奥数因式分解.doc

1、因式分解 1 / 4一、常用公式：序号 公式 记忆特征1 x2+(a + b)x+ab = (x+a)(x+b) （十字相乘法）(1) 常数项两数积(2) 一次项系数两数和(3) 二次项系数为 12 a2-b2 = (a-b)(a+b)（平方差公式）3a2+2ab+b2 = (a+b)2 a2-2ab+b2 = (a-b)2（完全平方公式）4 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc = (a+b+c)2（完全平方公式扩展）(1) 三数平方和(2) 两两积的 2 倍5a3+3a2b+3ab2+b3 = (a+b)3a3-3a2b-3ab2+b3 = (a-b)3（完全立方公式）对照完全平方公式

2、相互加强记忆6 a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)(1) 近似完全平方公式(2) 缺项之完全立方公式(a+b)(a+b)2-3ab=(a+b)3-3ab(a+b)(a-b)(a+b)2+3ab=(a-b)3+3ab(a+b)7 a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) 对照公式 4 相互加强记忆8 an-bn = (a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1) n=整数（平方差公式扩展）(1) 短差长和；(2) a 指数逐项递减 1；(3) b 指数逐项递增 1；(4)

3、 长式每项指数和恒等于 n-1。9 an-bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1) n=偶数（立方差公式扩展）(1) 短式变加长式加减相间；(2) a 指数逐项递减 1；(3) b 指数逐项递增 1；(4) 每项符号 b 指数决定偶加奇减。10 an+bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1) n=奇数（立方和公式扩展） 对比公式 9 的异同公式 1 练习：第一组 第二组 第三组 第四组 第五组x2+6x+5 2x2+8x-10 x3-8x2+15x 2x2-x-3 x2+2xy-15y2x2-x+42 3x2+

4、3x-36 x3+20x2+51x -3x2+11x-6 x3+2x2y-15xy2x2+2x-35 5x2-10x-15 x3-12x2+32x -4x2-8x-3 2x2-xy+3y2x2+4x-45 7x2-35x+42 x3-11x2+30x 6x2-2x-8 4x2-2xy+2y2二、常用因式分解方法1、提取公因式法2、运用公式法3、分组分解法4、十字相乘法5、拆项、添项法因式分解 2 / 4三、例题讲解1、提取公因式法例 1 x(a-b)2n+y(b-a)2n+1 提示：(b-a) 2n=(a-b)2n, (b-a)2n+1=-(a-b)2n+1解： 原式=(a-b) 2nx-y(

5、a-b)=(a-b)2n(x-ay+by)例 2 (ax+by)2+(ay-bx)2+c2y2+c2x2 提示：先展开再合并同类项解：原式=a 2x2+2abxy+b2y2+a2y2-2abxy+b2x2+c2y2+c2x2 （原式展开）=(a2+b2+c2)x2+(a2+b2+c2)y2 （合并同类项）=(a2+b2+c2)(x2+y2) （提取公因式）2、运用公式例 1 x7y-xy7 提示：先取公因式，然后用公式。用公式时注意尽量将指数降到最低（2 或 3 最佳）解：原式=xy(x 6-y6) （提取公因式）=xy(x3)2-(y3)2 （公式 2：平方差公式）=xy(x3-y3)(x3

6、+y3) （公式 6：立方和/差公式）=xy(x-y)(x2+xy+y2)(x+y)(x2-xy+y2)例 2 (a+2b+c)3-(a+b)3-(b+c)3 提示：第一个多项式为另外两个多项式之和原式=(a+2b+c) 3-(a+b)3+(b+c)3 （添括号形成立方和的形式）=(a+2b+c)3-(a+2b+c)(a+b)2-(a+b)(b+c)+ (b+c)2 （应用立方和公式展开）=(a+2b+c)(a+2b+c)2-(a+b)2+(a+b)(b+c)- (b+c)2 （提取公因式 a+2b+c 形成平方差公式）=(a+2b+c)(2a+3b+c)(b+c)+(a+b)(b+c)- (

