 13. 求 函 数 1x2y43的 值
8、域 。解 :原 函 数 可 变 形 为 : 22x可 令 tgx,则 有 2cos1,sinx14icos2sin1y当 8k时 ,ymax当 2时 , 41in而 此 时 ta有 意 义 。故 所 求 函 数 的 值 域 为 ,例 14. 求 函 数 )1x)(cos(siny, 2,的 值 域 。解 : )1x(sicon令 tsi,则 )1t(2xcosin2)1t(2)1t(y由 4/xsincoxsin且 2,1x可 得 : t当 2t时 , 23ymax,当 t时 , 243y故 所 求 函 数 的 值 域 为 ,4。例 15. 求 函 数 2x5y的 值 域 。解 :由 0x2,
9、可 得 |故 可 令 ,cos4)sin(10i545y 04当 /时 , 10ymax当 时 , 5in故 所 求 函 数 的 值 域 为 : 4,8. 数 形 结 合 法其 题 型 是 函 数 解 析 式 具 有 明 显 的 某 种 几 何 意 义 ,如 两 点 的 距 离 公 式 直线 斜 率 等 等 ,这 类 题 目 若 运 用 数 形 结 合 法 ,往 往 会 更 加 简 单 ,一 目 了 然 ,赏心 悦 目 。例 16. 求 函 数 22)8x()(y的 值 域 。解 :原 函 数 可 化 简 得 : |8x|2|y上 式 可 以 看 成 数 轴 上 点 P(x)到 定 点 A(2
10、), )8(B间 的 距 离 之 和 。由 上 图 可 知 ,当 点 P 在 线 段 AB 上 时 , 10|A|x|y当 点 P 在 线 段 AB 的 延 长 线 或 反 向 延 长 线 上 时 ,10|8x|2|y故 所 求 函 数 的 值 域 为 : ,例 17. 求 函 数 5x413x6y22的 值 域 。解 :原 函 数 可 变 形 为 : 2222 )0()()0()3x(y上 式 可 看 成 x 轴 上 的 点 ,xP到 两 定 点 )1,2(B),3A的 距 离 之 和 ,由 图 可 知 当 点 P 为 线 段 与 x 轴 的 交 点 时 ,43)12()3(|ABymin
11、,故 所 求 函 数 的 值 域 为 ,例 18. 求 函 数 5x413x6y22的 值 域 。解 :将 函 数 变 形 为 : 22)10()()0()( 上 式 可 看 成 定 点 A(3,2)到 点 P(x,0)的 距 离 与 定 点 ,B到 点 )0,x(P的距 离 之 差 。即 : |BP|y由 图 可 知 :(1)当 点 P 在 x 轴 上 且 不 是 直 线 AB 与 x 轴 的 交 点 时 ,如 点P,则 构 成 A,根 据 三 角 形 两 边 之 差 小 于 第 三 边 ,有26)1()23(| 即 : 6y2(2)当 点 P 恰 好 为 直 线 AB 与 x 轴 的 交
12、点 时 ,有 26|AB|P|综 上 所 述 ,可 知 函 数 的 值 域 为 : 26,(注 :由 例 17,18 可 知 ,求 两 距 离 之 和 时 ,要 将 函 数 式 变 形 ,使 A、B 两 点在 x 轴 的 两 侧 ,而 求 两 距 离 之 差 时 ,则 要 使 A,B 两 点 在 x 轴 的 同 侧 。如 :例 17 的 A,B 两 点 坐 标 分 别 为 :(3,2), )1,(,在 x 轴 的 同 侧 ;例 18的 A,B 两 点 坐 标 分 别 为 (3,2), )1,(,在 x 轴 的 同 侧 。9. 不 等 式 法利 用 基 本 不 等 式 abc3a,b2a)R,(
13、,求 函 数 的 最 值 ,其 题 型 特 征 解 析 式 是 和 式 时 要 求 积 为 定 值 ,解 析 式 是 积 时 要 求 和 为 定 值 ,不 过 有 时 需 要 用 到 拆 项 、添 项 和 两 边 平 方 等 技 巧 。例 19. 求 函 数 4)xcos1()xsin1(iy22的 值 域 。解 :原 函 数 变 形 为 :52xcottan3se1csi)cox(iny22222当 且 仅 当 tt即 当 4kx时 )z(,等 号 成 立故 原 函 数 的 值 域 为 : ,5例 20. 求 函 数 x2siny的 值 域 。解 : cosixn4si27643/)xsin
14、2xsin(i8(1y22当 且 仅 当 xsin2xsin2,即 当 32xsin时 ,等 号 成 立 。由 764y2可 得 : 938y故 原 函 数 的 值 域 为 : ,10. 一 一 映 射 法原 理 :因 为 )0c(dxbay在 定 义 域 上 x 与 y 是 一 一 对 应 的 。故 两 个 变 量中 ,若 知 道 一 个 变 量 范 围 ,就 可 以 求 另 一 个 变 量 范 围 。例 21. 求 函 数 123的 值 域 。解 :定 义 域 为 21x|或由 1x23y得 3y2故 或 21x解 得 2y3或故 函 数 的 值 域 为 ,23,11. 多 种 方 法 综
15、 合 运 用例 22. 求 函 数 3x2y的 值 域 。解 :令 )0t(t,则 1t2(1)当 t时 , t1t2,当 且 仅 当 t=1,即 x时 取 等 号 ,所 以2y0(2)当 t=0 时 ,y=0。综 上 所 述 ,函 数 的 值 域 为 : 21,0注 :先 换 元 ,后 用 不 等 式 法例 23. 求 函 数 423x1y的 值 域 。解 : 42x122令 tanx,则 22cosx1sin21x1sin2siicoy1674sin2当 i时 ,ymax当 sn时 , 2in此 时 2ta都 存 在 ,故 函 数 的 值 域 为 167,2注 :此 题 先 用 换 元 法 ,后 用 配 方 法 ,然 后 再 运 用 sin的 有 界 性 。总 之 ,在 具 体 求 某 个 函 数 的 值 域 时 ,首 先 要 仔 细 、认 真 观 察 其 题 型 特 征 ,然 后 再 选 择 恰 当 的 方 法 ,一 般 优 先 考 虑 直 接 法 ,函 数 单 调 性 法 和 基 本 不 等式 法 ,然 后 才 考 虑 用 其 他 各 种 特 殊 方 法 。