7、b+c)2 （提取公因式 b+c）=(a+2b+c)(b+c)(2a+3b+c)+(a+b)- (b+c) （合并化简）= 3(a+b) (b+c) (a+2b+c)例 3 若 x= ，y= ，则 x6+y6 的值是： 2+2 2 2解：x 6+y6=(x2)3+(y2)3=(x2+y2)(x2)2-x2y2+(y2)2 （应用立方和公式）=(x2+y2)(x2+y2)2-3x2y2 （应用完全平方公式）x 2+y2=( )2+( )2=4, 3x2y2=3( )2( )2=62+2 2 2 2+2 2 2x 6+y6=4(426)=403、分组分解法提示：合理适当地分组产生公因式。关键之处在

8、合理分组，多尝试不同地分组以触动灵感。1) 按系数分组例 2ax-10ay+5by-bx= (2ax-10ay)+(5by-bx)=2a(x-5y)-b(x-5y)=(2a-b) (x-5y)2) 按字母分组例 x3(a+1)-xy(x-y)(a-b)+y3(b+1)=ax3+x3-axy(x-y)+bxy(x-y)+by3+y3 （去括号）= ax3 -axy(x-y)+bxy(x-y)+by3+x3+y3 （适当分组）=(ax3-ax2y+axy2)+(bx2y-bxy2+by3)+(x3+y3) （去括号化简）因式分解 3 / 4=ax(x2-xy+y2)+by(x2-xy+y2)+(x

9、+y)(x2-xy+y2) （提取公因式及应用立方和公式）=( x2-xy+y2)(ax+by+x+y)3) 按次数分组例 (xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)=(xy-1)2+(x+y)-2)(x+y)-2xy （分组）=(xy-1)2+(x+y)2-2xy(x+y)-2(x+y)+4xy （多项式相乘）=(xy-1)2+(x+y)2-2(x+y)(xy+1)+4xy （提取公因式整理）=(xy-1)2+4xy +(x+y)2-2(x+y)(xy+1) （再次分组）=(xy)2-2(xy)+1+4(xy)+ (x+y)2-2(x+y)(xy+1) （完全平方公式展开）=(xy+1

10、)2-2(xy+1)(x+y)+(x+y)2 （合并后得到新的完全平方）=(xy+1)-(x+y)2 （再次应用完全平方公式）=(xy-x-y+1)25、添拆项法例 1 x5+x+1提示：原因无法直接应用任何公式，可通过添加-x 2+x2 后分组应用公式原式=(x 5-x2)+(x2+x+1) （添加-x 2+x2 后分组）=x2(x3-1)+(x2+x+1) （提取公因式）=x2(x-1)(x2+x+1)+(x2+x+1) （应用立方差公式）=(x2+x+1)x2(x-1)+1 （提取公因式）=(x2+x+1)(x3-x2+1)例 2 2x4-15x3+38x2-39x+14提示：把-15x

11、 3 拆成-13x 3 和-2x 3，把 38x2 拆成 13x2 和 25x2，把-39x 拆成-25x 和-14x，分组提取公因式原式=2x 4-2x3-13x3+13x2+25x2-25x-14x+14 （拆项分组）=2x3(x-1)-13x2(x-1)+25x(x-1)-14(x-1) （各自提取公因式）=(x-1)( 2x3-13x2+25x-14) （提取公因式 x-1）=(x-1)( 2x3-7x2-6x2+21x+4x-14) （再次拆项）=(x-1)x2(2x-7)-3x(2x-7)+2(2x-7) （分组各自提取公因式）=(x-1)(2x-7)(x2-3x+2) （提取公因

12、式 2x-7）=(x-1)(2x-7)(x-1)(x-2) （对进行 x2-3x+2 十字相乘分解）=(x-1)2(x-2)(2x-7)真题精解：1） 已知多项式 ax3+bx2+cx+d 除以 x-1 时的余数是 1，除以 x-2 时的余数是 3，那么，它除以(x-1)(x-2)时所得的余数是什么？（第 12 届“希望杯”试题）解：设原式=(x-1)(x-2)(ax+k)+(mx+n) ，当 x=1 时，原式=1 ，即 m+n=1；当 x=2 时，原式=3，即2m+n=3，解此关于 m、n 的方程组得 m=2,n=-1，故原式除以(x-1)(x-2)时的余数为 x-12） k 为何值时，多项

13、式 x2-2xy+ky2+3x-5y+2 能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）解：原式中不含 y 的项为 x2+3x+2 可分解为 (x+1)(x+2)，故可设原式=(x+1)+ay(x+2)+by，将其展开得：x2+(a+b)xy+aby2+3x+(2a+b)y+2，与原式对比系数得：a+b=-2, ab=k, 2a+b=-5，解之得 a=-3,b=1,k=-33） 如果 x3+ax2+bx+8 有两个因式 x+1 和 x+2，求 a+b 的值。 （美国犹他州中学竞赛试题）解法 1：设原式=(x+1)(x+2)(x+k)，展开后得：x 3+(3+k)x2+(3k+2)x+2k，对比原

14、式系数得 a=3+k, b=3k+2, 因式分解 4 / 48=2k，所以 a+b=4k+5=16+5=21解法 2：因当 x=-1 或 x=-2 时，原式=0，分别代入后得 a-b+8=0, 4a-2b+8=0，解得 a=7, b=14，故a+b=14真题实练：1下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）A. (x+1)(x-1)=x2 B. (a-b)(m-n)=(b-a)(n-m) C. ab-a-b+1=(a-1)(b-1) D. m2-2m-3=m(m-2-3/m)（第 8 届“希望杯”试题） （ 提示：本题简单，因式分解的概念）2下列五个多项式中在有理数范围可以进行因式分解的有

15、（ ）a2b2-a2-b2-1 x 3-9ax2+27a2x-27a3 x(b+c-d)-y(d-b-c)-2c+2d-2b 3m(m-n)+6n(n-m) (x-2) 2+4x A. B. C. D. （第 10 届“希望杯”试题） （提示：立方差公式、提取公因式，但排除法最快）3设 bc，且满足( )(a-b)+ (b-c)=a-c，则 的值（ ）3+1 2A.大于零 B. 等于零 C. 小于零 D. 正负号不确定（第 12 届“希望杯”试题） （提示：按(a-b)和(b-c)重新整理分组合并）4已知 x2+ax-12 能分解成两个整系数的一次因式乘积，则符合条件的整数 a 的个数是（ ）

16、A.3 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个（第 7 届“希望杯”试题） （提示：对 -12 以十字相乘法拆分穷举）5 y-2x+1 是 4xy-4x2-y2-k 的一个因式，则 k 的值是（ ）A. 0 B. -1 C. 2 D. 4（第 14 届“希望杯”试题） （提示：完全平方+平方差）6将多项式 x2-4y2-9z2-12yz 因式分解结果是（ ）A. (x+2y-3z)(x-2y-3z) B. (x-2y-3z)(x-2y+3z)C. (x+2y+3z)(x+2y-3z) D. (x+2y+3z)(x-2y-3z)（第 9 届“希望杯”试题） （ 提示：完全平方+ 平方差）7分解因式：x 2-4y2-9z2-12yz= 。（第 9 届“希望杯”试题） （ 提示：完全平方+ 平方差）8分解因式：x 5+x-1= 。（第 9 届“希望杯”试题） （ 提示：添项+ 立方和）9 x3+3x2-3x+k 有一个因式是 x+1，则 k= 。（第 10 届“希望杯”试题） （提示：分组成每项都含 x+1）10分解因式：xy-1-x+y= 。（第 10 届“希望杯”试题） （提示：分组提取公因式）